Méthode de calcul mental

J'approuve ce que tu dis sur les calculateurs prodiges.

J'imagine que certains calculateurs iront plus vite avec une une table 100 X 100 qu'avec une table 10 X 10. Nul besoin pour cela de mémoriser tous les résultats (ce que Klein avait fait, je crois). Il suffit de les retrouver rapidement comme beaucoup d'intervenants ici savent le faire. Il me semble que cela donne l'avantage d'une vision plus synthétique et de permettre ainsi de moins égarer l'attention et de moins mettre en défaut la mémoire de travail.

Par exemple (et peut-être cet exemple est-il mal choisi   ) :
2947 x 7216 nécessiterait de calculer :
30 x 72 x 10000 + (30 x 16 - 53 x 72) x 100 - 53 x 16  

Nicolas, si tu crées un sujet sur les échecs, je participerai sans doute.

J'ai posté un sujet sur les échecs
https://www.zebrascrossing.net/t35061-la-pratique-du-jeu-d-echecs-est-elle-vraiment-benefique

Non, c'est bien choisi, mais en fait, il y a toujours un seuil en deçà duquel la facilité intervient. Et pour les calculs à deux fois deux chiffres, pour pas mal de participant du fil, ce seuil n'est jamais surpassé. Au-delà, sur deux nombres, un carré simple est extrêmement facile à dénicher (laissant au pire une multiplication à un chiffre en annexe). Mais c'est vrai que la méthode elle-même est extrêmement élégante.

Cependant, l'exemple qu'il soit juste ou non permet déjà de détacher quelque chose d'essentiel. On ne peut omettre le fonctionnement propre. C'est à celui-ci que l'on doit s'adapter avant tout. La rigueur méthodique pour un esprit discipliné, la déstructuration pour un esprit indiscipliné.

N'ayant aucune confiance dans mes calculs longs ou ma patience. Je prendrais une méthode qui n'est pas forcément meilleure mais qui combat mieux mes lacunes. J'essaie de compenser mon indiscipline par un brin d'astuce. Et j'utiliserais cette méthode où je serais plus à l'aise...

Devant le calcul 2947 × 7216, je vois avant tout 3000 × 7200 avant de réaliser tout aussi vite que 16 ne complique rien. 3000 × 7216, donc. La partie ardue devient 53 × 7216.

3 × 7216 = 21648
Je stocke, j'en aurais besoin une seconde fois.
100 × 7216 / 2 = 360800
J'additionne les deux 382448.
648 - 383 = 265
1000 - 448 = 552
Donc, si je merde pas en remettant les morceaux dans l'ordre.
21 000 000 + 265 000 + 552 = 21 265 552

Aussi ma méthode peut donner l'impression que l'exemple est mauvais. Après tout, il n'y a que deux multiplications simples (×3 et ×1/2), deux soustractions (dont un complément à 1000...) et une addition (millions / milliers / unités distincts). Mais non, elle l'est pour moi parce que je déstructure les nombres que je ne sais pas poser pour calculer mentalement. C'est ma façon de procéder qui diffère et elle n'est pas meilleure. Elle est simple mais offre un gros potentiel d'erreur (étourderie parce que ce ne sont pas des calculs exigeants).

Peut-être que 7216 est un nombre facile après, 72 et 16 sont très amicaux, mais je pense qu'on trouve toujours de la facilité à un nombre entre 1 et 100 en cherchant pas bien loin (enfin, tant que le nombre de chiffres à compiler au global reste humain).

---

Je suis curieux des échecs mais fort mauvais, mes lacunes de concentration et mon indiscipline ont du mal à être tournées en avantage dans ce jeu.

Je reviens encore une fois sur le calcul de la racine carrée de 41 à partir de ce qu'on appelle un développement limité.

Dans le cas de la racine carrée, on doit exprimer le nombre dont on cherche à extraire la racine comme un facteur simple de (1 + x), avec -1 < x < 1.

Lors de mon précédent essai, j'avais essayé 41 = 25 × (1 + 16/25), ce qui n'avait pas donné grand-chose.

Mais il y a mieux, si l'on remarque que 41/4 = 10,25, qui est proche de 10,24, et que 1024 est le carré de 32 (les connaisseurs des puissances de 2 reconnaîtront que cela peut venir en tête... sans se prendre la tête).

Alors 41 = 1024/25 × (1 + 1/1024).

Donc on obtient successivement pour √41 :

32/5 × (1 + 1/2¹⁰)^1/2
6,4 (1  + 1/2 × 2¹⁰ - 1/8 × 1/2²⁰ + ...)
6,4 + 0,1 × 1/2⁵ - un chouia
6,4 + 0,1 × 5⁵/10⁵ - un chouia
6,4 + 0,003125 - un chouia

Il nous fallait 5 chiffres après la virgule. On peut donc proposer : 6,40312.

Certes, cela ne constitue pas une méthode rapide a priori, puisqu'il faut y penser. Mais, une fois qu'on y pense, c'est faisable de tête (en notant les étapes pour ma part) assez rapidement.

Ces derniers jours, j'ai passé du temps avec la question des racines carrées. Je souhaitais trouver une méthode générale qui faciliterait les calculs de tête. Mais cela semble plus compliqué que je ne le pensais : on peut obtenir parfois en peu d'étapes une grande précision, mais cela doit dépendre tout autant du hasard des voies que l'on choisit que d'une intuition qui pourrait être développée par une pratique rigoureuse.

Mais, au moins, cela m'a conduit à me rendre compte que, dans ce but, il était nécessaire de développer des méthodes rapides de division tout autant que de multiplication (du moins si l'on utilise la technique du développement limité, qu'on peut réduire au fait que l'on peut approcher √(1 + x) par 1 + 1/2x quand x est petit en valeur absolue).

Dans le cas des multiplications entre entiers, j'avais supposé une progression exponentielle du temps de calcul en fonction de sa difficulté, ce qui n'avait pas été validé faute de disposer d'une statistique suffisamment fournie, et puis faute de pouvoir établir ce qu'on entendait par difficulté. Mais, si d'autres exemples étaient proposés, avec des temps de calcul réalisés, je me chargerai d'en faire la compilation pour vérifier cette hypothèse.

Maintenant, pour varier les plaisirs, et pour proposer un cas de difficulté intermédiaire entre multiplication et racine, voici quelques problèmes, dont je souhaiterais connaître le temps qu'ils vous prennent, et la méthode que vous utilisez.

Je ne fixe pas un nombre de chiffres significatifs attendus, parce que ce n'est pas toujours indicatif : ce qui compte, c'est peut-être davantage la proportion des chiffres obtenus au sein d'une période décimale.

Alors, voici :

2/7
11/9
9/34
41/13
261/39
37/431
657/212

En fait, j'ai l'impression d'avoir davantage l'occasion de faire des divisions que des multiplications dans la vie courante (mêmes si les additions et les soustractions sont sans doute les plus nombreuses). C'est peut-être que j'ai davantage l'utilité de répartir une quantité en parties égales que de la démultiplier (mais n'y voyez pas une métaphore politique !)

Bonsoir Pyeire,
Désolé mais je n'ai pas la patience de me lancer dans ces divisions. Par ailleurs, je crois que je n'ai rien à apporter. Je ferai mentalement ce que je faisais sur un cahier d'écolier.

J'ai trouvé une vidéo sur YouTube qui montrait un duel lors du jeu "Les chiffres et les lettres". Il s'agit d'un calcul pas trop dur. Je ne suis pas impressionné par la performance du joueur... mais c'est facile à dire chez soi bien à l'abri du bruit et sans aucun stress.

A vous de jouer ! Chronomètre !!

Spoiler:

La vidéo du duel en question :

En effet ce n'est pas un calcul très difficile. J'ai été moins rapide que le candidat qui n'a pas pris plus de vingt secondes, mais je l'ai fait en une trentaine.

Concernant les divisions, c'est à la même conclusion que toi que je suis arrivé, ce qui m'a assez déçu. Si les divisions avaient été entières, on aurait pu jouer sur les facteurs premiers et les règles de divisibilité pour deviner le résultat. Avec ces divisions réelles, je pensais que la difficulté serait intermédiaire entre les multiplications et les racines carrées : eh bien non ! pour moi c'était même plus difficile que pour les racines (sauf pour les deux premières puisque je connaissais le développement de 1/7 et de 1/9). En particulier l'approximation de 1/(1 + x) par 1 - x est très grossière, et par 1 - x + x² ça ne se rapproche pas suffisamment. Aussi ma meilleure performance de tête sur le troisième cas 9/34 (de l'ordre de trois minutes pour trois chiffres après la virgule), eh bien c'était en posant l'opération comme on l'apprend en primaire. Maintenant, si quelqu'un trouve une méthode, je serais intéressé.

Pieyre a écrit:
Maintenant, pour varier les plaisirs, et pour proposer un cas de difficulté intermédiaire entre multiplication et racine, voici quelques problèmes, dont je souhaiterais connaître le temps qu'ils vous prennent, et la méthode que vous utilisez.

Je ne fixe pas un nombre de chiffres significatifs attendus, parce que ce n'est pas toujours indicatif : ce qui compte, c'est peut-être davantage la proportion des chiffres obtenus au sein d'une période décimale.

Alors, voici :

2/7
11/9
9/34
41/13
261/39
37/431
657/212

2/7: 0.285714285714285714...., temps: moins d'1/10e de seconde.
Les divisions par 7 ont cet avantage d'être facile à retenir, car elles ont toutes les mêmes chiffres, dans le même ordre, seul le chiffre de départ varie.

11/9: 1.22222222222....temps: moins d'1/4 de seconde.
11/9=1+ 1/9 + 1/9 = 1+0.1111....+0.1111....

Ensuite, ça devient plus intéressant, je peux utiliser le 9/34 pour expliquer ma méthode de résolution par approches successives, que j'utilise presque systématiquement lors des résolutions de divisions.
9/34=27/102=(27- 0.54)/(102-2.04)=26.46/99.96=(26.46+ 0.002646*4)/(99.96+ 0.009996*4)=26.470584/99.999984
Et ainsi de suite, on peut pousser aussi loin qu'on veut, pour augmenter la précision à chaque étape, le but étant d'approcher de la division par 100.
Ici je suis arrivé à une précision à 7 chiffres: 0.2647058, le 4 qui suit n'est pas bon (mais deviendrait bon à l'étape suivante).
Je n'ai pas chronométré, j'ai été assez long, 1 ou 2 minutes, car je l'ai résolu en même temps que je l'écrivais ici, pour expliquer mon raisonnement.

41/13: 1/10eme de seconde pour arriver à 3 + 2/13.
Ensuite, méthode des approches successives.
2/13= 1/6.5 = 10/65 = 15/97.5 = (15+0.5)/(97.5+3.25)=15.5/100.75 = (15.5-0.1)/(100.75-0.65)=15.4/100.1
15.4/100.1=(15.4-0.0154)/(100.1-0.1001)=15.3846/99.9999
Là, on atteint un stade intéressant, car toutes les approches successives suivantes vont suivre le même schéma:
15.3846/99.9999
=(15.3846+0.0000153846)/(99.9999+0.0000999999)
=15.3846153846/99.9999999999
=(15.3846153846+0.0000000000153846153846)/(99.9999999999+0.0000000000999999999999)
=15.3846153846153846153846/99.9999999999999999999999
Et ainsi de suite, répétable à l'infini.
Ne pas oublier que tout ceci est à ajouter au 3 de base, et on obtient 41/13=3.153846153846153846....
Précision 'infinie': on connaît tous les chiffres après la virgule, temps de résolution: une trentaine de secondes environ.

Je ferais les autres plus tard, selon la même méthode en toute vraisemblance.

Merci pour cette réponse, qui me rappelle une règle que j'avais omis d'utiliser dans mes recherches : si a/b = c/d, alors c'est aussi égal à (a + c)/(b + d). Notamment il est très astucieux d'ajouter ou de retrancher un même pourcentage au numérateur et au dénominateur de sorte que le second se rapproche de 100, méthode que je ne connaissais pas.

Incidemment, cela permet de confirmer que la division est plus facile à faire de tête que la racine carrée, ce qui est tout de même plus satisfaisant.

Alors, en prenant en compte cette méthode, je retrouve à peu près le même décalage avec toi que dans les exemples précédents : sauf quand c'est élémentaire ou en raison de connaissances mathématiques ou de hasards qui me font opérer de bons choix, il y a deux cas : quand je peux faire le calcul de tête, il me faut dix fois plus de temps que toi, et quand je ne peux pas, il me faut toujours dix fois plus de temps que toi, mais cette fois en prenant en plus appui sur le fait de noter les calculs intermédiaires. C'est-à-dire que, lorsque lorsque une personne a davantage de moyens, il me semble que sa performance est d'autant plus importante que le calcul est plus complexe, et non pas en progression linéaire.

Alors quelques remarques au sujet de tes calculs :

— 9/34 : je suis capable de penser à 3 × 34 se rapprochant de 100 et de retrancher 2 %, mais ensuite c'est trop de calculs pour moi; aussi j'applique la formule du développement limité de 1/(1 + x), ce qui me donne : 9/34 = 0,2646 × (1 + 0,0004 + 0,0004² + ...) = 0,2646 + 10584.10^-8 + 42336.10^-12 + ..., d'où 0,2647058823... de façon certaine (les puissances de 10, d'un point de vue graphique, c'est juste un décalage, donc c'est plus simple que cela en a l'air quand on s'autorise de noter les résultats intermédiaires);

— 41/13 : de même je vois 3 + 2/13, mais ensuite je fais plutôt 13 × 8 = 104, je retranche 4 % et j'applique le développement limité (même si 4 c'est beaucoup, ce qui me condamne à ne pas aller bien loin) : 2/13 = 0,1536 × (1 + 0,0016 + 0,0016² + ...) = 0,1536 + 24176.10^-8 + 386816.10^-12 + ..., d'où 3,1538461... de façon certaine.

C'est-à-dire qu'avec ma méthode adaptée de la tienne, avec le même temps tu aurais pu aller plus loin dans le cas du premier calcul mais pas dans le cas du second.

... Par ailleurs je viens de trouver plus simple en nombre de calculs (même si on retombe sur ta méthode avec un autre formalisme) :

Si 2/13 = 16/104, on a aussi 160/1040, donc (160 - 3×2)/(1040 - 3×13) = 154/1001.
Et en ôtant 1 pour 1000 de chaque côté : 2/13 = (0,154 - 0,000154)/(1,001 - 0,001001) = 0,153846/(1 - 0,000001) = 0,153846 × (1 + 10^-6 +10^-12 + ...), d'où la répétition de la séquence 153846 dans le développement décimal.

Pieyre a écrit:En effet ce n'est pas un calcul très difficile. J'ai été moins rapide que le candidat qui n'a pas pris plus de vingt secondes, mais je l'ai fait en une trentaine...

J'ai trouvé quelques secondes avant le candidat.

Ceci-dit, il y a bien plus fort !!

Essayez ce calcul en vous chronométrant puis comparez-vous au candidat...

Spoiler:

Voir le phénomène :

@Asperzebre : tu es toujours aussi rapide, même à des heures indues
Environ 12 secondes pour moi car j'ai vraiment fait la division par 37 (je me doutais du résultat mais je n'aime pas deviner).

Dans ma vidéo, tu verras que le candidat prodige répond en 2-3 secondes à chaque problème. Stupéfiant !

Moi perso je fais pareil pour tous les nombre avec 2 chiffre (yy x yy)

27 x 13

1) Je prends les nombres "extérieurs" et ceux "intérieurs" et je les multiplie comme suivant :
2 x 3 = 6 (sachant que le 2 est normalement 20, je rajoute un zéro ensuite)
7 x 1 = 7 (idem)

60 + 70 = 130

Je commence par cette étape et je sais que je dois rajouter un zéro aux résultats de ma première étape.

Je mémorise 130.

2) Je multiplie les dizaines et les centaines :

Dizaine : 2×1=2
Unités : 7×3 = 21

Je place le résultat des dizaines devant les unités... Et même pas besoin de calcul... 2 21 donc

221

3) j'aditionne

130 + 221 = 351

Envoyé depuis l'appli Topic'it

la méthode d'Asperzebre est absolument fascinante

27X10 puis
27X3

27*13=27*10+27*3=270+20*3+7*3=270+60+21=351

C'est peut-être pas le plus rapide mais comme disait confucius peu importe le chemin pourvu qu'on arrive au bout ( ou un truc dans ce genre)

En tant que modeste prof de maths, je conseille la méthode :

27 * 10 = 270
20 * 3 = 60 (soit 330 en sommant les 2 résultats)
7 * 3 = 21 (soit un résultat final de 351)