Problème des deux enveloppes

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Problème des deux enveloppes

Message par Cyril THQI le Mer 30 Mai 2018 - 20:31

Edit modo : ce fil est issu d'une scission du fil sur le problème de Monty Hall. Le message de Cyril faisait initialement suite à ce message.

Nicolas, ton problème me fait penser à un autre problème de probabilité et de choix qui m'a rendu très perplexe. Sans doute le connais-tu :

Soit 2 boîtes, contenant chacune une somme d'argent.
L'une des boîtes contient le double de l'autre.
Vous allez pouvoir emporter le contenu d'une boîte.
Vous choisissez une boîte.
Vous l'ouvrez.
Vous y découvrez une somme X.
L'organisateur du jeu, qui ignore quelle boîte vous avez ouverte vous donne le choix d'en changer (comme dans le problème de Monty Hall.
Que faîtes-vous ?

2 raisonnements incompatibles peuvent alors être faits :

Premier raisonnement :
La probabilité d'avoir choisi, la meilleure boîte est 1/2 et il est indifférent de changer.

Deuxième raisonnement :
La boîte que j'ai choisie contient X. L'autre à une probabilité 1/2 de contenir 2X et une probabilité 1/2 de contenir X/2. L'espérance mathématique est donc (2X + X/2)/2, c'est-à-dire 1,25 X. J'ai donc intérêt à changer.

Je suis convaincu que le deuxième raisonnement est fallacieux, mais je ne parviens pas à le démontrer.
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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Pieyre le Mer 30 Mai 2018 - 20:43

Le problème est en quelque sorte inverse de celui de Monty Hall : on lie les deux choix alors qu'il n'y a pas de lien (puisque le choix de l'organisateur ne dépend pas du choix du joueur).

Globalement, il y a une somme S et une somme 2S, les deux boîtes correspondant à la même variable aléatoire qui a pour espérance 1,5S. C'est-à-dire que la somme qu'on trouvera dans la deuxième boîte ne doit pas être considérée comme double ou moitié de celle, X, qu'on a trouvée dans la première mais juste S (par ailleurs égale à X/2) ou 2S (par ailleurs égale à 2X).

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Invité le Mer 30 Mai 2018 - 20:59

Mon analyse est différente, c'est le premier raisonnement qui me semble fallacieux. Il n'est pas indifférent d'en changer puisque le contenu de l'autre boîte est nécessairement différent et peut désormais être calculé (contrairement à avant où il était aussi inconnu que l'autre).

Si on avait pas ouvert la boîte et vu son contenu, cela ne changerait pas en effet. (Ce qui est très paradoxal, en effet, mais à ce moment les calculs de Pieyre s'appliquent)

Mais pour simplifier, disons que dans ce second cas, on a à choisir entre une boîte qui contient soit plus, soit moins que l'autre (proportion égale) sans espérance possible.
Et dans le premier, on a une boîte qui contient deux fois moins ou deux fois plus que celle dont on connaît le contenu (proportion égale toujours) et du coup on a un calcul d'espérance possible.
Bref, en changeant de boîte on a toujours autant de chance de gagner plus que de gagner moins, mais le gain potentiel reste le double de la perte potentielle.
Ce n'est donc que la connaissance de ceux-ci (les montants) qui influe sur le choix.

Disons donc que, en quelque chose qui doit s'approcher d'un langage mathématique :
En aveugle on est à ce choix S ou 2S qui ne peut être tranché.
Alors que si on la valeur d'une boîte, on passe dans un modèle X ou (X/2 ou 2X).
Ce qui en fait deux problèmes bien différents.

PS : Je suis pas matheux, alors je dis potentiellement de grosses conneries.

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Invité le Mer 30 Mai 2018 - 21:11

Faut-il vraiment additionner les deux probabilités (2X + X/2)/2, alors que les 2 événements sont incompatibles, la 2ème boite contenant soit 2 X, soit 1/2X ?
Enfin les maths c'est loin pour moi...

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Pieyre le Mer 30 Mai 2018 - 21:12

Ἑκάτη, de la façon dont tu présentes les choses, cela ressemblerait à l'expérience de pensée du chat de Schrödinger. Et pourtant le second choix ne peut pas être différent selon que l'on ouvre ou pas la boîte, ne crois-tu pas ?

J'essaie de formaliser un peu plus les choses.

On a une somme d'argent S fixe.
On a deux variables aléatoires X et Y qui peuvent prendre les valeurs S et 2S avec les probabilités 1/2.
On choisit d'appliquer X. L'espérance de X est de 1,5S. C'est ce qu'on peut attendre en moyenne avant d'ouvrir la boîte. On fois qu'on l'a ouverte, on constate S ou 2S.
Notre choix n'a rien changé quant aux sommes qui sont présentes dans les boîtes, juste quant à la connaissance qu'on en a.
L'organisateur nous propose d'appliquer Y.
Rien ne change non plus quant au contenu des boîtes. On sait que la valeur de la seconde boîte peut être S ou 2S, par ailleurs double ou moitié de ce qu'on avait obtenu la première fois. Et, quand on l'ouvre, on constate en effet S ou 2S.
C'est-à-dire que l'espérance de Y a toujours été de 1,5S.


Dernière édition par Pieyre le Mer 30 Mai 2018 - 21:30, édité 1 fois

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Invité le Mer 30 Mai 2018 - 21:30

Est-ce que S est connu au début ? Ce n'est pas stipulé, et c'est même absurde puisque sinon le joueur saurait s'il doit changer ou non. Donc S est inconnu à l'origine.

Et c'est pourquoi les deux cas sont différents pour moi, parce que dans le premier S reste inconnu et donc il n'y a pas de calcul d'espérance possible. Alors que dans le second, il devient déterminable (selon deux possibilités du coup, soit 1,5X, soit 3X), ce qui change selon moi le problème.

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Pieyre le Mer 30 Mai 2018 - 21:33

Je n'ai pas dit que la somme S était connue au départ, mais qu'elle était fixe (dans le référentiel de l'organisateur). Dans ton raisonnement, c'est comme si ce référentiel pouvait changer en fonction du choix du joueur.

Bon, tu devrais faire comme Paul Erdös : une simulation informatique. Le résultat serait imparable.

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Invité le Mer 30 Mai 2018 - 21:51

Je ne suis pas convaincu et j'en reste à l'idée que les deux problèmes diffèrent. La connaissance de la valeur d'une boîte ne change évidemment pas la valeur de S, mais elle permet de poser deux hypothèses sur celle-ci, équiprobables, la seconde étant cependant plus avantageuses pour nous que l'autre si on change son choix (-1/2X contre +X). Cela ne change pas le fait qu'on a toujours une chance sur deux de faire le moins bon choix. La différence c'est que dans le cas de la connaissance, on connaît le moins bon ou le meilleur choix, et sans cela, non.

Je vais tenter de poser ça logiquement :

Soit S la somme, x le contenu du premier coffre, 2x le contenu du second. Aucune n'est connue.

S = x + 2x = 3x

Si le joueur choisit x,
S'il change d'avis il gagne 2x
S'il ne change pas d'avis, il gagne x

Si le joueur choisit 2x,
S'il ne change pas d'avis, il gagne 2x
S'il change d'avis, il gagne x

Jusqu'ici on a la logique respectée, 50% de chances d'avoir x, 50% de chance d'avoir 2x

---

Maintenant supposons X le montant de la boîte ouverte.

2 cas :
a. S = X + 1/2X
S'il conserve sa boîte, il gagne X
S'il change sa boîte, il gagne 1/2X (perte de gain potentiel de 1/2X)
Vérification :
Ici X = 2x
S = 2x + 2x/2 = 3x

b. S = X + 2X
S'il conserve sa boîte il gagne X
S'il change sa boîte, il gagne 2X (gain de gain potentiel de 1X)
Vérification :
Ici X = x
S = x + 2x = 3x

Chaque cas est équiprobable évidemment, et tous respectent S=2x+x.

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Invité le Mer 30 Mai 2018 - 22:06

Ce que je veux poser c'est que les deux cas somme S inconnue et valeur X connue n'ont rien de contradictoire.

Et d'ailleurs pour les cas ou X est connu :

a. S = X +1/2X
X = 2x
1/2X = x

b. S = 2X + X
X = x
2X = 2x

On retrouve les 50% de x et 50% de 2x qui définissent bien la répartition à S inconnu.


Dernière édition par Ἑκάτη le Jeu 31 Mai 2018 - 0:06, édité 1 fois

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Nicolas_72 le Mer 30 Mai 2018 - 22:20

Je ne connaissais pas ce "paradoxe".

Le premier raisonnement est correct.
Les deux événements sont équiprobables (boîte SIMPLE ou boîte DOUBLE).
Aucune raison de changer ou de ne pas changer.
Changer de boîte, ce serait comme retourner une pièce une fois de plus après l'avoir lancé.
Ça ne changerait rien. Je pense que tout le monde est d'accord sur ce point.

Le second raisonnement est forcément fallacieux.
L'espérance mathématique de la variable aléatoire n'a de sens que calculée avant de jouer et représente le gain moyen si on jouait plusieurs fois au même jeu.
La boîte SIMPLE contient SIMPLE euros.
La boîte DOUBLE contient 2 * SIMPLE euros.
Ce gain moyen est de 1/2 * SIMPLE + 1/2 * (2 * SIMPLE) donc 3/2 * SIMPLE.

Le calcul de l'espérance que tu cites n'a plus aucun sens car on est déjà entré dans le "jeu".
D'ailleurs, si je participe en même temps que toi et que j'hérite de la boîte restante, le second raisonnement m'incite moi-aussi à changer de boîte ! Donc nous échangeons nos boîtes What a Face
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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Invité le Mer 30 Mai 2018 - 22:23

Je crois qu'une notion de valeur relative et de valeur absolue est à prendre en compte.

Pour un S constant :
Dans le cas b. 2X-1X = 1X = ...
dans le cas a. X-1/2X = 1/2X
Ce qui lisse en effet le résultat puisque 1X(b) = 1/2X(a) et donc le gain d'espérance est effacé (ce qui est normal).

Mais S reste inconnu. En fait changer, c'est faire le pari que S serait deux fois plus important qu'il le serait en conservant son choix (ce qui tient vraiment du pari du coup, mais c'est pas un pari très risqué (on a tort, on gagne deux fois moins qu'attendu, on a raison on gagne deux fois plus).

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Invité le Mer 30 Mai 2018 - 22:24

Si quelqu'un a de la doc sur ce "paradoxe", je serais curieux.

Edit : Trouvé ! https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_deux_enveloppes

Ah tout est changé, le contenu de l'enveloppe reste inconnu avant la proposition ce qui fait qu'on reste dans le cas S... Je vais explorer.

Modifications de l'énoncé
Si le candidat est autorisé à consulter le contenu de la première enveloppe, une approche probabiliste à ce problème de décision redevient possible (...)


Dernière édition par Ἑκάτη le Mer 30 Mai 2018 - 23:59, édité 1 fois

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Invité le Mer 30 Mai 2018 - 22:41

Un peu différent : le jeu de « moitié ou double »
Le jeu

Le jeu est le même avec une condition supplémentaire : la quantité d'argent contenue dans une enveloppe doit être le double (ou la moitié !) de celle contenue dans l'autre enveloppe. Autrement dit, les enveloppes doivent contenenir x1=t et x2=2t pour une certaine somme t>0. Le candidat choisit l'enveloppe contenant x (égal à x1=t avec probabilité 1/2, et à x2=2t avec probabilité 1/2), et on appelle x' la somme contenue dans l'autre enveloppe.

Un raisonnement erronné

Quelle que soit la somme x découverte par le candidat, la somme x' contenue dans l'autre enveloppe a une chance sur deux d'être 2x et une chance sur deux d'être x/2. Son espérance est donc 5x/4>x, et le candidat a donc toujours intérêt à changer d'enveloppe.

Critique de la raison erronnée

Ce raisonnement montre que, x étant une variable aléatoire égale à t avec probabilité 1/2 et 2t avec probabilité 1/2, et x' la variable complémentaire, l'espérance de la variable aléatoire x'/x est égale à 5/4. Il en va de même de l'espérance de la variable aléatoire x/x'. Cela n'a rien de contradictoire (même si c'est un peu surprenant). Cela ne signifie pas pour autant que le candidat ait intérêt (avant même d'avoir ouvert son enveloppe) à changer d'enveloppe, puisque les espérances de x et x' sont égales (toutes deux à 3t/2). Il est faux que l'espérance de x' soit égale à 5/4 fois celle de x.

Maintenant, supposons que x soit connu (ce n'est plus une variable aléatoire). Quelle est l'espérance de x' ? Cela n'a aucun sens : il n'y a plus de variable aléatoire dans le problème. x' est un nombre réel égal soit à 2x soit à x/2, mais il est absurde de parler de probabilité pour l'un ou l'autre cas (précisément, la probabilité que x'=2x est 1 si t=x, et 0 si t=x/2).

On peut cependant le faire si on suppose que t a été en fait tiré au hasard suivant une certaine loi fixée. Par exemple, pour une loi uniforme entre 0 et T, l'espérance de x' est 3x/2 si x est compris entre 0 et T, et x/2 si x est compris entre T et 2T (et le candidat a donc intérêt à changer d'enveloppe lorsque x est compris entre 0 et T, ce qui lui assure ainsi une espérance de gain de 15T/16). (Voir aussi plus bas pour une autre manière de s'assurer une espérance de gain minimale.)

Cependant, en l'absence de tout renseignement sur t, le candidat peut tout de même s'assurer une espérance de gain meilleure que 3t/2, en choisissant l'autre enveloppe lorsque l'enveloppe qu'il ouvre renferme une somme inférieure à x0, où x0 est un réel qu'il a préalablement tiré au hasard.

http://www.madore.org/~david/math/proba.html#game_var


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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Nicolas_72 le Mer 30 Mai 2018 - 22:47

"Maintenant, supposons que x soit connu (ce n'est plus une variable aléatoire). Quelle est l'espérance de x' ? Cela n'a aucun sens : il n'y a plus de variable aléatoire dans le problème"

YES !!!
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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Invité le Mer 30 Mai 2018 - 23:58

"On peut cependant le faire si on suppose que t a été en fait tiré au hasard suivant une certaine loi fixée."

(Ici, j'ai supposé que t (ou S) avait été fixé selon une simple loi aléatoire parmi les réels, un cas où x0 tend vers l'infini donc... C'est sans doute le flou dans la consigne sur ce point et la divergence dans les interprétations de celle-ci qui a amené ces analyses fort différenciées)

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Nicolas_72 le Jeu 31 Mai 2018 - 19:01

Cyril nous a donc lancé sur un problème que nous ne connaissions pas mais qui est fort documenté et discuté sur le Web : le paradoxe des deux enveloppes et ses variantes.

Pour ma part, je vais en rester là, je considère que ça n'a pas de sens de calculer l'espérance une fois qu'on est entré en jeu et donc que le second raisonnement est bel et bien fallacieux.

Rem : Je vais créer un sujet autour de l'énigme qui m'est venu à l'esprit récemment et qui est beaucoup plus relaxante  Smile

@Cyril : les échanges des intervenants sur ce forum t'ont-ils aidé à progresser dans la compréhension de la réfutation du deuxième raisonnement ?
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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Pieyre le Jeu 31 Mai 2018 - 19:40

Je voulais juste ajouter un élément concernant ce problème, qui ne me semble pas si explicite dans le document que je viens de lire à ce sujet : Paradoxe des deux enveloppes.

Voici : ce qu'on appelle une variable aléatoire ni n'est une variable ni n'est aléatoire, comme le disait l'un de mes anciens professeurs : c'est une fonction d'un espace probabilisé sur un espace mesurable, ce qui est d'un niveau d'abstraction assez élevé, quand bien même cela doit permettre de modéliser des problèmes assez simples comme celui qui nous a occupés.

Lorsque nous avons considéré X, en fait c'était X (a), et que ce qui importait de comparer dans le calcul c'était X (a) et S et non X et S. C'est-à-dire que la formalisation importe beaucoup dans certains cas qui pourtant nous paraissent évidents, et que le calcul élémentaire peut ne pas être suffisant pour cela.

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Invité le Jeu 31 Mai 2018 - 19:53

J'ajouterai de mon côté qu'il est essentiel de bien distinguer influence sur la somme qui est impossible et influence sur la compréhension de la valeur de la somme qui est ce qui se joue quand l'enveloppe est connue (ce qui n'est pas le cas général du problème rappelons-le).

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Invité le Jeu 31 Mai 2018 - 22:23

Je vais me permettre cette explication assez grossière de mes raisonnements.

Prenons le cas où X, le contenu des enveloppes est 1, 2, 3, 4 ou 6 (avec toujours le double de l'une dans l'autre) et où le joueur connaît la règle S = {3; 6; 9} :
S'il ne voit pas son enveloppe l’intérêt à changer est inexistant.
S'il l'ouvre et voit 1 ou 3, il a 100% intérêt à changer puisque l'autre contient nécessairement 2 ou 6.
S'il l'ouvre et voit 4 ou 6, il a 0% d'intérêt à changer puisque l'autre contient nécessairement 2 ou 3.
S'il l'ouvre et qu'il voit 2, il peut la conserver ou l'échanger, deux cas s'offre à lui en cas d'échange : l'autre enveloppe ne pouvant contenir (selon une probabilité équivalente) que 1 ou 4. (Donc soit une perte de -1, soit un gain de +2)
Ainsi, la connaissance du contenu d'une enveloppe et de la règle permet de faire un choix.

Prenons un cas plus large, disons que S, la somme totale, est compris entre 1500 et 15000, la règle est connue du joueur.
S'il ne voit pas son enveloppe l’intérêt à changer est inexistant.
S'il l'ouvre et voit un montant de 500 et 999,99 il a 100% d'intérêt à changer puisque la valeur qu'il voit plus sa moitié est inférieure à 1500.
S'il l'ouvre et voit un contenu supérieur à 5000, il a 0% d'intérêt à changer puisque la valeur qu'il voit plus son double est supérieur à 15000.
Pour tout résultat compris entre 1000 et 5000, inclus, s'il a tort de changer, l'enveloppe donnera deux fois moins, s'il a raison, elle donnera une valeur deux fois supérieure (cas équiprobables pour n'importe quelle valeur dans la plage).
Encore une fois la connaissance d'une enveloppe influe sur le choix. Et il devient possible d'édicter un choix (marge extrême) ou une espérance si la règle est connue du joueur.

Dans le cas où les règles deviennent inconnue, soit le cas donné, on peut tout aussi bien supposer qu'on a repoussé les marges à 0 (ou plutôt 1/∞) et ∞.
Il n'y a toujours pas d'intérêt à changer sans connaissance.
Les 100% d'intérêt à changer se retrouvent donc repoussés à une valeur égale à 1/∞.
Les 100% d'intérêt à ne pas changer se retrouvent repoussés à une valeur égal à ∞.
Par conséquent, X, la valeur de l'enveloppe ouverte, se retrouvera donc nécessairement entre ces deux cas.
Pour rappel également : une fois que X est déterminé, l’intervalle entre X et ∞ est infini par rapport à l'intervalle entre 1/∞ et X (bien que cet intervalle recouvre une infinité de valeurs lui aussi). Et donc, selon ce dernier point, un nombre x0 aléatoire (compris entre 1/∞ et ∞) devient nécessairement supérieur à X (ou pour être exact supérieur dans une infinité de cas par rapport au cas où il ne l'est pas) et donc l'intérêt est de changer puisque l'autre enveloppe a autant de chance de contenir 2X (gain de 1X) que X/2 (perte de X/2).

Ce qui n'empêche qu'un changement d’enveloppe sera, quoi qu'il arrive, un mauvais choix dans un cas sur deux. À noter d’ailleurs que si on passe dans un intervalle -∞ à +∞ (un gros jeu de bâtard où la mafia s'y met...), l'intérêt à changer s’équilibre, il ne faut pas changer si notre enveloppe a un montant négatif (enfin, on peut ; dans un cas sur deux, on leur devra deux fois moins, dans un sur deux, on leur devra deux fois plus...)

J'ajoute, par rapport à ce que dit Pieyre, qu'il est bien sûr très peu probable (impossible) que le contenu d'une enveloppe s'approche d'une valeur de +∞. Et ce cas est un exercice de pensée. Dans le concret, on peut se reposer sur d'autres éléments. Si c'est un jeu en série, si le montant semble bas par rapport à l'intérêt, on est dans l'intérêt de changer (loi de probabilité), si au contraire il paraît élevé dans la série, il vaut mieux ne pas changer. Ex : Les candidats précédents ont un gain moyen de 437 €, si mon enveloppe me donne 600 €, je ne la changerais pas, si elle me donne 250 € je la changerais. Je dirais plus simplement, si on analyse le contexte, si le gain nous satisfait par rapport à celui-ci, il ne faut pas changer, s'il nous déçoit, on a intérêt à changer. Si le contexte n'est pas analysable, il ne reste que ce pari, une fois le montant connu.

@Nicolas_72 : Tu ne peux pas prendre qu'une partie d'une démonstration comme un tout. Calculer une espérance n'a pas de sens en tant que tel, mais calculer une espérance par rapport à la règle en a un et ça devient de simples probabilités.
De la même façon ton paradoxe des deux joueurs n'en est pas un. Les deux joueurs ont la même espérance relative à changer, mais elle intervient sur un X différent, ce qui s'annule au total en valeur absolue, puisque le gros X sera perdant dans son pari et le petit X sera gagnant. Et de ce fait, c'est ton paradoxe lui-même qui est fallacieux, l'espérance ne pouvant pas être confondue avec le gain.
Soit A et B les deux joueurs. A a 500 dans son enveloppe, B a 250.
A se dit qu'en changeant d'enveloppe avec B, il obtiendra soit 250, soit 1000. Son calcul d'espérance est donc de 1250/2 = 625 (contre 500, espérance ×1,25).
B se dit qu'en changeant d'enveloppe avec A, il obtiendra soit 125, soit 500. Son calcul d'espérance est donc de 625/2 = 312,5 (contre 250, espérance ×1,25).
Le fait que A ait tort de changer et que B ait raison de changer justifie justement ce "paradoxe" des deux joueurs, puisque 500/2 = 250 et 250×2 = 500
Si A avait eu raison de changer, B aurait été perdant en espérant obtenir 2000. 1000/2 = 500 et 500×2 = 1000 (ce qui est reproductible ad lib.)

Voilà, j'espère que cela aura clarifié un peu mes explications.


Dernière édition par Ἑκάτη le Ven 1 Juin 2018 - 0:11, édité 1 fois

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Invité le Jeu 31 Mai 2018 - 22:41

Tiens, je vais peut-être demander une scission de ce fil.

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Nicolas_72 le Jeu 31 Mai 2018 - 22:57

Je te remercie pour tes efforts d'expression. Ce "paradoxe" est étourdissant.

Nous ne sommes pas d'accord sur la définition de l'espérance d'une variable aléatoire mais en plus je persiste à penser que la deuxième espérance n'a aucun sens puisqu'elle intervient sur une branche possible de choix au départ et ne constitue pas une expérience qu'on répète.

Ma compréhension de ce qu'est une espérance (de mémoire) avec un simple lancer de pièce :
Var = {pile, face}
Si c'est pile, je gagne 2 euros.
Si c'est face, je gagne 20 euros.
proba(pile)=proba(face)=1/2

Espérance(Var) = proba(pile) * 2 + proba(face) * 20 = 11 euros
L'espérance correspond bien au gain moyen que l'on peut attendre si l'on joue (bien sympathique car très rémunérateur).
Je dirais même plus. A la suite d'un grand nombre de lancer de dés (ex : 1 000), on va gagner environ 1000 * 11 euros soit 11 000.

P.S. J'ai 45 ans et je n'ai pas fait de telles probabilités depuis 25 ans alors peut-être que je déraille.
Il nous faudrait un matheux pour nous expliquer le "paradoxe" de ces deux raisonnements qui se contredisent. J'ai la flemme de lire des articles entiers sur ce sujet...
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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Invité le Jeu 31 Mai 2018 - 23:13

Non, nous sommes d'accord sur ton calcul et la définition d'espérance ne t'en fais pas. Et les maths datent aussi du lycée pour moi (il y a quasiment 20 ans).

C'est que le problème de l'enveloppe ne prend pas le cas où la connaissance du contenu est prise au départ, c'est une variante qui le ramène à nouveau et avec lui le calcul de probabilité. Si ce contenu n'avait pas été connu, j'aurais été totalement en accord avec vos démonstration à Pieyre et toi. Le fait de voir le contenu d'une enveloppe change le problème (au lieu d'avoir N possibilités équiprobables (ou pas d'ailleurs) dans chaque enveloppe (avec cette règle de x et 2x) et selon la détermination de S, on n'a plus que 2 cas possibles dès lors qu'une valeur est connue).

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Nicolas_72 le Ven 1 Juin 2018 - 0:39

Pour en finir avec ce problème, je viens de surfer pas mal sur Internet et j'ai fini par trouver l'article du professeur Jean-Paul Delahaye qui explique (bien mieux que moi) exactement ce que j'ai pressenti depuis le début.
En gros, étant déjà rentré dans une branche combinatoire (choix d'une enveloppe), cette espérance a posteriori n'a pas le sens général que vous lui donnez. C'est la faille du raisonnement.

http://www.lifl.fr/~jdelahay/LNA/LNA34.pdf

Amandine me montre deux enveloppes fermées identiques A et B. Elle me dit que l’une contient une certaine somme en euros et que l’autre contient le double de cette somme, mais ne précise pas laquelle contient le plus. Elle m’offre de choisir une des enveloppes, son contenu sera pour moi. N’ayant pas de raison particulière de préférer l’une à l’autre, je choisis l’enveloppe
A. Cependant, au moment de l’ouvrir, je raisonne ainsi. L’enveloppe A contient une certaine somme, disons Y euros ; il y a une chance sur deux pour que B contienne 2Y euros, et une chance sur deux pour que B contienne Y/2 euros ; l’espérance de contenu de l’enveloppe B est donc :
2Yx1/2 + Y/2x1/2 = 1,25 Y euros

Rappelons que l’espérance est la moyenne pondérée par les probabilités de ce que je peux gagner selon les diverses éventualités
; ici c’est ce qu’on trouverait en moyenne dans B, si on recommençait l’expérience un très grand nombre de fois. L’espérance
de contenu de B étant 1,25 Y euros, et celle de A étant bien sûr de Y euros, mon intérêt est de changer mon choix et
de prendre B à la place de A. En moyenne, cela me rapportera 25% de plus.
Est-ce bien certain ? Non, c’est ridicule, car si au départ j’avais choisi B, le même raisonnement me conduirait maintenant à reporter mon choix sur A. Le raisonnement est donc faux. Mais en quoi précisément ?

Spoiler:
Solution :
L’erreur provient du fait qu’on calcule en utilisant la variable
Y correspondant au contenu de mon enveloppe et qu’on considère
que ce Y est fixe dans les deux cas, ce qui n’est pas vrai.
Le bon raisonnement consiste à dire : il y a deux possibilités
(cas 1) A contient X et B contient 2X et (cas 2) A contient 2X
et B contient X. L’espérance de contenu de l’enveloppe A est
X.1/2 + (2X).1/2 = 3/2.X. L’espérance de contenu de l’enveloppe
B est (2X).1/2 + X.1/2 = 3/2.X. L’espérance associée
à B est donc la même que celle associée à A et donc je n’ai pas
d’intérêt particulier à changer mon choix initial.
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Problème des deux enveloppes

Message par Invité le Ven 1 Juin 2018 - 1:31

Mais encore une fois le cas que tu présentes là est celui où la valeur dans la première enveloppe n'est pas connue, ce qui change le problème entièrement. Le narrateur a ce raisonnement avant d'ouvrir l'enveloppe. "Cependant, au moment de l’ouvrir, je raisonne ainsi" impose l'antériorité.

C'est d'ailleurs exprimé texto : "l'erreur provient du fait qu'on considère que ce Y est fixe dans les deux cas."

Cela montre bien que le problème est différent. En effet, en cas d'ouverture, selon l'enveloppe qu'on aura choisie parmi les deux, ce ne sera pas la même valeur de Y. Le calcul d'espérance devient possible, puisqu'il y a deux cas, dont on peut déterminer la probabilité et la valeur, le truc c'est que si on a ouvert la grosse enveloppe, on perdra le pari du changement, et que si on a ouvert la petite on le gagnera. Mais ça il n'y a pas de moyen de le savoir, on ne sait pas quelle enveloppe on tient. Et donc on n'a que ce pari, à faire ou pas, de changer et espérer qu'on tenait la plus petite des deux (à moins que le contexte (fourchette de gain potentiel par exemple, nous aide pour ce choix)).

Encore une fois si la valeur de chacune des enveloppe est inconnue, il n'y a aucune erreur dans vos réflexions. Mais avec la connaissance, on passe d'un problème à une inconnue X (puisque S = X + 2X = 3X) à une question de probabilité sans inconnue, puisque le contenu d'une enveloppe est connu (reste à déterminer si c'est X ou 2X, ce qui représente bien que deux cas possibles).

On peut aussi voir la chose ainsi : dans le cas où le contenu est inconnu on tient n'importe quelle enveloppe E, dans le cas où il est connu, on tient une enveloppe précise A ou B.
C'est une différence fondamentale, puisque que cette enveloppe A ou B ne peut plus être celle qui aurait pour espérance E'...

Je vais tenter de le démontrer dans un cas pratique avec 250 et 500 :
Si tu ne sais pas ce que ton enveloppe contient. L'espérance de gain calculée, quelque soit l'enveloppe E ({250 ; 500}) et que tu ne connais pas est de E' = (250 + 500) / 2 = 375
Si tu ouvres la première enveloppe A, qui contient 250. Tu peux te dire que B contient soit 125 (c'est faux), soit 500 (c'est vrai), pour une espérance B' de 312,5.
Si tu ouvres la seconde enveloppe B, qui contient 500. Tu peux te dire que A contient soit 250 (c'est vrai), soit 1000 (c'est faux), pour une espérance A' de 625.
Tu vois, E' ne correspond ni à A ni à B (évidemment), ni à leur espérance A' et B', les problèmes sont bien différents.

Le seul truc, c'est que quand tu ouvres ton enveloppe et que tu lis 500, tu ne peux pas déterminer si tu es effectivement dans le cas présenté ou alors dans celui où les enveloppes auraient contenu 500 et 1000. Et sans élément extérieur pour te l'indiquer, tu as une chance sur deux d'être dans chaque cas.

Et encore une fois, je le rerereredis, une fois sur deux, on aurait tort de changer.

L'erreur ici est vraiment de considérer que les deux problèmes sont identiques (aussi énorme que ça puisse sembler, je sais...)

PS : Encore une fois, c'est en se coupant du contexte, en pratique, d'autres facteurs influencent une décision, par exemple, je serais plus enclin à changer une enveloppe contenant un montant impair connu plutôt que pair, parce que l'hypothèse que l'organisateur du jeu ait choisi d'en rester aux entiers ne me semble pas du tout négligeable ; de même si j'ai une deuxième décimale impair puisqu'il est rare de diviser la monnaie au delà de celle-ci, etc.


Dernière édition par Ἑκάτη le Ven 1 Juin 2018 - 2:00, édité 5 fois (Raison : Ajout d'une lettre pour mieux différencier X et E)

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Re: Problème des deux enveloppes

Message par Invité le Sam 2 Juin 2018 - 20:26

Deuxième raisonnement :
La boîte que j'ai choisie contient X. L'autre à une probabilité 1/2 de contenir 2X et une probabilité 1/2 de contenir X/2 X (sinon une boite contient 2X et l'autre X/2, rapport de 4 au lieu de 2). L'espérance mathématique est donc (2X + X/2 X)/2, c'est-à-dire 1,25 X 1,5X. J'ai donc intérêt à changer faire ce qui me plait.

c'est pas comme si un espace a 4 état faisait peur

bouh affraid affraid affraid affraid

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