"paradoxe" des 2 enveloppes

par Invité Dim 4 Juil 2021 - 7:51

J'imagine que ça a déjà été posé 100 fois ici,mais la fonction rechercher ne me renvoie rien.

#cas_général

Vous participez à un jeu télévisé, et on vous propose de choisir entre deux enveloppes scellées. Vous en choisissez une, et vous découvrez qu'elle contient X (lire grand ixe, c'est à dire un certain montant) euros. On vous apprend que l'autre enveloppe contient soit le double, soit la moitié de X. Et on vous laisse le choix de conserver votre enveloppe ou d'en changer.

Quelle stratégie appliquez vous ?

Edit : les discussions semblent tourner en rond ..... donc .....

Avant de traiter de cas plus compliqués merci d'avoir une position claire sur le cas suivant :
Sous problème 1 : #CAS_DE_BASE
Le fournisseur d'enveloppes ne peut mettre dans les enveloppes que valeurs suivantes : 2, 4 , 8 ou 16 euros. Et il en choisis deux consécutives (double et moitié l'une de l'autre) de façon équiprobable en préparation qu'il met dans deux enveloppes qu'il va utiliser pour le jeu qu'il vous propose. Ensuite il vous demande de choisir une enveloppe parmi les deux posées sur la table. Vous ouvrez l'enveloppe que vous choisissez et après avoir pris connaissance de la somme à l'intérieur, vous avez la possibilité de changer. Quelle est votre stratégie ?

[cet énoncé est différent de l’énoncé initial, mais me semble un prérequis à toute discussion constructive]

Lorsque vous discuter ce cas de base, merci d'indiquer	#cas_de_base en préalable
Sinon indiquez	#cas_général

par **RonaldMcDonald** Dim 4 Juil 2021 - 12:15

ma réponse...:

par Invité Dim 4 Juil 2021 - 12:26

par horizon artificiel Mar 6 Juil 2021 - 21:43

Spoiler:

par horizon artificiel Mar 6 Juil 2021 - 22:00

Ah j'ai maintenant accès à un élément de réponse au dessus de mon post précédent....

par Stegos Mar 6 Juil 2021 - 23:01

La question est de savoir quelles sont les indices, et quelles sont les ressources de ceux qui ont placé l'argent dans les enveloppes.

Mais sans indice externe, et sans information complémentaire (c'est PAS le paradoxe des 3 portes, aka Monty Hall, n'est-ce pas), alors c'est du 50/50

par Invité Mar 6 Juil 2021 - 23:10

Le problème des trois portes n'est pas un paradoxe, juste un problème de probabilité, celui ci est très différent en effet

par horizon artificiel Mar 6 Juil 2021 - 23:38

Tu nous donneras une explication ou pas ?

par Charv Mer 7 Juil 2021 - 0:11

Fiou, intéressant !

J'ai un très vague souvenir des 3 portes, je ne me souviens plus ni des conditions, ni du raisonnement, juste que "prends le fric, et tire-toi !"...

Là, c'est plus compliqué.

J'ai pas un niveau de math poussé du tout (disons, très bon fin collège), je vois la proposition de Ronald, que je sais mathématiquement averti. Mais, si j'ai d'abord été séduit par son calcul, à re-peser ça, j'ai l'impression que ~~ça vaut pas un clou~~ c'est pas un calcul pertinent. Ce qui m'ennuie, c'est que je ne saurais pas démontrer pourquoi. Dans ce que je vois, c'est juste du 50/50 : si la première enveloppe donne 10, alors j'ai juste une chance sur deux que l'autre donne 5, et une chance sur deux que l'autre donne 20. Epicétou. Nan ?
J'ai beau retourner ça dans tous les sens, "there is no alternative". J'attends le résultat avec impatience, parce que j'ai très peur que quelque chose m'ait échappé (ce qui est plus que vraisemblable, grumpf).

Dès lors, ne pouvant pas pousser plus loin le calcul, je vais faire comme Stegos et Horizon : "ça dépend du contexte".
Contexte perso, d'abord :
Si j'ai pas de quoi, ou à peine, me payer à bouffer : je garde !
Si au contraire, j'ai les moyens, mais que ça peut me permettre d'offrir le gastro (ou la Ferrari, ou ce qu'on voudra) : je rejoue !

De même, pour le contexte extrapersonnel :
si je joue avec Michel Drucker sur TF1, et qu'il me propos 1000 E dans la première enveloppe, je me dis qu'a priori, z'ont les moyens de gonfler la cagnotte pour faire spectacle, donc banco !
Mais si je suis avec Marcel, forain à la Vogue des Noix de Firminy, et qu'il me propose 10 E dans la première enveloppe... je garde, et paye ma tournée de Grande Roue.

Je retrouve un peu la situation d'un jeu dont je suis fidèle auditeur, les 1000 ~~francs~~ Euros sur France Inter.
Pour rappel : ça se joue à 2, si tu vas au bout des questions "de base", tu gagnes 125 E (à partager en 2) ; si tu tentes le banco, tu peux gagner 500 E (à partager en 2 toujours), ou tout perdre sauf le cadeau bonux France Inter (un T-shirt, et le bouquin du moment) ; et si, après avoir gagné le banco, tu tentes le Super, tu peux gagner 1000 E (divisé par 2, toujours), sous réserve de répondre à la question subsidiaire, normalement la plus dure. Ou tout perdre, sauf le cadeau Bonux.
Je n'ai pas le souvenir que quiconque ait refusé le banco ; pour le Super, c'est beaucoup moins évident, si les candidats se sont fait chaud, en général, ils arrêtent. Et lors du "Spécial Jeune" du mercredi, accessible aux étudiants (donc depuis la primaire jusqu'à la Fac, c'est large...), généralement, ils arrêtent après le Banco, et je les comprends.
Pour autant, si j'en juge de ma pratique d'auditeur, je pense répondre, hors stress derrière ma radio, à une question Super Banco sur 3 ou 4. Et, tout seul toujours, j'atteins le Banco genre 2 fois sur 4. Sachant que ça joue à deux, que les candidats ont été préalablement sélectionnés, la plupart du temps, ça se tente, à mon avis.
Sauf à être fauché ; sauf à s'être fait chaud, genre un partenaire qui n'a répondu à rien. Mais ça ne fait pas le spectacle...

Reste que les maths n'ont pas grand-chose à voir là-dedans.

C'est quoi, la réponse, ou le raisonnement à suivre ???

par Stegos Mer 7 Juil 2021 - 0:16

daurinak a écrit:
Vous participez à un jeu télévisé, et on vous propose de choisir entre deux enveloppes scellées. Vous en choisissez une, et vous découvrez qu'elle contient X (lire grand ixe, c'est à dire un certain montant) euros. On vous apprend que l'autre enveloppe contient soit le double, soit la moitié de X. Et on vous laisse le choix de conserver votre enveloppe ou d'en changer.

Sauf si il s'agit d'un choix forcé (explicite ou implicite), alors oui, le choix est équiprobable.

Ensuite, il FAUT une/des informations supplémentaires (j'ai pris un somnifère, donc pas envie de me lancer dans une liste exhaustive)..
Mais on peut reprendre rapidement un certain nombre de points..

Quand le joueur découvre la somme dans l'enveloppe, certaines informations sont dévoilées...et peuvent être utilisées.

Si la somme est de 10€, bah, on ne peut pas en déduire grand chose.
Si la somme est de 100'000€, ça en dis plus.
Si la somme est de 1'000'000€, ça devient intéressant.

L'information donnée (l'autre enveloppe contient soit la moitié, soit le double) est elle vraie, et est-elle systématiquement proposée ?

Mais sans information complémentaire, alors, oui, c'est équiprobable.

On peut prendre un contre exemple

Choisir une enveloppe
Consulter le contenu
S'entendre dire l'autre contient ou bien le double, ou bien la moitié
Faire un calcul d'Espérance incorrect
En déduire qu'il vaut mieux changer
Changer d'enveloppe
Retour au point [3] ...S'apercevoir que..heu...ça bugggg dès la 2ème itération, DONC le calcul de l'espérance est faux, DONC c'est équiprobable, donc il n'y a pas de "paradoxe"...END

par Invité Mer 7 Juil 2021 - 0:18

horizon artificiel a écrit:Tu nous donneras une explication ou pas ?

Je peux vous donner mon avis au doigt mouillé. Je suis notoirement nul en maths, car je n'en comprends absolument pas les fondations, et en général quand on te présente un théorème, on ne s'embête pas à te spécifier quelles fondations sous-tendent sa validité. Ce qui rend les mathématiques complètement angoissantes pour moi. Par contre on peut regarder ce genres de problèmes sans l'aide des mathématiques. Par ailleurs j'ai connu l'existence de cette question par un youtubeur, qui l'approche sans doute de façon Bayésienne (c'est sa spécialité il me semble), malheureusement c'est un sujet avec lequel je n'ai pas vraiment pris le temps de me familiariser. J'ai regardé la vidéo vite fait en diagonal : J'étais surtout intéressé par le fait que les gens débattent de la solution, qui est supposée apparemment provoquer des débats intéressants. N'hésite pas à regarder sa vidéo pour en savoir plus :

Spoiler:

par Invité Mer 7 Juil 2021 - 0:25

Stegos a écrit:L'information donnée (l'autre enveloppe contient soit la moitié, soit le double) est elle vraie, et est-elle systématiquement proposée ?

L'information est toujours vrai, et toujours proposée.

Stegos a écrit:
On peut prendre un contre exemple

Choisir une enveloppe
Consulter le contenu
Point[3] : S'entendre dire l'autre contient ou bien le double, ou bien la moitié
Faire un calcul d'Espérance incorrect
En déduire qu'il vaut mieux changer
Changer d'enveloppe
Retour au point [3] ...S'apercevoir que..heu...ça bugggg dès la 2ème itération, DONC le calcul de l'espérance est faux, DONC c'est équiprobable, donc il n'y a pas de "paradoxe"...END

Apparemment ton argument est un argument qui revient souvent. J'avoue que je ne comprends pas très bien.

On te donne deux enveloppes dés le début. L'une contient le double de l'autre (information toujours vrai). On te dis d'en choisir une. Tu l'ouvres, et tu découvres une nouvelle information : elle contient X. Bon jusqu'ici c'est simplement l’énoncé du problème. Maintenant je ne suis pas sûr de suivre ton raisonnement. Tu dis puisque l'espérance de l'autre enveloppe est (X*2 + X/2) /2, alors je dois changer. Bon ça je comprends à la limite, si tu suppose en effet que c'est 50/50. Mais la deuxième itération c'est quoi ?

par horizon artificiel Mer 7 Juil 2021 - 0:26

Ah oui j'avais lu l'énoncé trop vite, on sait que c'est des euros, j'avais pas vu le mot après la parenthèse... (fatigue Baille

)
Mais on ne sait pas si le montant est connu ou seulement si il y a un montant X inconnu...

par Invité Mer 7 Juil 2021 - 0:28

horizon artificiel a écrit:Ah oui j'avais lu l'énoncé trop vite, on sait que c'est des euros, j'avais pas vu le mot après la parenthèse... (fatigue )
Mais on ne sait pas si le montant est connu ou seulement si il y a un montant X inconnu...

C'est un X qui est connu au moment où tu ouvres l'enveloppe. Un paramètre de la question.

par horizon artificiel Mer 7 Juil 2021 - 0:30

OK Je regarderai la vidéo quand j'aurai les yeux en face des trous

Merci.

(J'avais carrément imaginé un autre jeu :
On te donne une enveloppe mais il peut y avoir n'importe quel bon dedans, tu ouvres ton enveloppe et tu vois que c'est un bon pour un montant non précisé - d'argent en euros -, et ensuite on te demande si tu veux tenter de le doubler au risque de le diminuer de moitié... )

par Invité Mer 7 Juil 2021 - 0:44

Bon alors petite précision sur la vidéo, je pense qu'honnêtement à 5:00 il raconte un truc qui ne fonctionne pas. M'enfin bon, c'est son métier, alors j'ai sans doute pas du comprendre. Vous me direz ce que vous en pensez. Sans doute pourça que j'ai juste survolé la vidéo, j'ai complètement perdu le fil à 5:00, et je me suis contenté de retenir la question. Je n'ai absolument pas compris quelle solution pratique lui propose. D'un autre coté, pour moi il y a une évidence qui se dégage (cf plus haut).

par Invité Mer 7 Juil 2021 - 0:50

horizon artificiel a écrit:OK Je regarderai la vidéo quand j'aurai les yeux en face des trous

Merci.

(J'avais carrément imaginé un autre jeu :
On te donne une enveloppe mais il peut y avoir n'importe quel bon dedans, tu ouvres ton enveloppe et tu vois que c'est un bon pour un montant non précisé - d'argent en euros -, et ensuite on te demande si tu veux tenter de le doubler au risque de le diminuer de moitié... )

C'est en effet très différent : d'une part on a pas l'information du montant en jeu (qui peut valoir 0 j'imagine ... voir peut être être négatif ??). Après ça dépend comment on te présente le truc. Si on te présente deux enveloppes supplémentaires et que tu sais que la valeur initiale est > 0, et qu'une des deux contient la moitié du montant inconnu > 0, et l'autre le double, là il faut clairement en choisir une des deux nouvelles. Et recommencer si on t'en présente deux nouvelles. Free money.

par Charv Mer 7 Juil 2021 - 0:56

Ok, vu la vidéo (chouette chaine, soit dit en passant, dont j'ai redécouvert l'existence).

Bon... Ben pour ce que j'en comprends, j'avais raison !

- Ronald a dit de la m.... (même si j'ai toujours pas exactement compris pourquoi sur la base de son raisonnement ponctionnel) (traduction faite par Stegos : "Retour au point [3] ...S'apercevoir que..heu...ça bugggg dès la 2ème itération, DONC le calcul de l'espérance est faux, DONC c'est équiprobable, donc il n'y a pas de "paradoxe"...END")
- CQFD, ça dépend du contexte.
A voir la vidéo, et à me souvenir des autres si ma mémoire est bonne, sa thèse, c'est de glaner un max d'informations pour faire un choix statistiquement éclairé ; et, effectivement, le choix n'est pas le même selon que la première enveloppe contient 2, 10, 100, 1000000000000... sans même parler du reste. Mouais, spa faux.

Me dis du coup que j'ai été "efficient" sur ma proposition, mais voilà, quoi...

Edit : là où le type est "radin", c'est quant à savoir comment discriminer une info pertinente d'une autre qui ne l'est pas.
Concrètement, sur cet exemple, je peux très bien choisir de ne pas regarder le montant contenu dans la 1ère enveloppe, tirer à pile ou face pour savoir si j'ouvre ou non la seconde, sans que, statistiquement, mes gains en soient changés. La seule nuance, c'est dans le cas où je sais que je suis sur TF1 ou à Firminy, auquel cas ça vaudrait le coup de regarder le montant de la 1ère. mouais.

par Invité Mer 7 Juil 2021 - 1:13

Bon comme je disais je n'ai pas spécialement de réponse, et je ne comprends pas grand chose à ce que le youtubeur raconte dans sa vidéo. Du coup je joue avec vous, sans prétendre apporter rien de plus que mon avis personnel.

Donc on nous propose deux enveloppes. Déjà quelle est l'espérance de jouer au jeu plutôt que de se sauver en appelant la police ? Si on s'en va on gagne 0 .. mais si on ouvre une enveloppe on gagne un truc YEAAAHHH. jeu intéressant $$$$. Combien perd celui qui nous propose le jeu, si on garde juste la première enveloppe, celle qu'on tire en premier ? Appelons X cette somme (qui est en effet la moyenne 50/50), alors une enveloppe contient 2X/3 et l'autre X/3. Maintenant on tire une des deux et on observe sa valeur. La question est de savoir quelle information ça nous donne. Comme le jeu est à somme non nulle (on gagne toujours quelque chose), on peut se demander combien vaut X (l'espérance si on prend au hasard une sans changer). Dans le cas général, on peut suppose que X a été tiré au hasard parmi tous les réels positif . Problème : il n'existe pas de façon de tirer un nombre équiprobablement au hasard parmi les réel positifs (enfin c'est un truc que j'ai lu quelque part une fois. Mais en cherchant j'ai effectivement pas trouvé de moyen. On ne peut pas non plus tirer au hasard equiprobablement un nombre entier). Donc toutes les valeurs de X ne sont pas équiprobables. Et tout va dépendre du procédé particulier qui a été utilisé. Oui mais ce n'est pas fini .... Car c'est naturellement très difficile de prendre des valeurs très très grandes. Plus la valeur observée est grande, plus il y a de chance qu'on ait choisis la bonne enveloppe.

Si par exemple vous savez que c'est un entier et que vous observez 1, vous pouvez changer. Mais si vous observez 1000000000000000000000000000000000 mieux vaut garder. Naturellement dit comme ça ça ressemble juste à une aversion à la perte, mais en fait c'est plus subtil que ça. Il n'y a pas de réponse absolue, car il y a trop de façons de choisir la valeur initiale si on peut la choisir "comme on veut", mais néanmoins on observe toujours cette tendance : plus la somme observée est petite [jusqu'à un certain point], plus il faut changer, et plus elle est grande, plus il faut garder. D'une part parce qu'on perd toujours moins quand la valeur est petite. Et d'autre part parce que quand la valeur est entière, les grandes valeurs sont toujours moins probable que les petites (et donc on peut certainement se créer une stratégie où on décide d'un multiplicateur à priori g, et on considère la partie entière du résultat pour prendre notre décision).

par horizon artificiel Mer 7 Juil 2021 - 2:48

Fatiguée mais je suis toujours "éveillée" et j'ai quand même regardé la vidéo.

D'une part parce qu'on perd toujours moins quand la valeur est petite. Et d'autre part parce que quand la valeur est entière, les grandes valeurs sont toujours moins probable que les petites (et donc on peut certainement se créer une stratégie où on décide d'un multiplicateur à priori g, et on considère la partie entière du résultat pour prendre notre décision).

je dirais plutôt:

D'une part parce qu'on risque moins à perdre quand la valeur est petite.

La somme perdue ou gagnée est plus petite.

Donc oui, si X = 1000000000000000000000000000000000 euros, faut garder.... c'est subjectif et sans rapport avec le résultat gain ou perte de l'échange d'enveloppes
Je ne comprends pas le reste de ta phrase...
Pourquoi les grandes valeurs sont moins probables ?

Tout ce que je comprends c'est :
Le risque du joueur de son point de vue se situe entre garder, doubler ou réduire son montant de moitié mais il n'y a pas trois solutions équiprobables entre je garde, je double ou je perds la moitié.
C'est équiprobable entre je double ou je perds la moitié.

Si S est la somme maximale contenue dans une des deux enveloppes, alors (si Y est le montant de la deuxième enveloppe) :
soit X=S et Y=S/2
soit X=S/2 et Y=S
Je ne vois pas de stratégie possible avec un multiplicateur pour aider à décider du résultat gain ou perte... quel que soit le montant de X.
Je ne comprends pas trop pourquoi la façon de déterminer X joue un rôle objectivement.

Après la décision du changement d'enveloppe de X vers Y on peut te proposer un deuxième changement... pour une enveloppe avec un montant Z qui contiendra soit 2Y soit Y/2....

Dans les faits, je ne sais pas comment joue le facteur subjectif (selon la fortune personnelle des joueurs ou leur goût pour le risque) sur les résultats enregistrés mais j'imagine bien que plus la valeur de X est grande moins les joueurs ont changé d'enveloppe.

PS : j'aime pas les probas ni les stats

par Entelekia Mer 7 Juil 2021 - 4:35

Ben moi y'en a pas aimer faire un choix. Et moi savoir que jeux débiles et MC chelous par définition (faut être grave désoeuvré de la misère du monde et de sa propre misérable existence pour pondre ou animer un jeu - comme ça non?).
Alors moi prendre les 2+1 enveloppes façon bip-bip, passer sur le corps des vigiles, et une fois dehors certainement me prendre une grosse falaise façon coyote.
Mais la perspective sublime de l'incarner lui et son museau cassé chafouin me fait challenger.
No pain,no gain, comme dirait la femme du boulanger.
#Note pour plus tard: faudrait pas que j'irais à Vegas.

par Stegos Mer 7 Juil 2021 - 7:37

daurinak a écrit:
Stegos a écrit:L'information donnée (l'autre enveloppe contient soit la moitié, soit le double) est elle vraie, et est-elle systématiquement proposée ?
L'information est toujours vraie, et toujours proposée.

Ok

daurinak a écrit:
On te donne deux enveloppes dés le début. L'une contient le double de l'autre (information toujours vraie). On te dis d'en choisir une. Tu l'ouvres, et tu découvres une nouvelle information : elle contient X. Bon jusqu'ici c'est simplement l’énoncé du problème.

Jusque là, oui

daurinak a écrit:
Maintenant je ne suis pas sûr de suivre ton raisonnement. Tu dis puisque l'espérance de l'autre enveloppe est (X*2 + X/2) /2, alors je dois changer.

Alors, cela n'est PAS mon raisonnement, parce que je considère que ce raisonnement est simplement FAUX, même si il est fait par certains.
Pour commencer, on est JAMAIS dans le cas [2X, 0.5X], ce qui implique une différence d'un facteur 4.
Si c'était le cas, on aurait 50% x 2X + 50% x0.5X = 5/4 X > X...d'où gain potentiel..

Les choix sont [X, 2X], ou [X. 0.5X], avec un facteur de deux.

Il y a donc deux variables aléatoires, X₁ valant X ou 2X, avec comme probabilité 50% / 50%, et X₂, valant 2X ou X, avec comme probabilité 50% / 50%.
Et que donc l'espérance de X₁ est égale à l'espérance de X₂...on est toujours à 50/50.

Faire l'espérance du ratio X₂/X₁ (qui vaut plus que 1), et en déduire qu'il faut changer, c'est oublier que l'espérance du ratio X₁/X₂ est identique, et vaut AUSSI >1

Le contre-exemple (raisonnement par l'absurde) est simple...

Stegos a écrit:On peut prendre un contre exemple

Choisir une enveloppe
Consulter le contenu (ou pas, on s'en fout en fait)
Point[3] : S'entendre dire l'autre contient ou bien le double, ou bien la moitié
Faire un calcul d'Espérance incorrect
En déduire qu'il vaut mieux changer
Changer d'enveloppe
Retour au point [3] ...S'apercevoir que..heu...ça bugggg dès la 2ème itération, DONC le calcul de l'espérance est faux, DONC c'est équiprobable, donc il n'y a pas de "paradoxe"...END

Prendre une enveloppe
S'entendre dire l'autre contient ou bien le double, ou bien la moitié
Changer d'enveloppe
S'entendre dire l'autre contient ou bien le double, ou bien la moitié
Changer d'enveloppe (et donc reprendre l'enveloppe initiale)
S'entendre dire l'autre contient ou bien le double, ou bien la moitié
etc etc etc...
ça buggue

Tout ceci, si on n'a PAS d'informations extérieures, ni qu'on ne fait de pré-supposition (justes ou non), cas d'une analyse Bayesienne.

Maintenant, si on a accès à plus d'informations (comme par exemple les limites min/max de la somme dans l'enveloppe, la loi de distribution des sommes, le poids des enveloppes si la somme est en cash), OK, ça peut changer la donne...mais ça n'est pas la question d'origine.

Il est clair que si JE me trouve dans la situation, que je sais (ou que je suppose fortement) que le budget du jeu est de 100'000€, et que dans l'enveloppe il y a 20€, je ne peux en tirer aucune conclusion.
Par contre, si dans l'enveloppe il y a 75'000€ (toujours avec un budget max de 100'000), alors je SAIS que dans l'autre enveloppe il ne peut y avoir QUE 37'500€.

Finalement, il est aussi facile de faire une simulation informatique du problème, avec une vraie distribution aléatoire des sommes, et regarder si il y a gain ou non selon les stratégies.

par horizon artificiel Mer 7 Juil 2021 - 8:14

C’est un peu comme quelqu’un qui se demande s’il doit partir en préretraite ou pas, s’il ne connaît pas le nombre d’années qui lui reste à vivre…
Est-ce qu’il doit travailler plus longtemps pour profiter d’une retraite plus élevée et moins longue, ou moins élevée et plus longue ?

Subjectivement, ça dépend du montant de la retraite, est-ce qu’il est suffisant pour que la personne vive décemment… ça dépend de l’espérance de vie moyenne. Mais rien ne dit que la personne aura une vie plus ou moins longue que la moyenne… En plus, il y a des personnes qui vont diminuer leur espérance de vie en continuant à travailler, et d’autres qui vont au contraire l’augmenter, selon, entre autre, l’activité professionnelle.

Est que c’est décidable ?

par **RonaldMcDonald** Mer 7 Juil 2021 - 8:16

Stegos raisonne en rapport de valeurs, moi en valeurs absolues (j'ai pris 10 au pif, juste pour avoir une base de réflexion). C'est pour ça qu'on ne trouve pas le même résultat. A mon sens, les deux critères sont possibles (et il y en a peut-être d'autres aussi légitimes, d'ailleurs). C'est pour ça que je termine mon raisonnement en disant qu'en fait, on manque de billes sur l'objectif exact.

Mon calcul reste juste (moi je suis bon en proba-stats, dusse ma modestie en souffrir), celui de Stegos aussi, ils partent juste sur des hypothèses complémentaires différentes. Et ces hypothèses ne sont pas seulement sur la situation de départ (comme sous-entendu par le dernier post de Stegos), mais aussi sur l'objectif réel. En outre, le comportement change forcément quand on connait la vraie valeur de X (là aussi, Stegos a expliqué pourquoi), mais l'énoncé refuse de nous la donner. L'énoncé est donc questionnable (pour rester poli). C'est pour ça que j'étais parti sur une valeur fixe. Si on ne l'a pas, on ne peut que disserter sur du vent.

Le problème des 3 portes, lui, est d'une grande simplicité : soit on gagne que dalle, soit on gagne beaucoup. Donc c'est juste une question de probabilités. Et si on change de porte, la probabilité de gagner double. Problème résolu. J'avais fait un programme pour tester sur 1000 occurrences, pour être sur de bien comprendre (et c'est en programmant le truc que j'ai compris, pas en regardant le résultat, que je connaissais déjà par avance). Mais le problème des 3 portes est bien posé.

par horizon artificiel Mer 7 Juil 2021 - 8:32

Ronald,
Si tu changes ou si tu changes pas, la moyenne serait pas plutôt (10+20)/2, soit 15 ?

par Invité Mer 7 Juil 2021 - 8:48

@RonaldMcDonald : stegos proposait de faire un programme pour cet énoncé ci. Je me demande quelle distribution pour la somme initialement en jeu il va choisir. La meilleure stratégie dépendra de cette distribution.

Pour ce qui est d'être un problème mal posé, je ne trouve pas. Le célèbre problème de l'âge du capitaine n'est pas "mal posé". Un problème n'est pas mal posé juste pour la raison que tout n'est pas explicite. Les problèmes qui se posent à nous au quotidien sont rarement posés de sorte à fournir toute l'information utile à la prise de décision : et il faut tout de même à un moment, prendre des décisions.

Changer ou ne pas changer, telle est la question.

par Invité Mer 7 Juil 2021 - 9:12

Problème volontairement mal posé pour embrouiller. Dans tous les cas de figure il y a TOUJOURS une enveloppe qui contient le double de l'autre.

Le seul choix restant après le premier tirage est :
'Vais prendre le risque de diviser par deux mes gains ?" pour les anxieux
"Ai je la baraka et doubler mes gains ?" pour les optimistes

Dent pétée

par Confiteor Mer 7 Juil 2021 - 9:25

Si on décide de garder l'enveloppe choisie, est-on informé du contenu de l'autre ou reste-t-on dans l'incertitude ?

C'est un paramètre psychologique intéressant.

par Confiteor Mer 7 Juil 2021 - 9:39

"Problème volontairement mal posé pour embrouiller."
Oui. C'est la question qui est ambiguë.

"Quelle stratégie utilisez-vous ?" ne fixe pas l'objectif visé : optimiser ses gains ou minimiser ses pertes.
Sur le champ de bataille, existe-t-il UNE stratégie optimale ? Bien sûr que non, tout dépend des buts de guerre.

Une question plus pertinente me semblerait par exemple être : "Existe-t-il une stratégie permettant d'optimiser ses gains ?"
Et au feeling, je dirais : NON.

par **RonaldMcDonald** Mer 7 Juil 2021 - 9:42

horizon artificiel a écrit:Ronald,
Si tu changes ou si tu changes pas, la moyenne serait pas plutôt (10+20)/2, soit 15 ?

Non. Gardons 10 comme valeur de X. Si tu ne changes pas, ben tu as 10. Si tu changes, tu as soit 5 soit 20. Donc (5+20)/2, soit 12,5.

En mettant X en valeur de l'enveloppe A, l'espérance de gain sans changer est X, l'espérance de gain en changeant est (X*2 + X/2)/2 = X + X/4 = 5*X/4 = 1.25*X - l'espérance de gain en valeur absolue augmente bien quand tu changes d'enveloppe, et l'augmentation est de 25%. (application numérique avec X=10 ci-dessus). Tout ceci en supposant que la probabilité du double soit la même que la probabilité de la moyenne, d'ailleurs, je ne crois pas l'avoir lu, mais admettons.

Mais ce que je dis, c'est que ça ne suffit pas pour faire une décision. Dans la vraie vie, le gain pur n'est pas forcément l'objectif recherché numéro un. Quand une institution investit de l'argent, elle a besoin d'un revenu minimal chaque année, et va prendre un revenu global minimal inférieur pour minimiser le risque. Les investissements les plus risqués sont souvent les plus rentables, mais tout le monde ne peut pas se permettre le risque. Si j'ai vraiment besoin de X, et que je suis dans la merde si je n'ai que X/2, alors chercher le meilleur rendement statistique est un mauvais choix, je dois minimiser le risque. Ce à quoi tu rajoutes tous les bémols de Stegos sur les limites inférieures et supérieures du jeu. Et tu t'aperçois que tu ne peux même pas faire un programme informatique qui simule ça, parce que tu est bien obligé de passer lesdites limites en paramètres (sinon ça ne calcule pas). Or tu ne les a pas.

par Invité Mer 7 Juil 2021 - 9:42

Ce qui est important c'est que c'est un jeu où on ne perd jamais.

par horizon artificiel Mer 7 Juil 2021 - 9:46

Ronald,
Si en changeant tu as soit 5 soit 20, tu as un facteur 4....

par Invité Mer 7 Juil 2021 - 9:46

Ronald : Tu fixes X mais l'escroquerie c'est que tu ne connais pas X....

Tu as deux enveloppes, une de 50 une de 100. C'est quoi X ?

par Confiteor Mer 7 Juil 2021 - 9:49

Dans la vraie vie, le gain pur n'est pas forcément l'objectif recherché numéro un.

C'est pourquoi la question est mal posée.

par **RonaldMcDonald** Mer 7 Juil 2021 - 9:51

Allez, un petit programme en VBA pour EXCEL :

Code:: Option Explicit Sub Main() Call Total(1000, 2, 1000, 50) End Sub Sub Total(Occurs As Long, Min As Long, Max As Long, Pourcentage As Single) Dim Pos As Long, XValue As Long, Xautre As Double Dim totalGarde As Double, totalChange As Double For Pos = 1 To Occurs XValue = CInt((Rnd * Min) + Max) If PileOuFace(Pourcentage) Then Xautre = XValue * 2 Else Xautre = XValue / 2 End If totalGarde = totalGarde + XValue totalChange = totalChange + Xautre Next Pos MsgBox ("enveloppe principale : " & CStr(totalGarde) & " / autre enveloppe : " & CStr(totalChange)) End Sub Function PileOuFace(Pourcentage As Single) As Boolean Dim result As Boolean If Rnd * 100 > Pourcentage Then result = False Else result = True End If PileOuFace = result End Function

On peu passer en paramètre le nombre de fois ou on joue (1000), X minimal (1), X maximal (10000), et la probabilité qu'on double la mise (exprimée en pourcentage, donc 50% ici)

Les résultats sont aux alentours de 1 million si on garde, et 1.25 million si on ne garde pas. Je vous laisse vérifier/améliorer. Mon calcul est exact. Mais je suis d'accord avec Confiteor : ce n'est pas parce que mon calcul est exact qu'il est pertinent - il faut prendre en compte les objectifs.

par **RonaldMcDonald** Mer 7 Juil 2021 - 9:52

horizon artificiel a écrit:Ronald,
Si en changeant tu as soit 5 soit 20, tu as un facteur 4....

Ben oui : soit tu as la moitié de X, soit tu as le double de X. Entre la moitié et le double, il y a un facteur 4.

par **RonaldMcDonald** Mer 7 Juil 2021 - 9:53

Nolimit a écrit:Ronald : Tu fixes X mais l'escroquerie c'est que tu ne connais pas X....

Tu as deux enveloppes, une de 50 une de 100. C'est quoi X ?

Même réponse : X, c'est l'enveloppe que tu as choisi. Su tu tombes sur 100, X vaut 100, tu ne sais pas si l'autre vaut 50 ou 200. Si tu tombes sur 50, tu ne sais pas si l'autre vaut 25 ou 100.

par horizon artificiel Mer 7 Juil 2021 - 9:53

Ben je préfère la démo de Stegos

par horizon artificiel Mer 7 Juil 2021 - 9:54

horizon artificiel a écrit:

Si S est la somme maximale contenue dans une des deux enveloppes, alors (si Y est le montant de la deuxième enveloppe) :
soit X=S et Y=S/2
soit X=S/2 et Y=S

par **RonaldMcDonald** Mer 7 Juil 2021 - 9:58

horizon artificiel a écrit:
horizon artificiel a écrit:

Si S est la somme maximale contenue dans une des deux enveloppes, alors (si Y est le montant de la deuxième enveloppe) :
soit X=S et Y=S/2
soit X=S/2 et Y=S

Sauf que tu n'as pas S, tu n'as que X pour prendre ta décision.

Si X = S, alors Y = S/2, donc Y = X/2
Si X = S/2, alors Y = S, et donc Y = 2*X

Il y a toujours un rapport 4 entre les deux valeurs possibles de Y.

par horizon artificiel Mer 7 Juil 2021 - 9:58

On n'a pas besoin de S

par horizon artificiel Mer 7 Juil 2021 - 10:01

Le Y n'est pas le même dans les deux cas

par horizon artificiel Mer 7 Juil 2021 - 10:04

Non tu me fais cafouiller, Nolimit a raison, il ne faut pas fixer X

par horizon artificiel Mer 7 Juil 2021 - 10:05

Bon ben moi je suis d'accord avec Stegos et Nolimit

(Tant pis pour eux ; c'est pas ma faute LOL)

Soit X=S soit X=S/2

par Invité Mer 7 Juil 2021 - 10:10

RonaldMcDonald a écrit:
Nolimit a écrit:Ronald : Tu fixes X mais l'escroquerie c'est que tu ne connais pas X....

Tu as deux enveloppes, une de 50 une de 100. C'est quoi X ?
Même réponse : X, c'est l'enveloppe que tu as choisi. Su tu tombes sur 100, X vaut 100, tu ne sais pas si l'autre vaut 50 ou 200. Si tu tombes sur 50, tu ne sais pas si l'autre vaut 25 ou 100.

Non, ce que tu décris c'est ce qui se passe dans la tête du joueur, pas de ce qui se passe dans les enveloppes !
Tu as deux enveloppes, une de 100, une de 50. Mais dans la tête du joueur suivant son tirage, cela pourrait 25, 50, 100 ou 200.
Après tu peux toujours calculer la proba pour 25 et 200. Mais elles sont nulles par essence puisqu'elle n'existent pas.

par Invité Mer 7 Juil 2021 - 10:12

Si le montant que j'ai dans l'enveloppe m'est nécessaire, je le garde
S'il est inférieur (moins 50% de mon besoin) je le garde
S'il est inférieur (plus de 50% de mon besoin) je prend l'autre
S'il est supérieur au double de mon besoin je prend l'autre.

je pars du principe que je n'ai le droit de changer qu'une fois (mais j'ai l'impression que ce serait valable si ce n'est pas le cas sauf nombre de choix infini)

En dernier recours, ça dépend essentiellement de la nature de mon besoin.

par Invité Mer 7 Juil 2021 - 10:39

par Invité Mer 7 Juil 2021 - 10:44

Tant que ce n'est pas une couille dans mon potage... çà me va Dent pétée

par Invité Mer 7 Juil 2021 - 10:57

'tain ... j'espère que c'est bien un cheveu .. Dent pétée

par **RonaldMcDonald** Mer 7 Juil 2021 - 10:57

Ah oui, en fait, ça dépend de savoir à quel moment la deuxième enveloppe est créée. Mon calcul n'est valable que si la deuxième est créée après la première. Quand je dis que l'énoncé n'est pas clair.

Ca renforce mon point de vue : les questions sont alambiquées volontairement pour piéger les gens. En gros, pour valoriser l'égo de celui qui pose la question.