Qui aime la physique ou les mathématiques?

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Message par nikoku74 le Dim 2 Aoû 2015 - 11:00

je serai très heureux de discuter maths et dans une moindre mesure physique puisque je suis un ex ingénieur qui vient d'obtenir son ticket pour enseigner les maths à nos chères têtes blondes.
Pour moi les maths, c'est un peu le sas qui me permet de m'éloigner de toute la médiocrité, la lâcheté et le non sens du monde qui nous entoure. Que c'est beau de graviter dans un univers qui a été construit de façon implacable dans lequel tout se tient!

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Message par Stauk le Dim 2 Aoû 2015 - 12:09

nikoku74 a écrit:.
Pour moi les maths, c'est un peu le sas qui me permet de m'éloigner de toute la médiocrité, la lâcheté et le non sens du monde qui nous entoure. Que c'est beau de graviter dans un univers qui a été construit de façon implacable dans lequel tout se tient!

Tu as un exemple particulier en tête ? C'est grand les maths ...
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Message par Cyril THQI le Dim 2 Aoû 2015 - 13:46

nikoku74 a écrit:un univers qui a été construit de façon implacable dans lequel tout se tient!
Ceci me semble juste de toutes les mathématiques.
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Message par Stauk le Dim 2 Aoû 2015 - 14:08

Cyril THQI a écrit:
nikoku74 a écrit:un univers qui a été construit de façon implacable dans lequel tout se tient!
Ceci me semble juste de toutes les mathématiques.

pas moi. Y a des trucs vraiment zarbi en mathématiques; cough indénombrables cough cough.
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Message par Cyril THQI le Dim 2 Aoû 2015 - 14:28

Stauk a écrit:pas moi. Y a des trucs vraiment zarbi en mathématiques; cough indénombrables cough cough.
Tu peux développer ?
Cyril THQI
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Message par Stauk le Dim 2 Aoû 2015 - 15:29

Cyril THQI a écrit:
Stauk a écrit:pas moi. Y a des trucs vraiment zarbi en mathématiques; cough indénombrables cough cough.
Tu peux développer ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Argument_de_la_diagonale_de_Cantor
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_convergente
https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...


Every nonzero, terminating decimal (with infinitely many trailing 0s) has an equal twin representation with infinitely many trailing 9s (for example, 8.32 and 8.31999...). The terminating decimal representation is usually preferred, contributing to the misconception that it is the only representation. The same phenomenon occurs in all other bases (with a given base's largest digit) or in any similar representation of the real numbers

"In the Zermelo-Frenkel axioms of Set Theory, the collection of surreal numbers is a proper class, too big to be a set"


The continuum hypothesis states that there is no cardinal number between the cardinality of the reals and the cardinality of the natural numbers, that is,
However, this hypothesis can neither be proved nor disproved within the widely accepted ZFC axiomatic set theory, if ZFC is consistent


Given a Goodstein sequence G(m), we construct a parallel sequence P(m) of ordinal numbers which is strictly decreasing and terminates. Then G(m) must terminate too, and it can terminate only when it goes to 0
https://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein%27s_theorem



Bon après ça parait pas bizarre à tout le monde, mais tout ça sent un peu le poisson pas frais pour beaucoup de gens quand même.
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Message par Cyril THQI le Dim 2 Aoû 2015 - 16:35

Je ne vois pas de problème. Il semble juste que certains résultats heurtent ton intuition.
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Message par Stauk le Dim 2 Aoû 2015 - 16:49

Cyril THQI a écrit:Je ne vois pas de problème. Il semble juste que certains résultats heurtent ton intuition.
Si tu vois pas le problème, c'est tant mieux pour toi.  Ca heurte l'intuition d'un paquet de gens. Ce n'est pas le cas de l'immense majorité des mathématiques ....

Je pense que ma position, c'est qu'on peut faire des théoriques mathématiques cohérentes, mais par ailleurs totalement absurdes, pour ne pas dire délirantes. Alors certe ce qui "paraissait" délirant, est parfois ensuite devenu particulièrement pertinent ... (surtout en mathématiques), mais il y a des limites à l'absurdité quand même.

Le conflit est récurent, et parfois extrêmement frustrant (autant pour ceux qui trouvebt évident que c'est "bien formé" que pour ceux qui trouvent évident que c'est de la connerie en barre). Tu trouves pleins pleins d'exemples de ce conflit. (Qui n'arrive à peu près jamais dans d'autres domaines .... on peut difficilement comparer par exemple les conflits autour de la quadrature du cercle, avec ceux générés par ce procédé diagonal).

Il y a de nouvelles branches des mathématiques qui ont été créées, pour tenter d'éviter d'avoir les doigts qui collent en supportant ce procédé diagonal.

Il existe une page wikipedia à propos de cette controverse (qui a commencé immédiatement, et qui continue de heurter des étudiants à chaque fois qu'on a le malheur de proposer ça comme ... des mathématiques)
https://en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor%27s_theory



Peut être la question qu'on peut poser serait celle là, postulons qu'on ne puisse pas affirmer que le procédé diagonal permet TOUJOURS de créer un réel qui ne fait pas partie d'une certaine suite de réel, cela mène t'il à une contradiction, et si oui, laquelle ?
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Message par prométhéus le Dim 2 Aoû 2015 - 16:58

Stauk a écrit:
Cyril THQI a écrit:
Stauk a écrit:pas moi. Y a des trucs vraiment zarbi en mathématiques; cough indénombrables cough cough.
Tu peux développer ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Argument_de_la_diagonale_de_Cantor
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_convergente
https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...


Every nonzero, terminating decimal (with infinitely many trailing 0s) has an equal twin representation with infinitely many trailing 9s (for example, 8.32 and 8.31999...). The terminating decimal representation is usually preferred, contributing to the misconception that it is the only representation. The same phenomenon occurs in all other bases (with a given base's largest digit) or in any similar representation of the real numbers

"In the Zermelo-Frenkel axioms of Set Theory, the collection of surreal numbers is a proper class, too big to be a set"


The continuum hypothesis states that there is no cardinal number between the cardinality of the reals and the cardinality of the natural numbers, that is,
However, this hypothesis can neither be proved nor disproved within the widely accepted ZFC axiomatic set theory, if ZFC is consistent


Given a Goodstein sequence G(m), we construct a parallel sequence P(m) of ordinal numbers which is strictly decreasing and terminates. Then G(m) must terminate too, and it can terminate only when it goes to 0
https://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein%27s_theorem



Bon après ça parait pas bizarre à tout le monde, mais tout ça sent un peu le poisson pas frais pour beaucoup de gens quand même.

L'esprit humain ne peut s'imaginer l'infini.
Après c'est certain que c'est déstabilisant une suite qui croit vite et qui finit par tendre vers 0, mais y a tout un tas d'autres propriétés très déstabilisante, déstabilisante car l'on pense toujours en fini, l''infini étant vu comme fini ++ , ce qui est une erreur de raisonnement.

Attention faut s'accrocher
Prenons un plan, pour une direction du plan, tu peux associer une famille de droites toutes parallèles entres elles, ces droites se coupent en un unique point à l'infini, on peut relier donc l'ensemble des directions et une droite à l'infini, une image mentale possible serait celle d'un collier avec des grappes d'anneaux reliés par un point du collier, le collier étant la droite.

, or une direction est aussi reliée à un point du cercle unité.

Un cercle fini est donc en correspondance  avec une droite infinie ...
donc une droite infini c'est un en fait un gros collier (suivant la topologie du cercle )
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Message par Stauk le Dim 2 Aoû 2015 - 18:15

prométhéus a écrit:
Après c'est certain que c'est déstabilisant une suite qui croit vite et qui finit par tendre vers 0

C'est qui déstabilisant c'est d'utiliser une "récurrence transfinie" pour démontrer un truc qui est évident, et qu'on peut expliciter en quelques phrases.
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Message par prométhéus le Dim 2 Aoû 2015 - 21:31

Stauk a écrit:
prométhéus a écrit:
Après c'est certain que c'est déstabilisant une suite qui croit vite et qui finit par tendre vers 0

C'est qui déstabilisant c'est d'utiliser une "récurrence transfinie" pour démontrer un truc qui est évident, et qu'on peut expliciter en quelques phrases.

Qu'est ce que tu trouves évident ?  Shocked

Sinon ta question sur 0,9999 ... = 1 est assez différente de tes autres questionnements

0,999... n'est rien d'autre qu'une manière d'écrire la série 0 + 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...
Cette série a pour somme la valeur 1, donc 0.999... = 1

Très simplement si tu poses a=0,999...
10a = 9,999...
donc 10a - a =9
9a =9
donc a est égal à 1
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Message par Stauk le Dim 2 Aoû 2015 - 21:53

prométhéus a écrit:
Stauk a écrit:
prométhéus a écrit:
Après c'est certain que c'est déstabilisant une suite qui croit vite et qui finit par tendre vers 0

C'est qui déstabilisant c'est d'utiliser une "récurrence transfinie" pour démontrer un truc qui est évident, et qu'on peut expliciter en quelques phrases.

Qu'est ce que tu trouves évident ?  Shocked

Que ça converge vers 0.

Si tu prends un immeuble, avec 4 étages.

Tu mets disons 3 grains de riz par etages. Tu peux décider de "nettoyer" un étage, celui de ton choix. Dans cas là, le nombre de grain de riz de chaque étage en dessous est augmenté de cent, puis est élevé à la puissance du nombre de grain de riz qui sont supprimé de l'étage que tu nettoies (tous les grains de riz de l'étage nettoyé sont supprimés).


Le nombre de grains de riz, vas donc être croissant, et augmenter fortement quand tu vas nettoyer les étages, mais en fin de compte, il ne restera plus de grains de riz.  

Pas besoin de faire une récurrence transfinie pour le "démontrer" tu crois pas ? Si ?
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Message par paela le Lun 3 Aoû 2015 - 1:02

Peut être la question qu'on peut poser serait celle là, postulons qu'on ne puisse pas affirmer que le procédé diagonal permet TOUJOURS de créer un réel qui ne fait pas partie d'une certaine suite de réel, cela mène t'il à une contradiction, et si oui, laquelle ?

Si on veut disposer d'un ensemble de nombre comme l'ensemble des nombres réels (ce qui est pratique), alors nécessairement, "le procédé diagonal s'applique" et donc supposer le contraire mène à une contradiction.
Mais je ne sais pas si le procédé diagonal en lui-même est quelque chose de gênant. Les arguments diagonaux en maths sont des résultats fondamentaux qui permettent de comprendre les limites de certaines notions. Celui-ci dit en quelque sorte que si tu as une fonction f qui à tout entier naturel associe une suite de 0 et de 1 associe une suite de 0 et de 1, alors la suite qui vaut le contraire de f(n)(n) en chaque n n'est associée à aucun entier.
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Message par Stauk le Lun 3 Aoû 2015 - 1:16

paela a écrit:
Peut être la question qu'on peut poser serait celle là, postulons qu'on ne puisse pas affirmer que le procédé diagonal permet TOUJOURS de créer un réel qui ne fait pas partie d'une certaine suite de réel, cela mène t'il à une contradiction, et si oui, laquelle ?
Si on veut disposer d'un ensemble de nombre comme l'ensemble des nombres réels (ce qui est pratique), alors nécessairement, "le procédé diagonal s'applique" et donc supposer le contraire mène à une contradiction.
Mais je ne sais pas si le procédé diagonal en lui-même est quelque chose de gênant. Les arguments diagonaux en maths sont des résultats fondamentaux qui permettent de comprendre les limites de certaines notions. Celui-ci dit en quelque sorte que si tu as une fonction f qui à tout entier naturel associe une suite de 0 et de 1 associe une suite de 0 et de 1, alors la suite qui vaut le contraire de f(n)(n) en chaque n n'est associée à aucun entier.

J'ai strictement rien compris.

Historiquement le procédé diagonal ne s'applique pas qu'aux suites ... la question est
"Alors il n'existe PAS NECESSAIREMENT d'élément construit par diagonalisation qui n'est associé à aucune entier" provoque t'il une contradiction ?

Y a peu de chance que ça soit le cas ... pour une raison assez simple ...
Soit une fonction de n -> R définie par
0 -> 0,10000
et f(n) = 0 pour n> 0
Alors en appliquant le procédé diagonal,
on obtient 0,0111111111 .....
Qui est déja associé à 0 ( pour rappel d'après les liens que j'ai fourni au dessus, en mathématique et dans R développé en base 2 0,01111... = 0,1000000...)

Voilà, donc c'est absurde de dire qu'il est possible de prouver la négation de "Alors il n'existe PAS NECESSAIREMENT d'élément construit par diagonalisation qui n'est associé à aucun entier", puisqu'il est assez clair que cette proposition est vrai quand on tente d'appliquer le procédé diagonal dans R avec des développements en base 2 (on peut construire des contres exemples dans les autres bases aussi bien sûr, qui montre que la proposition NE PEUT PAS être contradictoire).


Voilà voilà.
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Message par Invité le Lun 3 Aoû 2015 - 1:34

Moi.

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Message par Pretanama le Lun 3 Aoû 2015 - 1:44

nikoku74 a écrit: Que c'est beau de graviter dans un univers qui a été construit de façon implacable dans lequel tout se tient!

C'est l'une des raisons qui me pousse à vouloir faire des maths, en revanche leur manque d'humanité, le fait que les maths s'appliquent seulement aux nombres, aux figures, aux structures ou aux transformations et jamais à des notions philosophiques, psychologiques ou sociales me rebute un peu.
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Message par paela le Lun 3 Aoû 2015 - 2:58

Oui, une correction du raisonnement est d'associer des suites de 0, 1 et 2 aux réels, et lorsqu'on construit le réel par le procédé diagonal, on impose que le n-ième terme de son développement ternaire soit 0 si celui de f(n) est 1, et 1 sinon. De cette manière, son développement ternaire respecte la condition de ne pas valoir 2 à partir d'un certain rang, sous laquelle il y a unicité du réel représenté.

Excuse-moi j'avais mal écrit, c'est plutôt
personne n' a écrit:si tu as une fonction f qui à tout entier naturel associe une suite de 0 et de 1 (pour tout entier p, f(p) est une suite, et pour un entier k, f(p)(k) est la valeur de cette suite en k), alors la suite donnée par u(n) =  (1 - f(n)(n)) n'est associée à aucun entier.
(sinon, pour un entier p tel que u = f(p), on a u(p) = 1 - f(p)(p) = f(p)(p), ce qui est impossible)
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Message par Cyril THQI le Lun 3 Aoû 2015 - 6:46

Pretanama a écrit:C'est l'une des raisons qui me pousse à vouloir faire des maths, en revanche leur manque d'humanité, le fait que les maths s'appliquent seulement aux nombres, aux figures, aux structures ou aux transformations et jamais à des notions philosophiques, psychologiques ou sociales me rebute un peu.
Ca dépend quelle branche. La théorie des ensembles et la logique s'appliquent à tout. En sciences humaines, les probabilités sont très utilisées.
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Message par Stauk le Lun 3 Aoû 2015 - 7:18

paela a écrit:Oui, une correction du raisonnement est d'associer des suites de 0, 1 et 2 aux réels, et lorsqu'on construit le réel par le procédé diagonal, on impose que le n-ième terme de son développement ternaire soit 0 si celui de f(n) est 1, et 1 sinon. De cette manière, son développement ternaire respecte la condition de ne pas valoir 2 à partir d'un certain rang, sous laquelle il y a unicité du réel représenté.
Excuse-moi j'avais mal écrit, c'est plutôt
personne n' a écrit:si tu as une fonction f qui à tout entier naturel associe une suite de 0 et de 1 (pour tout entier p, f(p) est une suite, et pour un entier k, f(p)(k) est la valeur de cette suite en k), alors la suite donnée par u(n) =  (1 - f(n)(n)) n'est associée à aucun entier.
(sinon, pour un entier p tel que u = f(p), on a u(p) = 1 - f(p)(p) = f(p)(p), ce qui est impossible)

Disons que l'astuce du procédé diagonale, c'est de construire les objets pour qu'ils marchent avec. De façon naturelle les Réels ne fonctionnent pas bien avec le procédé diagonal, on le voit explicitement avec le développement en base deux.

Y a des gens que ça dérange. Y a des gens qui trouvent que c'est là un procédé tout à fait naturel. Je vois pas bien trop quoi y faire, c'est sans doute dommage de se quereller pour un truc qui n'en vaut sans doute pas la peine. Disons que je trouve qu'il y a un coté condescendant à refuser de voir l'évidence Smile (bon dis comme ça, ça sonne idiot, m'enfin bref).
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Message par Cyril THQI le Lun 3 Aoû 2015 - 8:27

Stauk a écrit:
Cyril THQI a écrit:
nikoku74 a écrit:un univers qui a été construit de façon implacable dans lequel tout se tient!
Ceci me semble juste de toutes les mathématiques.
pas moi...
Nikoku74 et moi avons parlé de ce que sont les mathématiques, de leur essence. Si j'ai bien compris ta démarche, tu pointes soit des erreurs dans certains résultats mathématiques admis (ce qui est tout à fait possible), soit des résultats qui heurtent l'intuition (ce qui est tout à fait possible également). Mais dans les deux cas, cela ne remet pas en cause la nature des mathématiques.
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Message par paela le Lun 3 Aoû 2015 - 8:36

Ce n'est pas que les réels ne marchent pas bien avec: on peut aussi montrer que tout réel est associé à une unique suite de 0 et de 1, et procéder diagonalement comme cité avec les 0 et les 1.

Le seul souci est que ce truc est souvent expliqué en zappant le problème que tu soulèves, et les gens qui lisent la fausse preuve pour la première fois trouvent parfois un contre-exemple, ou pensent qu'on peut appliquer la même idée pour les nombres rationnels.
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Message par Stauk le Lun 3 Aoû 2015 - 8:38

paela a écrit:Ce n'est pas que les réels ne marchent pas bien avec: on peut aussi montrer que tout réel est associé à une unique suite de 0 et de 1, et procéder diagonalement comme cité avec les 0 et les 1.

Le seul souci est que ce truc est souvent expliqué en zappant le problème que tu soulèves, et les gens qui lisent la fausse preuve pour la première fois trouvent parfois un contre-exemple, ou pensent qu'on peut appliquer la même idée pour les nombres rationnels.

Non le problème que je soulève n'est jamais zappé, mais par contre de mon point de vue, il n'est pas compris. Et c'est bien frustrant ce dialogue de sourd. A la limite on est plus dans la religion que dans les mathématiques, et c'est peut être la tout le nœud du problème. On ne devrait pas mélanger mathématiques et religions.

Cyril THQI a écrit:
Stauk a écrit:
Cyril THQI a écrit:
nikoku74 a écrit:un univers qui a été construit de façon implacable dans lequel tout se tient!
Ceci me semble juste de toutes les mathématiques.
pas moi...
Nikoku74 et moi avons parlé de ce que sont les mathématiques, de leur essence. Si j'ai bien compris ta démarche, tu pointes soit des erreurs dans certains résultats mathématiques admis (ce qui est tout à fait possible), soit des résultats qui heurtent l'intuition (ce qui est tout à fait possible également). Mais dans les deux cas, cela ne remet pas en cause la nature des mathématiques.
Ce que ça remet en cause, c'est la possibilité de se mettre d'accord sur où commencent les mathématiques (avec toute la force quasi absolue qu'elles peuvent charrier ) et où commence la conviction personnelle arbitraire, tout à fait personnelle.

De façon générale, les mathématiques dans ce qu'elles ont d'absolus, ne sont pas accessibles à tout le monde. Il y a donc un continuum. On dit que c'est un langage universel (qui touche à l'intimité de ce que nous sommes ?), est c'est sans doute vrai. Mais comme on peut le voir avec l'exemple des suites infinis et du procédé diagonal, (ou plutôt des réels du coup, mais pour moi le problème de fond est tout aussi vivant avec les suites infinies, ou l'ensemble des parties d'un ensemble infini ...) il y a des limites à ce coté universel ... au fond, tout ça reste une affaire de sensibilité.

Il est aisé d'avoir une légère sensibilité pour les mathématiques, et ça donne une petite porte ouverte vers tout un univers où la discussion est possible. Où il est possible d'avoir raison et même d'avoir tort, sans en être ni augmenté, ni diminué, comme si on avait alors un oracle bienveillant, capable enfin de trancher, dire lequel est son fils/ sa fille préféré. Pour certain, cette possibilité de se mettre d'accord, cette possibilité de discuter et de converger vers un attracteur vrai/faux est une sacré bonne façon d'avoir des vacances par rapport au monde réel.

Et c'est donc assez dommage qu'on ne fasse pas plus d'effort pour maintenir autant que possible cette possibilité désirable, en introduisant une bonne dose de n'importe quoi esque. Enfin c'est la vie, deal with it, tout ça. Au final, je n'aime pas les mathématiques, trop d'égos. Peut être si je pouvais aller plus loin, si c'était plus facile, là j'aimerais ça ...
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Message par paela le Lun 3 Aoû 2015 - 9:39

Il n'y a pas de question de conviction personnelle au sujet du fait qu'on ne peut pas énumérer tous les nombres réels. Tout au plus, la preuve n'est pas rapide et évidente. Je veux dire, elle se comprend bien, et par quiconque la lirait en prenant le temps de comprendre, si elle est rédigée correctement.
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Message par Cyril THQI le Lun 3 Aoû 2015 - 9:52

Je vais dans le sens de paela. Tout au plus pourrions-nous découvrir une erreur. Mais il n'est pas question de conviction personnelle. Seul le choix des objets mathématiques pertinents peut être débattu. On peut par exemple discuter de l'intérêt de se limiter à la logique intuitionniste, mais qu'on se place dans ce cadre ou dans celui de la logique classique, les théorèmes obtenus ne sont pas affaire de conviction.
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Message par nikoku74 le Lun 3 Aoû 2015 - 10:01

oui, toute cette structure qui a été construite est à remettre en cause régulièrement avec l'arrivée de nouveaux concepts au fur et à mesure de l'histoire mais c'est aussi ce qui fait que c'est intéressant car encore toujours en mouvement, toujours à remettre en question, vivant quoi.
C'est vrai que j'utilisais le mot "implacable" qui n'est pas toujours pertinent globalement mais qui l'est dans le cadre de théories données.
Ce qui me plait aussi c'est la "magie" qui se produit quand on part de définition d'objets mathématiques par des concepts différents et que tout est cohérent mais c'est pas vrai pour tout ou encore à consolider parfois.
La force de cette discipline est aussi la rigueur du raisonnement, le fait qu'on ne peut pas entourlouper son monde. Un remède contre le fléau qu'est la lâcheté humaine?
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Message par prométhéus le Lun 3 Aoû 2015 - 11:38

Stauk a écrit:
Et c'est donc assez dommage qu'on ne fasse pas plus d'effort pour maintenir autant que possible cette possibilité désirable, en introduisant une bonne dose de n'importe quoi esque. Enfin c'est la vie, deal with it, tout ça. Au final, je n'aime pas les mathématiques, trop d'égos. Peut être si je pouvais aller plus loin, si c'était plus facile, là j'aimerais ça ...

C'est propre à la nature de l'individu, cela revient à juger un fruit par l'amertume de sa peau ...


----
Sinon, on a vraiment tendance à oublier cette révolution, une théorie née dans les années 40 et qui a commencé à se propager dans le milieu mathématique dans les années 70, qui ont élargi très fortement le champs d'investigation des mathématiques
( y a qu'à voir le travail d'Andree Ehresmann, qui travaille avec les neuroscientifiques et qui donne de nouveaux éclairages sur la cognition.)
et apporter une certaine unification de celle-ci au point de pouvoir ôter le  s à mathématiques. Si chez les mathématiciens, c'est à peu près rentré dans les mœurs, combien d'années faudra t'il encore attendre pour que cela inonde d'autres milieux ...
C'est pénible que l'on ressasse logique, logique et encore logique  alors qu'il y a franchement mieux comme fondement des mathématiques ...
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Message par Stauk le Lun 3 Aoû 2015 - 13:46

paela a écrit:Tout au plus, la preuve n'est pas rapide et évidente. Je veux dire, elle se comprend bien, et par quiconque la lirait en prenant le temps de comprendre, si elle est rédigée correctement.
Elle est rapide, elle est évidente, et elle est aussi complètement con. Voilà. Je comprends pas comment vous pouvez refuser de voir cette réalité pourtant toute simple. Y a des postulats qui sont manifestement mals choisis. Et encore une fois, la réalité psychologique du terrain ne laisse aucun doute que contrairement à l'immense majorité des constructions mathématiques, qui ne posent aucun problème "religieux", celle ci en pose. C'est de la foutaise en barre. Y a pas d'autres mots.



A common objection to Cantor's theory of infinite number involves the axiom of infinity (which is, indeed, an axiom and not a logical truth). Mayberry has noted that "The set-theoretical axioms that sustain modern mathematics are self-evident in differing degrees. One of them – indeed, the most important of them, namely Cantor's axiom, the so-called axiom of infinity – has scarcely any claim to self-evidence at all"


Cantor's theory was controversial among mathematicians and (later) philosophers. As Leopold Kronecker claimed: "I don't know what predominates in Cantor's theory – philosophy or theology, but I am sure that there is no mathematics there". Many mathematicians agreed with Kronecker that the completed infinite may be part of philosophy or theology, but that it has no proper place in mathematics


Logician Wilfrid Hodges (1998) has commented on the energy devoted to refuting this "harmless little argument" (i.e. Cantor's diagonal argument) asking, "what had it done to anyone to make them angry with it?"


Contrary to Hodges assertion, others have also taken issue with Cantor's proof regarding the cardinality of the power set. Mathematician Solomon Feferman has referred to Cantor's theories as “simply not relevant to everyday mathematics.


"Actual infinity does not exist. What we call infinite is only the endless possibility of creating new objects no matter how many exist already". Gauss's views on the subject can be paraphrased as: 'Infinity is nothing more than a figure of speech which helps us talk about limits. The notion of a completed infinity doesn't belong in mathematics'.

@Prometheus ?
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Nan mais déjà que je m'énerve contre les petits gars qui m'envoient à la tête que tout va bien dans le meilleur des mondes, j'ai pas tellement envie de creuser .. ce .. heu mind map.
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Message par prométhéus le Lun 3 Aoû 2015 - 17:39

Stauk a écrit:
Elle est rapide, elle est évidente, et elle est aussi complètement con. Voilà. Je comprends pas comment vous pouvez refuser de voir cette réalité pourtant toute simple. Y a des postulats qui sont manifestement mals choisis. Et encore une fois, la réalité psychologique du terrain ne laisse aucun doute que contrairement à l'immense majorité des constructions mathématiques, qui ne posent aucun problème "religieux", celle ci en pose. C'est de la foutaise en barre. Y a pas d'autres mots.

La réalité que l'on voit c'est surtout que tu craches sur tout ce que tu ne comprends pas .
Tu dois bien souvent manquer de salive .
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Message par Stauk le Lun 3 Aoû 2015 - 18:03

Un exemple qu'un matheu m'avait cité une fois, qui permet d'éviter cet imbroglio Cantoresque (mais qui apparemment est loin d'être parfaitement satisfaisant)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard




@Prometheus : je ne crache pas sur ce mind map, c'est juste qu'il m’apparaît comme totalement hors sujet. Et ça tombe dans un moment (sur un fil) où je suis émotionnellement impliqué dans quelque chose qui me touche profondément.
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Message par prométhéus le Lun 3 Aoû 2015 - 19:49

Stauk a écrit:Un exemple qu'un matheu m'avait cité une fois, qui permet d'éviter cet imbroglio Cantoresque (mais qui apparemment est loin d'être parfaitement satisfaisant)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard

L'analyse standard ne te résoudra pas ton problème de compréhension de la  magnifique idée de Cantor, c'est d'une grande élégance.
L'objectif est de démontrer qu'il y a plus de nombre réel et entier, où pour être plus exact qu'il n'existe pas de bijection entre l'ensemble des entiers et l'ensemble des réels (dont l'existence pourrait être tout à fait discuté mais c'est une autre histoire).

On va prendre tous les nombres réels que l'on va numéroter de 1 à l'infini, donc un tableau carré de l'infini sur l'infini

Si on extrait le nombre formé par les éléments diagonaux et que l'on forme un autre nombre tel qu'aucun nombre ne lui corresponde , ce qui donne une infinité de possibilités, ce nombre ainsi posé ne peut pas appartenir à ce tableau, car aucun élément diagonaux se retrouvent dans ce nombre, donc impossibilité pour une infinité de nombre d'appartenir à ce tableau censé contenir tous les nombres réels, contradiction, il n'existe aucun tableau numéroté capable de contenir les nombres réels , il y a plus de réel que d'entier, il n'existe plus d'un nombre transfini , en fait il en existe une infinité, autre théorème de Cantor.
Un exemple avec tableau 3X3
 
0,123
0,231
0,153

élément diagonaux 0,133
On prend le nombre 0,431 mais on aurai pu prendre 0,321 ou 0,222

Pour appartenir au tableau il est nécessaire que le premier élément soit identique au premier élément de la diagonale ou que le deuxième élément soit identique au deuxième élément de la diagonale , etc ...
(un ou logique )



Stauk a écrit:
@Prometheus : je ne crache pas sur ce mind map, c'est juste qu'il m’apparaît comme totalement hors sujet. Et ça tombe dans un moment (sur un fil) où je suis émotionnellement impliqué dans quelque chose qui me touche profondément.
Le travail d'Andree Ehresmann n'était que l'exemple pour appuyer cette fabuleuse découverte intellectuelle qu'est la théorie des catégories, une histoire de doigt et de lune ...

http://www.unine.ch/unilog/jyb/ens-cat.pdf


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Message par Stauk le Lun 3 Aoû 2015 - 21:27

@prométhéus : ah mais oui ... effectivement tu as raison. Ca marche en fait ce procédé diagonal ... alors oui, le nouvel élément différant du n ème élément par la n ème décimale, il est très juste de dire que la suite infinie de décimales ainsi obtenue, ne correspond à aucune des suites élément de l'ensemble infini déjà parcouru !

Mais c'est incroyablement foutrement génial comme procédé !
Je comprends pas (plus plutôt) tous ces cons qui disent que ça n'est pas des mathématiques. C'est même accessible à un gamin de huit ans quoi.

Ah ben merci, je me sens moins bête grâce à toi.
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Message par paela le Lun 3 Aoû 2015 - 22:20

Stauk, je n'ai pas compris ce qui te posait problème avec le procédé diagonal. Est-ce le fait qu'il n'y ait pas d'énumération des réels spécifiquement? Est-ce le fait qu'il n'y ait pas d'énumération des ensembles d'entiers? Est-ce l'existence de l'ensemble des entiers naturels?

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Message par Stauk le Lun 3 Aoû 2015 - 22:23

paela a écrit:Stauk, je n'ai pas compris ce qui te posait problème avec le procédé diagonal. Est-ce le fait qu'il n'y ait pas d'énumération des réels spécifiquement? Est-ce le fait qu'il n'y ait pas d'énumération des ensembles d'entiers? Est-ce l'existence de l'ensemble des entiers naturels?

C'est la supposition que l'élément soit disant ainsi construit, n'appartient nécessairement pas à la l’énumération proposé. Je dis pas que c'est faux. Mais je vois aucune raison pour que ça soit vrai. L'infini est un truc trop bizarre. Enfin à mon avis c'est pas si bizarre que ça, et clairement on devrait s'interdire certaines choses. Ou alors ne pas prétendre que c'est encore des mathématiques.
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Message par paela le Mar 4 Aoû 2015 - 0:14

Ah d'accord. Eh bien le truc fondamental c'est que pour tout nombre réel x entre 0 et 1 exclu, il existe une unique suite s d'entiers entre 0 et 9 qui n'est pas égale à 9 à partir d'un certain rang telle que x est la limite de la suite des s(1) / 10 + s(2)/10² + ... + s(n) /10^n.
La suite s est appelée développement décimal par excès de x. On peut développer dans n'importe quelle base, mais pour faire fonctionner la base binaire dans cette preuve il faut un plus de travail donc faisons avec 10.
Enfin, pour toute suite s de 0 et de 9 sauf celle qui vaut 9 tout le temps, la suite des des s(1) / 10 + s(2)/10² + ... + s(n) /10^n converge vers un réel de [0;1[.
(Les preuves ne sont pas immédiates, tu devrais les trouver en cherchant avec les mots clé développement décimal.)

L'existence et l'unicité du développement décimal par excès permettent de définir la suite u de 0 et de 9 qui en tout entier naturel n vaut 0 si le nième terme du développement décimal de f(n) vaut 9, et 4 sinon.
Cette suite ne comporte pas de 9 donc elle ne vaut pas 9 tout le temps et n'est pas égale à 9 au bout d'un moment, c'est donc le développement décimal par excès du réel y de [0;1[ qui est la limite de la suite u(1) / 10 + ... + u(n)/10^n.

Si y était un certain f(n), son développement décimal u serait celui de f(n), mais ces deux suites ne sont pas identiques puisqu'elles ne valent pas la même chose en n.

Donc y est bien dans [0;1[ mais n'est pas une valeur de f.
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Message par Stauk le Mar 4 Aoû 2015 - 1:20

Oui, mais je ne sais que trop bien que les "démonstrations" fonctionnent. Ca ne rend pas la conclusion juste pour autant. Ce sont les prédicats qui sont merdiques. Ce que je dis, c'est qu'on peut prendre des prédicats complètements ineptes, et dire des âneries monstrueuses. Pour moi ceci devrait être considéré comme en dehors du champs de ce qu'on appelle "mathématiques".

De mon point de vue le mec s'est engouffré dans un concept un peu flou (infini), et à fait de la merde avec. Bon, j'ai pas spécialement mieux à proposer, mais ça ne m'empêche pas d'avoir pleinement conscience que c'est n'importe quoi ces résultats. Et encore une fois, depuis que ces trucs ont été proposés, il y a tout un pan de la population qui réagit ainsi. Ce qui n'est pas le cas avec le reste des mathématiques encore une fois.

Après y a plein de monde qui considère que tout ça est très logique, et logique ça l'est peut être.


Grosso modo, soit vous savez ce que je veux dire, et on peut à la rigueur remarquer qu'on est d'accord. Soit vous ne voyez pas (manifestement le cas actuel), et ne peut que remarquer qu'il existe un vague désaccord. Le désaccord n'est malheureusement pas au niveau de la logique, mais au niveau de l'évidence : c'est à dire au niveau des prédicats.


 Pour dire un peu le fond de ma pensée, si on prend une infinité de suites infinies de 0 et de 1 aléatoires, et qu'on applique le procédé diagonal, on obtient absolument pas une "nouvelle" suite aléatoire. Voilà. C'est juste pas tolérable qu'on affirme le contraire en ce qui me concerne, ou alors par jeu, mais pour se marrer avant de remettre deux secondes les pieds sur terre.

Note que le mot infini que j'utilise ici deux fois n'est absolument pas défini.
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Message par prométhéus le Mar 4 Aoû 2015 - 3:28

[quote="Stauk"]
 Pour dire un peu le fond de ma pensée, si on prend une infinité de suites infinies de 0 et de 1 aléatoires, et qu'on applique le procédé diagonal, on obtient absolument pas une "nouvelle" suite aléatoire. Voilà. C'est juste pas tolérable qu'on affirme le contraire /quote]

Pourquoi ta suite devrait être aléatoire ?
Tu entends quoi par aléatoire , la répartition de 1 et de 0 ou  un tirage aléatoire, je crains que ton "juste pas tolérable" ne soit qu'une confusion entre ces deux termes :/

Stauk a écrit:
remettre deux secondes les pieds sur terre.

Je suis d'accord
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Message par paela le Mar 4 Aoû 2015 - 10:41

Peut-être que ta façon de voir les choses te fait percevoir des aberrations qui n'en sont pas?

Le concept d'infini en maths n'est pas flou, c'est l'idée qu'on a de l'infini lorsqu'on le voit comme un infini actuel ("on prend une infinité de suites infinies") qui l'est. En maths, l'infini est ce qui n'est pas fini. L'ensemble des entiers naturels n'est pas fini (= en correspondance avec un entier naturel), tout comme l'ensemble des réels n'est pas dénombrable (= en correspondance avec l'ensemble des entiers naturels). Cela ne veut pas dire que l'ensemble des réels est "beaucoup beaucoup beaucoup plus gros tu n'imagines même pas" que l'ensemble des entiers naturels.

Le procédé diagonal s'applique à un ensemble fini, lorsqu'on le montre, on ne fait pas de supposition que l'ensemble est infini.
Dans le cas particulier des ensembles finis, le procédé diagonal ne dit pas beaucoup plus que "si n est un entier naturel, alors n < 2^n" et on peut également le démontrer par récurrence sans argument diagonal.


Autre exemple: si X est un ensemble, alors l'ensemble des éléments de X qui n'appartiennent pas à eux-mêmes n'est pas dans X, sinon il y aurait contradiction.


Ce n'est donc pas seulement une question d'infini: les propriétés du langage et du cadre que sont la possibilité d'autoréférence et de négation autorisent le procédé. C'est semblable au barbier rasé.

Ce que ça change dans le premier exemple lorsque E est infini, c'est que si on prend un nombre fini de suites que f n'atteint pas, on peut toujours en trouver une autre que f n'atteint pas, alors que si E est fini, ce n'est pas vrai. Mais c'est tout.

En résumé, il y a:
-des ensembles qui sont finis, dont certains correspondent à ce que l'on peut rencontrer dans l'univers

Et avec l'axiome de l'infini (et l'axiome du choix pour cette description) il y a:
-des ensembles qui sont en correspondance avec l'ensemble N des entiers naturels, et qui si on en considère une partie finie, possèdent toujours un élément en dehors
-des ensembles de type (a) (comme celui des réels) qui ne sont pas en correspondance avec N, et qui si on considère une application f N -> A et un ensemble fini E d'éléments que f n'atteint pas, possèdent un élément que f n'atteint pas en dehors de E
Parmi ces ensembles, certains ensembles A1 de type (a1) qui se plongent dans tous les autres, au sens où quel que soit l'ensemble A de type (a), il existe une application A -> A1 qui ne prend jamais deux fois la même valeur.
-des ensembles A de type (a) qui ne sont en correspondance avec aucun ensemble de type (a1), et qui si on considère un ensemble A1 de type (a1), une application f  A1 -> A et un ensemble fini E d'éléments que f n'atteint pas, possèdent un élément que f n'atteint pas en dehors de E.
Parmi ces ensembles, certains de type (a2), (a3), etc jusqu'à l'infini et au delà. Et tout cela se décrit en parlant de choses finies.

Même chose presque pour les ensembles finis. Il y a les ensembles à un élément qui correspondent entre eux, ceux à deux éléments qui sont tels qu'une application d'un ensemble à un élément dans un ensemble à deux éléments n'atteint jamais les deux, ceux à trois éléments, etc. L'infini est au fini ce que le fini (non vide) est à l'unité.

Enfin voilà je ne crois pas que l'infini actuel soit autre chose que l'infini potentiel, c'est juste qu'avec l'axiome de l'infini on peut considérer l'infini potentiel en tant qu'objet. On peut considérer certaines propriétés en tant qu'objets en considérant l'ensemble des éléments les satisfaisant.
Et cela fonctionne bien, on découvre des propriétés d'objets finis en passant par l'étude d'objets infinis.
Après, c'est clair que rien ne dit que les propriétés qu'on s'autorise à considérer comme des objets peuvent être vues comme telles sans que la théorie des ensembles ne se contredise et donc que l'on perde notre pari (si pari il y a) sur la nature de ce que l'on peut considérer comme concepts mathématiques.
A mon humble avis, il y a de vraie différence de vision du monde mathématique qu'entre la position "j'accepte de travailler dans la théorie des ensembles" et l'ultrafinitisme. D'autres formes de finitisme, par exemple qui autorisent l'"infini de N mais pas les autres", sont plus difficiles à justifier à mon sens.
Ce qui est sympa en maths c'est qu'on peut travailler sur plusieurs approches à la fois et voir où cela nous mène; dans tous les cas, on comprend quelque chose sur le monde matériel ou sur la logique.
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Message par prométhéus le Mar 4 Aoû 2015 - 11:16

@paela

L'ego tyran siège dans un donjon totalement imprenable rien n'y rentre vraiment,
sauf quand il s'agit de faire les louanges de monseigneur ego 1er.
Très intéressante comme intervention et très pédagogique, mais tu vas te récolter une variante de "c'est incompréhensible" mais cela demeure appréciable pour les autres.


Dernière édition par prométhéus le Mar 4 Aoû 2015 - 23:09, édité 1 fois
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Message par Stauk le Mar 4 Aoû 2015 - 19:37

paela a écrit:
Dans le cas particulier des ensembles finis, le procédé diagonal ne dit pas beaucoup plus que "si n est un entier naturel, alors n < 2^n" et on peut également le démontrer par récurrence sans argument diagonal.

J'ai pas bien saisi le rapport entre le procédé diagonal et n < (2 puissance n)

Genre si j'applique à (base 10)
018837
000183
113949

ça donne mettons
111000




Pour prendre une autre exemple (base 2)
00
01
10
11

Le procédé diagonal nécessite ici naturellement 4 chiffres, il faut donc réécrire
0000
0001
0010
0011

et il nous donne le nouveau nombre
1100


heu .. je ne vois pas bien le rapport avec n< 2^n.
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Message par paela le Mar 4 Aoû 2015 - 21:03

C'est simplement que si n est un entier naturel et E est un ensemble à n éléments, disons celui des entiers de 1 à n, alors l'ensemble des fonctions de E dans {0;1} possède 2^n éléments.
Une telle fonction f est correspond au mot binaire f(1)...f(n) qui code également un unique entier entre 0 et 2^n - 1 (qui est f(1) + f(2).2 + f(3).2² + ... + f(n).2^(n-1)).

On peut prouver le procédé diagonal pour le cas fini en montrant qu'il est vrai si E est vide ou contient un seul élément, puis en montrant que s'il est vrai pour tout ensemble à n éléments, il est vrai pour tout ensemble à n+1 éléments. Cela suffit d'après le principe de récurrence à montrer que le procédé s'applique à tout ensemble fini. Et la preuve du passage de n à n+1 risque de ressembler à la preuve de (si n < 2^n alors n+1 < 2^(n+1)), sachant que par définition 2^(n+1) = 2.2^n.
Je ne vois pas trop de moyen d'adapter la preuve pour la prolonger au cas infini, mais c'est peut-être possible.
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Message par Invité le Mar 4 Aoû 2015 - 21:45

Cyril THQI a écrit:
nikoku74 a écrit:un univers qui a été construit de façon implacable dans lequel tout se tient!
Ceci me semble juste de toutes les mathématiques.

De toute logique [non floue] plutot

paela a écrit:C'est simplement que si n est un entier naturel et E est un ensemble à n éléments, disons celui des entiers de 1 à n, alors l'ensemble des fonctions de E dans {0;1} possède 2^n éléments.
Une telle fonction f est correspond au mot binaire f(1)...f(n) qui code également un unique entier entre 0 et 2^n - 1 (qui est f(1) + f(2).2 + f(3).2² + ... + f(n).2^(n-1)).

On peut prouver le procédé diagonal pour le cas fini en montrant qu'il est vrai si E est vide ou contient un seul élément, puis en montrant que s'il est vrai pour tout ensemble à n éléments, il est vrai pour tout ensemble à n+1 éléments. Cela suffit d'après le principe de récurrence à montrer que le procédé s'applique à tout ensemble fini. Et la preuve du passage de n à n+1 risque de ressembler à la preuve de (si n < 2^n alors n+1 < 2^(n+1)), sachant que par définition 2^(n+1) = 2.2^n.
Je ne vois pas trop de moyen d'adapter la preuve pour la prolonger au cas infini, mais c'est peut-être possible.


Ouais, et si on prend une modélisation de chimie réduite pour la simulation des détonations, on se retrouve avec une stagnation lors de la propagation de la flamme froide et donc de l'évolution des radicaux foireuse, ce qui induit un délai d'auto-alumage trop important et une rétroaction négative sur la propagation de la discontinuité.

Tout ça pour dire, si tout le monde y va de sa petite réflexion sur la physique ou les maths, je ne vois pas trop le but [ni la finalité], à part cirer son égo... Enfin bref.

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Message par Stauk le Mar 4 Aoû 2015 - 22:01

paela a écrit:C'est simplement que si n est un entier naturel et E est un ensemble à n éléments, disons celui des entiers de 1 à n, alors l'ensemble des fonctions de E dans {0;1} possède 2^n éléments.
Une telle fonction f est correspond au mot binaire f(1)...f(n) qui code également un unique entier entre 0 et 2^n - 1 (qui est f(1) + f(2).2 + f(3).2² + ... + f(n).2^(n-1)).

On peut prouver le procédé diagonal pour le cas fini en montrant qu'il est vrai si E est vide ou contient un seul élément, puis en montrant que s'il est vrai pour tout ensemble à n éléments, il est vrai pour tout ensemble à n+1 éléments. Cela suffit d'après le principe de récurrence à montrer que le procédé s'applique à tout ensemble fini. Et la preuve du passage de n à n+1 risque de ressembler à la preuve de (si n < 2^n alors n+1 < 2^(n+1)), sachant que par définition 2^(n+1) = 2.2^n.
Je ne vois pas trop de moyen d'adapter la preuve pour la prolonger au cas infini, mais c'est peut-être possible.

J'ai pas compris grand chose à ce que tu essayes de dire ici. Par contre ça me donne envie de donner l'exemple le plus simple que je puisse envisager, appliquer de façon récurrente le procédé diagonal en base 2, sur un ensemble qui initialement ne contiendrait que 0.
C'est à dire la suite Un telle que
U0 = 0;
Un = application du procédé diagonal a l'ensemble contenant les éléments de la suite de 0 à n-1 (inclusif).


Ca nous donne (en diagonalisant de droite à gauche)
Code:

...0
...1 (bit 0 différent de 0
..11 (bit 0 différent de 0 et bit 1 différent de 0)
.111(bit de 0 à n différent de 0 )
1111

et de façon générale Un = 2 ^(n) -1;
Naturellement l'aspect diagonal ne présente aucun intérêt ici.

Si on pousse à la limite, et qu'on continue d'appliquer le procédé diagonal "après" la limite, on obtient la nouvelle valeur 111111 ... (une infinité de fois). Appliquer à nouveau le procédé diagonal à ce nouvel ensemble augmenté de 1111... (une infinité de fois), nous donne la même valeur 111... (une infinité de fois) qui par définition n'est pas déjà dans la liste, quoi qu'on puisse avoir cette impression, puisqu'on vient tout juste de l'y ajouter.
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Message par paela le Mar 4 Aoû 2015 - 22:13

@Stauk:
C'est vrai que mon second paragraphe n'est pas clair. J'espère que ça va pour le premier.

Du coup je n'ai pas trop compris ce que fait ta suite. Peux-tu préciser ce que "application du procédé diagonal a l'ensemble contenant les éléments de la suite de 0 à n-1 (inclusif)" signifie?

@Hobb:
Un bénéfice de ce genre de discussion est qu'on confronte les idées et on apprend des choses.
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Message par Invité le Mar 4 Aoû 2015 - 22:27

paela a écrit:
@Hobb:
Un bénéfice de ce genre de discussion est qu'on confronte les idées et on apprend des choses.

Pour une discussion sur "qui aime la physique ou les maths"... enfin bon.

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Message par Stauk le Mar 4 Aoû 2015 - 22:32

paela a écrit:@Stauk:
C'est vrai que mon second paragraphe n'est pas clair. J'espère que ça va pour le premier.

Du coup je n'ai pas trop compris ce que fait ta suite. Peux-tu préciser ce que "application du procédé diagonal a l'ensemble contenant les éléments de la suite de 0 à n-1 (inclusif)" signifie?

ça signifie que pour générer l'élément n, tu présupose qu'existe l'ensemble qui contient les n-1 premiers éléments, et auquel tu appliques le procédé.

pour u1 tu appliques à {0}
pour u2 tu appliques à {0,1}
pour u3 tu appliques à {0,1,10}
et ainsi de suite.

Par définition, le procédé fonctionne également pour un ensemble déjà infini, et permet d'ajouter UN NOUVEL ELEMENT NON DEJA CONTENU. Bien sûr ça ne marche pas toujours, comme l'atteste le cas des réels. De même que l'atteste cet exemple ci.

D'ailleurs si on applique le procédé diagonal, puis qu'on ajoute le nouvel élément "a la fin ...", il est bien clair qu'une nouvelle application du procédé diagonal générera le nouvel élément.
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Message par paela le Mar 4 Aoû 2015 - 22:50

Je ne vois pas ce que cela donnerait pour {0,1,10}.



Pour les réels, il y a le codage binaire par excès (où l'on interdit soit les suites qui finissent par seulement des 1) qui est naturel, mais pour lequel le procédé diagonal ne génère pas nécessairement un code binaire par excès. Il y a aussi des moyens de coder chaque réel par une suite de 0 et de 1 (mais ce n'est pas le codage binaire classique), et en appliquant le procédé diagonal à ce codage, on génère toujours un nouvel élément.
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Message par Stauk le Mar 4 Aoû 2015 - 22:56

paela a écrit:Je ne vois pas ce que cela donnerait pour {0,1,10}.



Pour les réels,  il y a le codage binaire par excès (où l'on interdit soit les suites qui finissent par seulement des 1) qui est naturel, mais pour lequel le procédé diagonal ne génère pas nécessairement un code binaire par excès. Il y a aussi des moyens de coder chaque réel par une suite de 0 et de  1 (mais ce n'est pas le codage binaire classique), et en appliquant le procédé diagonal à ce codage, on génère toujours un nouvel élément.

Tu ne génères un nouvel élément que la première fois (enfin ... d'après la définition qui affirme que c'est le cas). La seconde fois, tu génères  le même élément (si tu supposes que "le nouveau" que tu as généré précédemment a été ajouté "a la fin").

pour {0,1,10}.
Il y a trois éléments, tu peux écrire donc avec 3 chiffres, pour que ça soit plus clair
000
001
010

ton nouvel élément a le bit 0 différent de 0, le bit 1 différent de 0 et le bit 2 différent de 0
le nouvel élément vaut 111
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Message par paela le Mar 4 Aoû 2015 - 23:21

D'accord. Dans ce cas, pour {0;1}, cela devrait donner 11 plutôt.

En fait, c'est l'idée d'ajouter un élément à la fin de la liste qui n'a pas de sens telle qu'elle.

Laissons les réels de côté parce que le procédé diagonal dont on parle est une affaire d'applications d'un ensemble E dans {0;1}.
Si E est un ensemble, je note 2^E l'ensemble des fonctions de E dans {0;1}

Si on prend E = N, on se donne une application f de N dans 2^N, alors par le procédé diagonal on produit un élément u de 2^N qui n'est pas une valeur de f.
On peut ajouter u au début de l'énumération produite par f: on crée une nouvelle fonction g: N --> 2^N définie par:
-g(0) = u
-pour tout n, g(n+1) = f(n)
Si on applique le procédé diagonal à g, on obtient bien un autre élément de 2^N qui n'est pas une valeur de g et donc ni u, ni une valeur de f.
On peut aussi ajouter u à n'importe quel endroit dans N en décalant les valeurs de rang supérieur d'un rang.

(Si on voulait vraiment ajouter u à la fin de N, il faudrait considérer un autre ensemble contenant tous les entiers naturels ainsi qu'un autre objet.)
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Message par Stauk le Mar 4 Aoû 2015 - 23:52

paela a écrit:D'accord. Dans ce cas, pour {0;1}, cela devrait donner 11 plutôt.
En fait, c'est l'idée d'ajouter un élément à la fin de la liste qui n'a pas de sens telle qu'elle.
On peut aussi ajouter u à n'importe quel endroit dans N en décalant les valeurs de rang supérieur d'un rang.
(Si on voulait vraiment ajouter u à la fin de N, il faudrait considérer un autre ensemble contenant tous les entiers naturels ainsi qu'un autre objet.)

Tout à fait. S'il existait un moyen de PROUVER que ces constructions sont fondamentalement absurdes, sans que des contres arguments soient créé, ça serait déjà fait. Donc il y a toujours moyen de se contorsionner pour que le procédé diagonal continue d'être présenté comme un .. heu truc qui a du sens. Du coup les convaincus sont d'autant plus convaincus, et tant pis s'il faut marcher sur la tête pour que ça continue de fonctionner.  Il n'y a guère qu'au niveau de l'intuition qu'on peut avoir une discussion constructive (à peu près aussi constructive qu'entre croyant et non croyant quoi). C'est bien pour ça que je disais que c'est une affaire de religion. Pour moi c'est absurde. Pour d'autres c'est aussi acceptable que la vierge marie pour certains religieux, mais dans un cadre "mathématique".

Néanmoins si tu supposes que le procédé diagonal ne génère pas nécessairement un nouvel élément qui ne serait image d'aucun rang de la suite, tu ne perds rien non plus. Et c'est pour moi une hypothèse infiniment plus naturelle (et qui d'ailleurs se vérifie en pratique sur certains exemples particuliers).

paela a écrit:
Si E est un ensemble, je note 2^E l'ensemble des fonctions de E dans {0;1}
Si on prend E = N, on se donne une application f de N dans 2^N, alors par le procédé diagonal on produit un élément u de 2^N qui n'est pas une valeur de f.
2^N est l'ensemble des fonctions de N -> {0,1}. J'ignore comment on applique le procédé diagonal à cet objet.

Pour prendre un exemple concret,
n-> ( n -> n modulo 2).

Comment tu appliques le procédé diagonal ?
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Message par Invité le Mer 5 Aoû 2015 - 0:12

Perso, je dis juste que c'est cool d'avoir réussi à squater une conversation et d'avoir fait fuir tout le monde...

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Message par Stauk le Mer 5 Aoû 2015 - 0:13

hobb a écrit:Perso, je dis juste que c'est cool d'avoir réussi à squater une conversation et d'avoir fait fuir tout le monde...
Y avait personne en fait.
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