Paradoxe de Russell

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Paradoxe de Russell

Message par Belena le Lun 18 Juil 2016 - 17:16

Bonjour,
Je travaille un peu la logique mathématique ( mais j'ai arrête les maths en Terminale) , et je voulais savoir si quelqu'un peut faire une synthèse de la paradoxe de Russell dans son contexte… Je pense avoir bien compris la téorie des ensemble,mais j'aurais aimé que quelqu'un me rassure… Quelqu'un qui aime la logique et a les idées très claires…
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Re: Paradoxe de Russell

Message par izo le Lun 18 Juil 2016 - 17:58

http://mesparadoxespreferes.monsite-orange.fr/paradoxesconnusetcelebres/index.html#Haut_de_page

Sur ce lien tu disposes d'un tas de paradoxes mis en ligne par un garçon que j'ai connu gamin qui ne manquait pas de piquant et qui a semblé poursuivre dans cette voie...
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Re: Paradoxe de Russell

Message par Belena le Lun 18 Juil 2016 - 18:07

merci Izo, je vais regarder!!
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Re: Paradoxe de Russell

Message par Belena le Lun 18 Juil 2016 - 18:11

Izo, ma paradoxe fait partie de la téorie des ensembles, jeje, mais ce que tu proposes est curieux…
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Re: Paradoxe de Russell

Message par Pieyre le Lun 18 Juil 2016 - 18:14

La façon d'expliquer dépend de la personne qui explique mais surtout de celle à qui l'on explique. Cela peut aller d'un formalisme qui pourrait être directement interprété par un ordinateur à une vulgarisation très imagée. Alors peut-être vaudrait-il mieux que tu indiques précisément ce qui te pose problème.
Déjà, est-ce que tu as lu l'article de Wikipédia Paradoxe de Russell ? Il y a là des éléments du contexte historique et intellectuel qui permettent d'exprimer les questions qui peuvent se poser pour toi (et des réponses).

Particulièrement quand il s'agit de logique, des problèmes peuvent se poser qui sont propres au langage, que ce soit relativement au formalisme ou au fait même de définir ce formalisme. C'est-à-dire qu'il y a différents niveaux du langage et qu'il est important de distinguer.

Personnellement, je dirais qu'il peut y avoir une difficulté quant au statut du prédicat en logique et au fait qu'on a souhaité faire le lien avec un ensemble d'éléments le satisfaisant comme si ce que les mathématiciens estimaient exister pouvait se traduire directement en un prédicat comprenant le quantificateur existentiel.

Mais ce serait à toi de dire ce qui te pose problème exactement.

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Re: Paradoxe de Russell

Message par Belena le Lun 18 Juil 2016 - 20:14

Ah merci Pierey je vais le lire… et je te dirai…
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Re: Paradoxe de Russell

Message par Badak le Lun 18 Juil 2016 - 21:20

izo a écrit:http://mesparadoxespreferes.monsite-orange.fr/paradoxesconnusetcelebres/index.html#Haut_de_page ...

C'est trés interessant ton liens, il y a très peu de ces paradoxes que je connais Wink.. mais pour le paradoxe de Russel, qui pourtant me semble plus connu, je ne le vois pas.  Le mot "Russel" ne figure pas, peut-être ce paradoxe est-il connu aussi sous un autre nom ?


Dernière édition par Badak le Lun 18 Juil 2016 - 22:48, édité 1 fois
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Re: Paradoxe de Russell

Message par paela le Lun 18 Juil 2016 - 21:41

Je ne l'ai pas vu non plus. On peut rapprocher ce paradoxe du paradoxe du menteur ou du barbier rasé, mais ces deux-là ne semblent pas y figurer non plus!
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Paradoxe de Russell

Message par Belena le Lun 18 Juil 2016 - 22:30

En effet, la paradoxe de Russell est un théorème qui fait partie de  la téorie des ensembles… en mathématiques…
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Re: Paradoxe de Russell

Message par Pieyre le Mar 19 Juil 2016 - 10:30

Ce n'est pas tout à fait ça. En mathématique, on construit des objets et on peut ensuite démontrer des propriétés relatives à ces objets. Or, si j'interprète bien la notion de paradoxe (une liste plus complète que celle déjà fournie peut être trouvée ici : Catégorie : Paradoxe), un paradoxe repose d'abord sur une construction, alors qu'un théorème est une proposition démontrée. Le lien, c'est qu'un paradoxe logique donne lieu à deux propositions qui, tout en étant vraies, sont contradictoires. Ce que Russell a démontré au sujet du paradoxe qu'il a énoncé, c'est qu'une certaine construction relative aux ensembles et aux prédicats de la logique conduisait à une contradiction.

Si l'on prend les choses en amont, en mathématique comme en science on se pose d'abord des problèmes qu'on cherche ensuite à résoudre : comment construire ceci, comment garantir cela, comment définir une méthode générale, etc. À ce niveau il y a essentiellement un champ des possibles qui s'ouvre et un défaut de réalisation au sein de ce champ pour parvenir à ses fins. Le paradoxe lui témoigne au contraire d'un excès de réalisation (même si c'est au sein d'une réalisation globale qui n'est pas achevée).

Ainsi, pour tirer la notion de paradoxe du côté de son sens initial, c'est-à-dire ce qui choque le sens commun, considérons le cas de la construction, sur une surface au sol donnée, d'un bâtiment destiné à loger le plus de gens possible. Si l'on dispose de tant de matériaux, on va pouvoir construire tant d'étages. On a trouvé la solution, mais on a négligé un paramètre : la résistance des matériaux. Au-delà d'un certain nombre d'étages, le bâtiment ne sera pas sûr. Le paradoxe consiste ici à dire que ce qui est le plus haut (permettant de loger le plus de gens, donc répondant à la consigne) n'est pas le mieux. On a donc bien le schéma : une construction, deux faits ou deux interprétations de ces faits qui s'opposent, chacune rationnelle mais ne prenant pas en compte les mêmes éléments.

Certes dans ce cas il y a une solution qui n'oblige pas à remettre en question grand-chose. Il faut juste prendre en compte l'ensemble des contraintes principales qui peuvent influer sur le problème : le plus d'étages possible, mais pas davantage que réalisable en toute sécurité. Et dans ce cas on trouve l'optimum.

Avec le paradoxe de Russell, c'est un peu pareil, mais à un niveau d'abstraction tel que ce phénomène était plus difficile à mettre en évidence, parce qu'il remettait en question une construction de la logique qui semblait convenir en toute généralité.

À suivre...

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Re: Paradoxe de Russell

Message par Belena le Mar 19 Juil 2016 - 11:25

Oui, merci, je vois ce que tu veux dire…
je pense avoir compris la paradoxe, en effet, je crois avoir compris que dans la théorie des ensembles, on n'a pas tenu en compte qu'un ensemble puisse se contenir à lui même, ou pas… Alors, Russell essaye de changer un peu la lecture de cette théorie, je crois… Il change un peu les règles non? mais je vais continuer à lire plus… car, je sais je comprends avec mes mots qui sont ceux du langage , je sais...
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Re: Paradoxe de Russell

Message par EtoileduParadoxe le Mar 19 Juil 2016 - 12:45


Bonjour, j'ai vu ton post et je vais tenter de te faire une synthèse simple du Paradoxe de Russell avec mes mots.
Le Paradoxe de Russell est un paradoxe simple de la Théorie des Ensembles .

Le Paradoxe de Russell peut se formuler ainsi:
"L'Ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux même appartient-il à lui même ?"

Si oui: les membres de l'ensemble n'appartiennent Pas à Eux-Même.
Il y a une Contradiction: l'ensemble ne s'Appartient Pas.
Si non: Il possède alors la Propriété de s'Appartenir ?
Nouvelle Contradiction.

Dans les deux cas existe une Contradiction, ce qui rend un tel Ensemble Paradoxal.

Russell s'interroge sur le fait que toute propriété, que tout prédicat définit un ensemble:
celui des objets, des choses qui vérifient cette propriété .
C'est le Principe de Compréhension, non restreint.


Si on utilise ce Principe de Compréhension: on doit admettre l'existence d'un Ensemble Contradictoire,
et donc....Paradoxal.

Ce qui est Paradoxal est en fait ce qui possède une contradiction ou une antinomie apparente, interne, fondamentale.
Quelque chose qui dans la logique simple ne pourrait pas exister, mais existe pourtant.
C'est une sorte de Porte Ouverte, de Brèche dans la logique pure.

Ce Paradoxe est comme le Paradoxe du Barbier , pour une explication imagée :
Un Barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux là .
....Qui va raser le Barbier ?
...Le Barbier doit-il se raser lui-même ?

Si oui: contradiction: il se rase lui-même.
Si non: contradiction: qui rasera le barbier ?

Russell s'interroge en fait sur ce qui Définit un Ensemble. Il s'interroge sur la définition d'un Ensemble,
et sur le Prédicat qui le définit ou non. Il change un peu les règles oui....
Il démontre surtout que les Règles ont des failles, des contradictions....
que la notion du SENS d'un Chose, d'un Objet, d'un Etre est plus vaste, plus complexe que ce qu'il semble.
Russell repousse les limites de la Logique...et de la Théorie des Ensembles, pour en souligner le mystère....

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Re: Paradoxe de Russell

Message par Belena le Mar 19 Juil 2016 - 12:50

Merci c'est très bien expliqué! Par contre je pense avoir encore des questions sur la théorie des ensembles...
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Re: Paradoxe de Russell

Message par EtoileduParadoxe le Mar 19 Juil 2016 - 13:31

La théorie des Ensembles est une branche des mathématiques crée par Georg Cantor, un mathématicien allemand,
au XIX ème siècle. Elle est considérée comme une théorie fondamentale.
Cette théorie prend comme primitives les notions d'Ensemble et d'Appartenance,
et à partir de là, elle reconstruit les objets usuels des mathématiques: entiers naturels, relatifs, rationnels..nombres réels, complexes,
fonctions, relations...

Cantor a introduit l'idée qu'il existe plusieurs types d'INFINI, mesurables et comparables avec de nouveaux Nombres:
Ordinaux et Cardinaux.
La théorie des Ensembles de Cantor est considérée comme plus "naïve" car elle ne possède pas une Axiomatique précise,
et qu'elle ne considérait qu'un seul univers ensembliste attendu, alors que de nos jours les mathématiciens
travaillent avec des Univers différents...

Il existe plusieurs Théories des Ensembles....celle de Zermelo-Fraenkel....celle de Von Neumann-Bernays-Gödel
....celle de Morse-Kelley....celle de Kripke-Platek
Ces théories s'interrogent toutes sur les propriétés des Ensembles, et leurs possibles Paradoxes.

Un Axiome de la Théorie des Ensembles est l'Axiome du Choix:
il dit: "Pour tout ensemble X vide ,d'ensembles non vides, il existe une fonction définie sur X,
appelée Fonction de Choix, qui a chaque ensemble A appartenant à X associe un Elément de cet ensemble A."


C'est un peu comme un VASE X, avec des Billes, les Billes étant l'ensemble A .
Une fonction définit sur X associe à chaque ensemble A de billes, une Bille appartenant à A .

Dans les Théories des Ensembles , les Univers peuvent être pris comme des Vases, des Vasques,
différents, contenant des ensembles différents, auxquels sont associés des fonctions, des axiomes, des relations mathématiques.

Je précise que je ne suis pas mathématicienne, simplement curieuse de la science, des espaces mathématiques aussi,
les mathématiques sont telle une Exploration des champs du réels et des potentialités de la réalité des espaces connus et inconnus,
j'espère que mon explication t'auras donné envie
de chercher à approfondir les réponses à tes questions....
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Re: Paradoxe de Russell

Message par Invité le Mar 19 Juil 2016 - 14:03

mmmm.. faisant partie de plusieurs ensembles en tant qu'être vivants je suis également soumis à des choix, avec ces vues logiques l'appartenance ou non à des ensembles et sous ensembles ou meta ensembles prend une nouvelle coloration

le plus intéressant est la communication entre ces ensembles


https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_des_pr%C3%A9dicats

"Un prédicat peut comporter des paramètres, par exemple le prédicat unaire « être strictement entre a et b » est défini par :

x est strictement entre a et b quand a < x et x < b. "


https://fr.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A9dicat_%28logique_math%C3%A9matique%29

aaa si même les relations sont des ensembles et sous ensembles..




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Re: Paradoxe de Russell

Message par Belena le Mar 19 Juil 2016 - 16:54

Le Paradoxe de Russell peut se formuler ainsi:
"L'Ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux même appartient-il à lui même
?"
Donc si j'ai bien compris, Etoileduparadoxe et les autres, le problème arrive lorsqu'on veut faire un Ensemble des ensembles non? lorsqu'on veut pouvoir représenter la Totalité en Maths, le Tout…
La question est, comment on fait un Tout des ensembles non? C'est ça???
Et Russell dit que c'est impossible quoi… alors Godel, j'ai lu des trucs sans tout comprendre, mais il fait un théorème sur la incompletude non? c'est la suite de Russell ou pas?
Bon je lis encore un peu plus … et j'attends vous réflexions...
Belena
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Re: Paradoxe de Russell

Message par Pieyre le Mar 19 Juil 2016 - 18:06

Belena :
je pense avoir compris la paradoxe, en effet, je crois avoir compris que dans la théorie des ensembles, on n'a pas tenu en compte qu'un ensemble puisse se contenir à lui même, ou pas…
Ce qu'on pensait, c'est que la correspondance entre les ensembles (la réalité mathématique en quelque sorte, même si c'était exprimé à l'aide d'une construction assez particulière) et les prédicats (la façon de les définir au moyen d'un formalisme basé sur la relation abstraite entre les éléments) avait trouvé un accomplissement. Tout ensemble était défini par un prédicat, et surtout tout prédicat définissait un ensemble. C'était ce que se proposait Gottlob Frege.

Avant les interrogations de la logique moderne concernant les fondements de la mathématique, on faisait déjà de la logique élémentaire, qui était relative aux structures mathématiques. On formait des propositions grâce à des connecteurs logiques ou des quantificateurs, qu'il s'agissait de démontrer (ou d'invalider par une démonstration du contraire), selon des types de raisonnement, comme la déduction simple ou le raisonnement par l'absurde.

Mais, dans la mesure où les formes de construction et de démonstration pouvaient être d'emploi universel entre toutes les branches mathématiques, ces formes ont pu donner lieu à une nouvelle branche, qui à la fois était particulière et s'appliquait à toutes les autres, y compris à elle-même. C'était la logique moderne, basée sur des axiomes qui permettaient de définir les objets et les règles d'inférence qui permettaient de construire des démonstrations.

Ainsi le prédicat p définit par : p (x) si et seulement si x = x. Dans la mesure où l'on a réduit toutes les structures mathématiques connues à des ensembles, le prédicat p s'applique à tout ce qu'on peut imaginer : nombres, figures, ensembles au sens de collections, ensembles d'ensembles, etc. La forme qu'il définit, c'est-à-dire en notation mathématique {x / x = x}, serait l'ensemble de tout de qu'on a pu imaginer et de tout ce qu'on pourra imaginer. Ce serait l'ensemble de tous les ensembles.

Ce qui pose problème, c'est qu'un ensemble mathématique, ce n'est pas seulement une façon de rassembler sous un nom une collection d'éléments. Il y a entre un ensemble et ses éléments une relation d'appartenance qui est notée au moyen du symbole ∈. Avant la théorie des ensembles, quand on disait que x ∈ E (x appartient à E), c'était en partant d'un ensemble E bien défini (les nombres entiers, les nombres réels, les parties d'un ensemble, les fonctions sur cet ensemble, etc.) et non pas en considérant l'objet ensemble de façon générale et l'appartenance comme une relation entre deux ensembles quelconques, où l'on pouvait raisonner indifféremment sur le fait que x ∈ y ou y ∈ x.

C'est-à-dire qu'envisager pour un ensemble x que x ∈ x, qui peut paraître absurde du point de vue d'une branche mathématique particulière, où le problème ne se pose pas, cela devient simplement une relation correcte dans sa forme en théorie des ensembles, du fait même que la relation d'appartenance est définie entre des ensembles indépendamment de toute considération mathématique concernant le contenu de ces ensembles. On peut poser par définition qu'un ensemble ne peut pas s'appartenir à lui-même (puisque c'est évident pour les ensembles finis ou les ensembles infinis qu'on manipule couramment en mathématique). Mais alors cela demande de justifier qu'on ne considère plus les deux côtés de l'appartenance de la même façon, ce qui n'est pas si évident (ainsi la théorie des types de Russell).

Tant que l'on considère la relation d'appartenance sans restriction, on peut écrire que x ∈ x (ou sa négation : x ∉ x). Cela ne veut pas dire qu'on l'envisage au moyen d'une construction qui aurait un intérêt. C'est simplement qu'on ne peut pas évacuer le cas, pour une raison formelle.

En mathématique il s'agit de faire confiance à la forme et non plus de se représenter ce que signifie en pratique chaque étape d'un raisonnement. On peut encore le faire quand on traite de calculs simples. Mais déjà, quand on introduit la division, se pose la question du diviseur nul. Alors, ce n'est pas tellement qu'on se demande si x/0 peut avoir un sens pratique, mais plutôt si l'on peut définir la division de façon cohérente pour lui donner un sens formel. Or, on ne peut pas dans ce cas préserver certaines propriétés générales, sauf à changer la nature de la question. Mais là, ce n'est pas un problème. Une opération, cela correspond à une fonction à deux variables. Elle a un domaine de validité, autrement un domaine de définition. Il suffit de poser que les couples (x, 0) ne font pas partie de son domaine de définition (x/0 ne s'écrit pas). Et cela ne perturbe pas la cohérence du système des calculs que l'on peut effectuer à l'aide des opérations mathématiques dont la division.

De même en logique il s'agit de faire confiance à la forme. Mais une relation entre deux objets, ce n'est pas comme une opération impliquant deux termes. La définition d'une relation impose que deux éléments peuvent toujours être comparés. Ainsi, entre deux ensembles quelconques x et y de la théorie des ensembles (sans théorie des types ou autre construction complexe), on aura x ∈ y ou x ∉ y, et notamment x ∈ x ou x ∉ x.

Et alors c'est là que le paradoxe de Russell, qui ne fait qu'appliquer des formes de construction et des formes de raisonnement permises, aboutit à une contradiction. Et, cette fois, on ne peut plus s'arranger comme dans le cas de la division par zéro.

Notamment, on peut toujours raisonner sur un ensemble quelconque parmi tous les ensembles, mais plus considérer que cet objet formel qu'est la notion d'ensemble peut désigner ce tout des ensembles.

C'est-à-dire qu'on est confronté à une limitation concernant l'expression, ou la construction des objets que l'on utilise.

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel ne sont pas du même ordre : il s'agit là d'une limitation concernant la démonstration, notamment touchant à la cohérence d'une théorie.


Dernière édition par Pieyre le Mar 19 Juil 2016 - 19:11, édité 1 fois (Raison : détails)

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Re: Paradoxe de Russell

Message par Belena le Mar 19 Juil 2016 - 18:24

Notamment, on peut toujours raisonner sur un ensemble quelconque parmi tous les ensembles, mais plus considérer que cet objet formel qu'est la notion d'ensemble peut désigner ce tout des ensembles.

Ah ok bien expliqué aussi… et puis le reste...
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Re: Paradoxe de Russell

Message par prométhéus le Mar 19 Juil 2016 - 19:42

Une autre formulation du paradoxe de Russell;

Jour 1:

Un bibliothècaire décide d'écrire un livre, qui va indexer tous les livres existants.
Jour 2:
Il remarque qu'il y a deux types de livres, des livres qui se citent eux-même (A) et ceux qui n'ont pas cette propriété (B).
Jour 3:
Tragiquement le bibliothécaire décide de scinder son livre en deux tomes:


  • TOME 1: Tous les livres se citant eux-même.



  • TOME 2: Tous les livres ne se citant pas eux-même.


Jour 4:

Le bibliothècaire se questionne:
Mais à quel groupe appartient le deuxième tome de mon livre ?

Si ce livre est dans A, donc il se cite lui-même, donc il ne se cite pas lui-mème et est donc dans B.
Si ce livre est dans B, donc ne cite pas lui-même , il doit être indexé dans son propre livre et donc appartient à A.



Une solution a ce problème a été d'ajouter un axiome supplémentaire, (axiome de fondation), une manière d'éloigner le loup, qui était dans de la bergerie, créer un pré carré,  des ensembles ayant les bonnes propriétés et continuer à brouter tranquillement.

.( logique naive -> logique ZF(C))

Une autre solution a été de reformuler le cadre, en améliorant la notion d'univers, ce qu'a fait le génial Grothendieck et fort de ces nouveaux outils, mieux comprendre, ce qui se passe avec le paradoxe de Russell:

Un ensemble appartient à un univers, mais que l'ensemble des ensembles appartient à un univers plus grand, qui inclut l'univers des ensembles, or à toute logique, l'on associe un univers, la contradiction est symptomatiquement reliée, au fait que l'on applique la logique de l'univers U1,  celui où vit les ensembles , sur un objet, qui se trouve dans un univers plus grand et dont la logique de U1 n'a aucune raison de prévaloir.


Dernière édition par prométhéus le Mar 19 Juil 2016 - 21:08, édité 4 fois
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Re: Paradoxe de Russell

Message par Belena le Mar 19 Juil 2016 - 20:45

Pas mal… tout à fait…
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Re: Paradoxe de Russell

Message par Numero6 le Mer 20 Juil 2016 - 1:50

En mathématique il s'agit de faire confiance à la forme et non plus de se représenter ce que signifie en pratique chaque étape d'un raisonnement. On peut encore le faire quand on traite de calculs simples. Mais déjà, quand on introduit la division, se pose la question du diviseur nul.

La vache, j'ai la même impression que lors de mes cours de Terminale, c'est une logique qui m'échappe complétement.
Je comprends l'explication du paradoxe de Russell, c'est même simple dans la théorie des ensembles, vos démonstrations sont imparables.
Mais j'ai eu beau apprendre la théorie des ensembles dés la sixième, je me suis mélangé les pinceaux jusqu'au BAC, je n'ai jamais pu appréhender la logique sous-jacente.

Pour reprendre l'exemple de la division par 0, ça me donnait toujours l'impression qu'on modifiait la règle pour les cas où elle ne marchait pas.

Une opération, cela correspond à une fonction à deux variables. Elle a un domaine de validité, autrement un domaine de définition. Il suffit de poser que les couples (x, 0) ne font pas partie de son domaine de définition (x/0 ne s'écrit pas).

J'ai la même impression qu'en Terminale, c'est parfaitement logique, mais ça me perturbe les neurones. J'étais totalement incapable de gérer les domaines de définition. Finalement, ça correspond à ce que tu décris, faire confiance à la forme.

A vous lire je constate à quel point il s'agit d'un domaine où je ne peux pas trouver de faille dans la logique, mais c'est en même temps une logique que je ne peux absolument pas m'approprier, je peux au mieux la constater.

Ça me rappelle des vieux cauchemars tout ça, les maths pour moi c'est un peu comme connaitre les mots d'une langue étrangère en étant totalement incapable de les utiliser. Ma prof de math a toujours cru que j'étais un gros branleur, parce que je comprenais vite, mais que j'étais incapable de l'utiliser. Alors que c'est sûrement le domaine où j'ai le plus bosser, sans aucun résultat.

En mathématique il s'agit de faire confiance à la forme et non plus de se représenter ce que signifie en pratique chaque étape d'un raisonnement.

Voilà exactement de quoi j'étais incapable.
Ben finalement ça me soulage de le comprendre.
C'est aussi intéressant de savoir de quoi on est capable que de s'absoudre des domaines qui vous sont interdits. C'est vexant de ne pas disposer du passeport, mais finalement on se dit qu'on est bien chez soi.
Alors, comme je préfère penser que vous êtes des surhommes en mathématiques plutôt que de penser que je suis un crétin dans ce domaine, recevez, messieurs, l'assurance de mon profond respect.

Mais sachez quand même que vous me foutez les boules grave.
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Re: Paradoxe de Russell

Message par Prince Zeta le Mer 20 Juil 2016 - 8:17

Pieyre a écrit:Ainsi le prédicat p définit par : p (x) si et seulement si x = x. Dans la mesure où l'on a réduit toutes les structures mathématiques connues à des ensembles, le prédicat p s'applique à tout ce qu'on peut imaginer : nombres, figures, ensembles au sens de collections, ensembles d'ensembles, etc. La forme qu'il définit, c'est-à-dire en notation mathématique {x / x = x}, serait l'ensemble de tout de qu'on a pu imaginer et de tout ce qu'on pourra imaginer. Ce serait l'ensemble de tous les ensembles.

En fait, en faisant ça, on omet une condition importante. Le problème n'est pas tant le prédicat que ce sur quoi on l'applique. Le schéma d'axiomes de compréhension s'applique à la fois à un prédicat et à un ensemble, pour donner l'ensemble {x ∈ A | p(x)}. Dans ce cas, le paradoxe de Russell implique simplement qu'on ne peut pas définir d'ensemble de tous les ensembles.

Pieyre a écrit:En mathématique il s'agit de faire confiance à la forme et non plus de se représenter ce que signifie en pratique chaque étape d'un raisonnement. On peut encore le faire quand on traite de calculs simples. Mais déjà, quand on introduit la division, se pose la question du diviseur nul. Alors, ce n'est pas tellement qu'on se demande si x/0 peut avoir un sens pratique, mais plutôt si l'on peut définir la division de façon cohérente pour lui donner un sens formel. Or, on ne peut pas dans ce cas préserver certaines propriétés générales, sauf à changer la nature de la question. Mais là, ce n'est pas un problème. Une opération, cela correspond à une fonction à deux variables. Elle a un domaine de validité, autrement un domaine de définition. Il suffit de poser que les couples (x, 0) ne font pas partie de son domaine de définition (x/0 ne s'écrit pas). Et cela ne perturbe pas la cohérence du système des calculs que l'on peut effectuer à l'aide des opérations mathématiques dont la division.

En fait, avant la division, il y a l'inversion. Et dans n'importe quel anneau (ensemble muni d'une «addition» et d'une «multiplication», j'utilise 0 pour désigner l'élément neutre de l'addition et 1 celui de la multiplication), on a la propriété que pour tout x, 0 · x = x · 0 = 0. En particulier, il n'existe pas de x tel que x · 0 = 1. Donc l'inverse de 0 n'existe pas. Ça n'a donc pas de sens de vouloir diviser par 0. Ce n'est pas tant une question de définir «pour donner un sens» que de définir en accord avec les éléments sous-jacents.

Pieyre a écrit:De même en logique il s'agit de faire confiance à la forme. Mais une relation entre deux objets, ce n'est pas comme une opération impliquant deux termes. La définition d'une relation impose que deux éléments peuvent toujours être comparés. Ainsi, entre deux ensembles quelconques x et y de la théorie des ensembles (sans théorie des types ou autre construction complexe), on aura x ∈ y ou x ∉ y, et notamment x ∈ x ou x ∉ x.

C'est faux. Une relation peut ne pas être totale. Par exemple, la relation d'inclusion. Soit A = {1, 2, 3} et B = {4, 5, 6}. Alors on n'a ni A ⊂ B, ni B ⊂ A. Mais là tu parles en fait de quelque chose de plus général. Le fait que "P ou non P" (où P est un prédicat) est en fait un axiome de la logique dite classique (le principe du tiers exclu). Par conséquent, il est possible de s'en abstraire, c'est ce que fait par exemple la logique intuitionniste. Si l'on n'utilise pas l'axiome du tiers exclu, toutes les preuves deviennent constructives, c'est-à-dire que la preuve donne un moyen de construire l'objet dont il est question, ce qui n'est pas toujours le cas en logique classique.

Pieyre a écrit:Et alors c'est là que le paradoxe de Russell, qui ne fait qu'appliquer des formes de construction et des formes de raisonnement permises, aboutit à une contradiction. Et, cette fois, on ne peut plus s'arranger comme dans le cas de la division par zéro.

Comme dit précédemment, on peut. Et c'est ce qui est fait dans le schéma d'axiomes de compréhension moderne.

Pieyre a écrit:C'est-à-dire qu'on est confronté à une limitation concernant l'expression, ou la construction des objets que l'on utilise.

Non. Il s'agit simplement de choisir un ensemble d'outils permettant de faire ce que l'on veut. Rien n'oblige à utiliser l'axiomatique ZFC. Dans la pratique, c'est celle qui correspond à la théorie naïve, mais on peut très bien choisir un autre système. L'important est de ne pas créer d'incohérences. Ce n'est en rien une limitation, puisque les objets que l'on «s'empêche» d'utiliser n'existent pas dans l'axiomatique que l'on a choisi.
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Re: Paradoxe de Russell

Message par Belena le Mer 20 Juil 2016 - 9:23

Jeje j'ai la même impression que numéro6 "c'est tellement logique que me perturbe les neurones" c 'est Exactament ça!
Et aussi une chose importante est que la théorie des ensemble montre bel et bien que les mathématique sont un lamgage qui joue à relier des éléments entre eux et qui est infini...
Je crois que la théorie des ensemble montre aussi que nous NE pouvons pas avoir l'ensemble des ensemble, le Tout, Mais qu'on peut unir des éléments différente entre eux à travers des propriétés communes non? Ou en opérent avec eux non? C'est l'idée des cardinaux, non?
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Re: Paradoxe de Russell

Message par Prince Zeta le Mer 20 Juil 2016 - 9:52

Il n'y a pas une seule théorie des ensembles. Par exemple, la théorie des types développée par Russell permet de régler le paradoxe différemment de la théorie «classique» ZFC.

Je ne comprends pas ce que tu entends par «on peut unir des éléments différents à travers des propriétés communes». En général, du point de vue fondamental, on définit des ensembles d'objets pour qu'ils vérifient les propriétés que l'on veut. D'ailleurs, il est techniquement possible de construire les mathématiques «classiques» en supposant uniquement ZFC : il existe l'ensemble vide, on peut construire l'ensemble des entiers naturels, et à partir de là les entiers relatifs, etc.
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Re: Paradoxe de Russell

Message par Belena le Mer 20 Juil 2016 - 10:26

Prince Zete je voulais dire que un objet, un signifiant ( numéro, fonction, etc) ne peut pas exister tout seul, mais en relation entre les autres… L'ensemble vide existe, bien sûr, car il s'oppose à les autres ensembles… Tout seul, il n'existe pas..
C'est ça que je viens de comprendre…
L'importance de la théorie des ensembles est de relier des éléments pour qu'ils existent… Certes je pars dans une méthaphysique, quoique...
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