la division par zero?

interrogation du soir, bonsoir   

est ce que quelqu'un sait et peut m'expliquer ce qui est lorsque l'on divise un chiffre par zero?

merci

147/0=b
->147=b*0
->147=0 ???

Après si ton 0 est un petit nombre proche de 0 (mais pas égal à 0) et étant du signe opposé au numérateur ex; 1/-0.0[...]001 ça fera -l'infini, sinon +l'infini. Le 0 parfait n'étant ni négatif ni positif (car c'est une limite et pas un nombre) (-0 n'existe pas)

donc si j'eu bien compris DiyaR....il n'y a pas de résultat à une division par zero, parce que zero n'est pas un nombre mais une limite?

et pourquoi cela pose une "problematique" d'utiliser le zero comme un nombre avec la division?

il devrait en être de même avec la multiplication, (merci david50 ) non ?

(excellente ton image c'est p't'être bien pour ça que je ne me met pas aux maths )

Comme le montre David50, multiplier par zéro est possible, cela donne zéro. Diviser par zéro revient à dire que multiplier par zéro ne donne pas zéro. Plus fort, ça revient à dire que TOUT nombre est égal à zéro.

Qu'est-ce qui se passe quand on divise un nombre par zéro ?

Eh bien il ne se passe rien, ou plutôt la question qu'il se passe quelque chose n'a pas de sens, parce que déjà lorsqu'on divise un nombre par deux il ne se passe rien.
Les nombres, à la façon de tous les objets mathématiques, n'existent pas. Se poser la question de la division par zéro, ce n'est pas comme se demander pourquoi l'homme ne peut pas voler ou passer à travers les murs. Il n'y a pas une réalité qui l'empêche. C'est juste que ce n'est pas défini, parce qu'on ne peut pas et donner sens à la division par zéro et conserver les lois de symétrie de l'algèbre habituelle.

Cela veut dire qu'on peut toujours définir des opérations dans un autre cadre que cette algèbre de sorte qu'il y ait une notion de zéro (semblable mais différente) et qu'on puisse diviser tout nombre par zéro. Et on peut même associer les deux concepts de nombres dans les calculs comme si l'on était dans le même espace : c'est un abus de langage qui n'est pas gênant quand on l'utilise comme facilité sans lui prêter un sens qu'il n'a pas.

Mais il y a plusieurs théories généralisant les calculs qui permettent cela. Notamment, si l'on se base sur la notion de limite (voir Histoire du calcul infinitésimal), on peut présenter les choses ainsi.

Si diviser, c'est répartir en parts, il n'y a jamais zéro part.

Si c'est effectuer une opération entre des grandeurs physiques qui sont liées par une formule, l'intérêt d'une division par zéro vient du fait que les grandeurs varient et que leur valeur peut se rapprocher de zéro. C'est-à-dire que les grandeurs sont non pas des quantités fixes mais des fonctions. Et quand c'est la mesure d'une grandeur qui nous intéresse, la notion pertinente est la fonction qui converge vers la valeur mesurable de la grandeur.

On peut définir cela de façon mathématique en introduisant ce qu'on appelle des infiniment petits. C'est l'abus de langage qui permet de considérer des fonctions qui tendent vers le nombre 0 comme des nombres. Il y aura donc plusieurs zéros de ce type, et même une infinité, puisqu'on peut se rapprocher de 0 de plusieurs façons, notamment plus ou moins rapidement. Et on leur associera de façon symétrique des nombres infinis, une infinité de nombres infinis.

Il y a ainsi parmi ces pseudo-réels étendus pris comme zéro : o (x), o (x²), o (x³), etc. où la lettre x désigne une variable qui tend vers 0.

Alors l'opération de forme 1/0 doit être entendue non entre des nombres classiques mais entre des fonctions : si 1 représente une fonction qui converge vers le nombre 1 (quelle qu'elle soit) et 0 l'infiniment petit o (x) (c'est-à-dire la fonction qui a x associe x (ou a.x), au voisinage de 0). En ce cas, on considère que la valeur de l'opération est o (1/x), c'est-à-dire un infini (je fais abstraction du signe).

Mais, comme je l'indiquais au début, il faut renoncer aux lois habituelles de l'algèbre pour certaines formes. Ainsi la forme 0/0 peut correspondre à des résultats très différents, selon ce que les signes 0 représentent : ce sera 0 (comme o (x²) / o (x)), ou un infini (comme o (x) / o (x²), ou un réel non nul (comme o (x) / o (x)).

Juste une remarque, Pieyre...

Pieyre a écrit:Les nombres, à la façon de tous les objets mathématiques, n'existent pas.

Les nombres, étant des abstractions, n'appartiennent pas au monde matériel, mais il n'est pas toujours légitime de refuser de parler de leur existence, quand ce ne serait que parce qu'il y a des abstractions dont l'inexistence se démontre sans difficulté. Pour une abstraction, "exister" signifie "pouvoir servir à construire des raisonnements cohérents", et "ne pas exister" signifie "mener à des résultats incohérents quand on raisonne dessus".

Par exemple, il existe un nombre premier plus grand que 2 et plus petit que 5, il existe un solide régulier dont la surface est constituée de vingt triangles équilatéraux; on peut raisonner dessus et leur découvrir des propriétés parfaitement logiques. En revanche, il n'existe pas de nombre premier plus grand que 13 et plus petit que 17, il n'existe pas de solide régulier dont la surface est constituée de vingt-trois triangles équilatéraux, et un raisonnement qu'on bâtirait sur l'affirmation de leur existence pourrait très facilement mener à des absurdités.

En ce sens, l'infini mathématique existe: on peut parfaitement raisonner dessus, on le fait même très couramment (encore que cela mène parfois à des problématiques non pas incohérentes mais indécidables, mais ne compliquons pas). En revanche, un raisonnement prenant en compte l'existence d'un résultat à une division par zéro mène sans difficulté à des absurdités, et il est donc tout à fait légitime de dire qu'il n'existe pas de résultat à une division par zéro.

C'est une objection à laquelle je pensais, sans forcément l'espérer. En effet, ma phrase était un peu provocatrice, comme souvent quand j'emploie le terme d'existence de façon absolutiste, en le réservant à un référent réel.
Mais je prévois que ta formulation va me donner plus de fil à retordre que ce que j'attendais.

Bon, qu'est-ce qui justifie qu'on parle aussi d'existence quand il s'agit de constructions mathématiques ? L'usage, me diras-tu... Mais, dans le cas qui nous occupe, l'usage doit bien être fondé sur quelque réalité, ou sur quelque utilité...

Il y aurait bien la conception selon laquelle les abstractions, induites des réalités observables, n'en restent pas moins des phénomènes réels, sous la forme de processus mentaux, et que c'est tout ce qu'on veut dire par là par existence. Dans ce cas, la division par zéro existerait peut-être bien dans la tête de quelqu'un qui serait capable de la concevoir, qui sait ? Bon, je caricature la position de nos braves matérialistes, mais à peine.

Alors prenons les choses de façon générale. Nous appréhendons les constructions mathématiques sous leur aspect de formules écrites (certes existantes matériellement) et nous les concevons d'une certaine façon, qui nous permet d'en produire à notre tour, de sorte qu'elles soient reconnues conformes; cela suffit bien pour en faire des objets qui méritent qu'on en parle avec un vocabulaire adapté.

Reste qu'il s'agit de justifier qu'on emploie le terme d'existence comme étant propre à ce vocabulaire, c'est-à-dire qu'il soit définissable mathématiquement.
Tu me diras (je te prête beaucoup d'intentions) qu'il y a un accord entre les mathématiciens les plus éminents sur ce terme, et que nous devons nous incliner. Si je n'étais pas logicien, je te répondrais que c'est un argument d'autorité, et je te planterais là, tout en reconnaissant que, si on escamote ce problème de définition dans ton premier paragraphe, j'adhère pleinement aux deux autres.

Mais il y a bien une façon de définir ce terme d'existence, en recourant à ce qu'on appelle en logique la théorie des modèles.
Un modèle, contrairement à ce que son nom semble indiquer, ce n'est pas une construction destinée à rendre compte formellement d'une réalité observable (ce qui serait conforme au terme de modélisation), mais en quelque sorte le contraire : c'est un ensemble (selon un point de vue de mathématique naïve) qui se présente comme ce que la théorie représente formellement. Ainsi, en oubliant la prégnance du réel sur nos sens, le modèle serait à la théorie ce que la nature est à la physique.

Par exemple il y a une théorie de l'arithmétique constituée d'un vocabulaire spécifique (0, S, + et ×, cela doit suffire) (selon un contexte logique qui comporte des règles de formation et de déduction quant aux formules utilisables, ainsi qu'un peu de vocabulaire supplémentaire, comme le signe =, les parenthèses, etc.) et de quelques axiomes. Cela tient en quelques dizaines de caractères.
Et il y a un modèle de cette théorie, qui est l'ensemble infini des entiers dits naturels, sur lesquelles on peut effectuer addition, multiplication et autres opérations.
C'est-à-dire que le 0 de la théorie est censé être une abstraction et celui du modèle une réalisation de cette abstraction. Dans ce contexte, c'est le second qui existe, dans la réalité mathématique de circonstance qu'est l'ensemble des entiers.

C'est une définition de l'existence mathématique qui s'appuie sur une analogie avec la réalité observable, mais qui ne présente pourtant aucun recouvrement avec elle.

Un détail aussi : tu dis que l'infini mathématique existe... Mais tout existe en mathématique, du moment qu'on en écrit la théorie. Et, par ailleurs, l'infini n'existe pas pour un logicien constructiviste qui donnerait une définition plus restreinte de l'existence : existe dans un modèle un objet que l'on peut construire explicitement. Ainsi, 1 existe (c'est l'interprétation de la formule S(0)), 2 existe (S(S(0)) ou S(0) + S(0)), 3 existe (S(S(S(0)) ou ...), etc. Mais l'infini, qu'est-ce, si l'on ne s'autorise pas les illusoires points de suspension ?

sandymaly a écrit:
est ce que quelqu'un sait et peut m'expliquer ce qui est lorsque l'on divise un chiffre par zero?

DAns la division il y a le quotient et le reste.
Le reste est toujours entre zéro et le diviseur moins un.
Quand on divise par zéro le reste reste plus grand que le diviseur.
Ce ne peut être vrai car le reste doit être entre zéro et le diviseur moins un.
S'il n'y a pas de reste (même pas zéro), alors le quotient est infini?
Dans les nombres entiers l'infini n'est pas un nombre.
La division par zéro est indéfini.

Ça vole haut toutes ces réflexions

A mon niveau de connaissances, j'ai envie de répondre à la question par une formule (lapidaire) : si la division par zéro était possible, son résultat serait l'infini.

donc, si je comprend bien.....

zero n'est pas un nombre, c'est une limite au même titre que l'infini....en fait son "vrai" ptit nom devrait être "infini 0"........et de part son côté "butoir"/"frontière", on l'utilise couramment comme un nombre en algèbre

lorsqu'on multiplie par zero, le resultat tend vers zero, donc on obtient par convention une opération d'algèbre "simple" type x*0=0...

ce qui se complique dans la division....zero n'étant pas un nombre mais une limite infini, la division par zero entraine un résultat qui tend vers l'infini (et je viens de le vérifier avec la calculatrice ) ce qui la rend impossible algébriquement facilement parlant....

pinaise, si c'est ça.....merci tout le monde avec vous j'ai compris le temps de lire vos post

ferdi, c'est précisément le genre de réponse qui entraine chez moi un....mais pourquoi? je comprend pas et j'imprime pas (mon niveau en math s'arrête à mes lointaines 1° et term S...avec une moyenne approchant la limite zero )

Je ne peux que te conseiller les vidéos de Numberphile (une chaîne youtube sur les mathématiques), en anglais, sur 0, en particulier cette vidéo de 11min sur les problèmes lié à 0 :

sandymaly a écrit:
ferdi, c'est précisément le genre de réponse qui entraine chez moi un....mais pourquoi? je comprend pas :lol:et j'imprime pas (mon niveau en math s'arrête à mes lointaines 1° et term S...avec une moyenne approchant la limite zero )

Ah zut, désolé Sandymaly de t'avoir embrouillée
Tu peux oublier ce que j'ai dit alors, c'était une réflexion lapidaire qui n'avait pas grand-chose de mathématique.

Je reprends ce que tu as écrit, en me limitant aux nombres réels :

sandymaly a écrit: zero n'est pas un nombre, c'est une limite au même titre que l'infini »

Je crois que tu t'embrouilles aussi sur le zéro .
Zéro est un nombre réel, dans le sens mathématique où il fait partie de l'ensemble des nombres réels. Certes le nombre zéro est particulier, notamment pour ce qui renvoie à la fameuse division par zéro qui est impossible. Par contre on parle bel et bien de limite pour l'infini sans pouvoir le « quantifier » (on peut passer l'éternité à chercher un nombre entier supérieur au précédent. Autrement dit : il n'existe pas de nombre entier n supérieur à tous les autres nombres entiers).

sandymaly a écrit: lorsqu'on multiplie par zero, le resultat tend vers zero, donc on obtient par convention une opération d'algèbre "simple" type x*0=0... »

La multiplication d'un nombre réel par zéro est possible. On peut dire que lorsqu'on multiplie un nombre réel par zéro, le résultat est zéro (et non pas « tend vers zéro » comme tu l'as écrit).
(tu peux le vérifier à la calculatrice)

sandymaly a écrit: ce qui se complique dans la division....zero n'étant pas un nombre mais une limite infini, la division par zero entraine un résultat qui tend vers l'infini (et je viens de le vérifier avec la calculatrice  ) ce qui la rend impossible algébriquement facilement parlant.... 

Dire que « la division par zero entraine un résultat qui tend vers l'infini » est incorrect, la division par zéro étant impossible.
Par contre tu l'as « senti » à la calculatrice : en faisant des divisions successives par des nombres qui tendent vers zéro, le résultat tend vers l'infini (également à la machine, si tu tapes 1/0 tu auras un message de type "Syntax Error", parce que la division par zéro est impossible).
C'est pour cela que l'on parle de « limite infinie », ou de résultat « qui tend vers l'infini» dans le cas de la division d'un nombre réel par « quelque chose qui tend vers zéro» .
Par exemple, la fonction 1/x tend vers l'infini quand x tend vers zéro (mais x n'étant jamais égal à zéro puisque la division par zéro est impossible, limite butoir dont tu as parlé)


Voilà, j'espère avoir été plus clair et ne pas t'avoir re-embrouillé

Ben moi je me suis régalée à vous lire, Pieyre, Petitagore, Ferdi

Merci  

Z'auriez pu faire une explication simple...

"Pourquoi ne peut-on pas diviser par 0 ?

Parce que la division c'est une suite de soustraction, 20 divisé par 4 c'est :

20-4 = 16
16-4 =12
12-4 = 8
8-4 = 4
4-4 = 0

Donc 20/4 = 5, vu qu'on peux retirer 4 cinq fois sans passer dans le négatif. Si l'on divise par 0...

20-0 = 20
20-0 = 20
20-0 = 20
20-0 = 20
20-0 = 20
etc.

Une infinité de fois, donc 20/0 n'à pas de solution parce que si on pouvait retirer 0 une infinité de fois, il nous resterait toujours plus que 0, donc l'on ne serai même pas encore à la fin de la soustraction." (une des explications donnée dans la vidéo dont j'ai mis le lien ^^)

Ah et @Ferdi : 1/x tend vers +∞ quand x tend vers 0 si et seulement si x est positif ! 1/x tend vers -∞ quand x tend vers 0 si et seulement x est négatif !! Donc dire que 1/x tend vers l'infini quand x tend vers 0 n'est pas tout à fait vrai ^^

Vi vi Vincen'z

Bon après sur ce fil, c'est très variable au niveau ... des niveaux . J'ai essayé de simplifier pour Sandymaly, vu que je l'avais embrouillée par ma petite intervention

(elle est très chouette ton explication de l'impossibilité)

pardon ferdi, vincen'z et les autres   mon "langage" mathématique est faux, c'est le concept que j'essaye de piger

oki vincen'z....donc en fait, le résultat d'une division par zero n'est pas l'infini non plus (j'exit les côtés + et - ).....
si je comprend bien, cette division "déclenche" une infinité...qui rend impossible son résultat

(dommage pour la video, je ne comprend pas couramment l'anglais....le seul truc que j'ai compris c'est "it's dangerous number" -> mince! ça a l'air sympa ce qu'il dit )

Il y a plein d'explications sympas mais celle-ci n'a pas été donnée:

Les nombres réels/rationnels possèdent une définition, ce sont des objets mathématiques vérifiant certaines propriétés. L'addition et la multiplication aussi: pour deux nombres a et b, a+b est l'unique nombre vérifiant une certaine propriété dépendant de a et de b, de même pour la multiplication.

A partir de ces définitions, on peut montrer que:

Il existe un unique nombre 0 tel que pour tout nombre a, 0.a = 0.
Il existe un unique nombre 1 tel que pour tout nombre a, 1.a = a.
0 et 1 sont distincts.

Par définition, un nombre a possède un inverse (ou de manière équivalente, est inversible) s'il existe un nombre b tel que a.b= 1.
Si a possède un inverse, alors il est unique et c'est lui qu'on désigne par (1/a).
Par définition, pour un nombre a et un nombre b inversible, "a divisé par b" est le résultat de la multiplication de a par l'inverse de b, (1/b). Donc c'est a.(1/b), qu'on note a/b.
On retrouve le fait que pour tout nombre b inversible, 1/b est égal à 1 divisé par b.

On peut montrer que tous les nombres non nuls sont inversibles (en travaillant avec les définitions de nombres, addition, multiplication, inversibilité, 1, etc).
En revanche, 0 n'est pas inversible, car on n'obtient jamais 1 en multipliant 0 par un nombre (puisqu'on obtient toujours 0 et 0 n'est pas 1).
Donc d'une part 1/0, qui serait l'inverse de 0, n'existe pas, d'autre part diviser par 0 n'a pas de sens.

Et si on rajoute artificiellement un nombre dont on suppose qu'il est l'inverse de zéro, on retombe sur le problème de taille soulevé par david50: tous les nombres seraient égaux enfin c'est une contradiction quoi.

C'est une vision qui zappe toute la réflexion qu'il peut y avoir derrière ce "problème de la division par zéro". Je le rajoute juste pour que tu voies que l'impossibilité de diviser par zéro n'est pas seulement due à la "divergence" des intuitions sur le résultat, ni seulement parce que l'existence d'une division par zéro contredirait d'autres règles de calcul, mais aussi parce que la division est quelque chose de bien défini en mathématiques, et que la division par zéro n'a pas de sens.

Ferdi a écrit:Vi vi Vincen'z

Bon après sur ce fil, c'est très variable au niveau ... des niveaux . J'ai essayé de simplifier pour Sandymaly, vu que je l'avais embrouillée par ma petite intervention

(elle est très chouette ton explication de l'impossibilité)

J'avoue ne pas avoir lu ton explication, j'ai vu le pavé je me suis dis "oh my god ça doit être compliqué tout ça o_o" donc j'ai pensé que l'ajout de l'explication "simple" était utile ^^ Après je comprend ce que tu veux dire sur les niveaux variables, et au final, ce topic est génial parce qu'il y à des explications pour tout le monde, chacun a "son" explication, selon son niveau =)

Et mon explication est piqué de la vidéo de numberphile, cette chaîne est vraiment géniale pour les fans de maths, les explications sont plutôt simples à comprendre tout en étant très détaillé (j'avoue être réellement fan d'un des mathématiciens en particulier, Matt, l'un des deux mathématiciens présent dans la vidéo sur zéro ^^).

@Sandymaly:

Rhôlôô... Je sens qu'il va me falloir plusieurs lectures pour y voir plus clair.  
En tout cas, je vous remercie !

Sur ce sujet comme sur beaucoup d'autres, Wikipédia est notre amie:



Me comprenez pas de travers: ceci n'est pas une ânerie de Wikipédia, c'est la façon de Wikipédia d'expliquer à quelles absurdités mène la division par zéro; mais comme c'est fait avec de la typographie propre, ça peut terroriser le clampin non-matheux; cet effet n'est pas recherché.

Vincenz' a écrit:
Après je comprend ce que tu veux dire sur les niveaux variables, et au final, ce topic est génial parce qu'il y à des explications pour tout le monde, chacun a "son" explication, selon son niveau =)

+1, je l'aime bcp moi aussi ce topic

Je ne peux m'empêcher d'en remettre une couche.
A la petite école, vraiment petite, on nous expliquait que la division était le fait de rechercher combien de fois il y avait quelque chose dans autre chose...
La division par 3: Combien de fois il y a t'il 3 dans le nombre xyz... ?
La division par 12 : Combien de fois y a t'il 12 dans le nombre xyz... ?

Donc la division par zéro amène à se poser la terrible question :
Combien de fois y a t'il rien du tout dans quelques chose ?
Evidemment, là, ça devient impossible, sauf à faire appel à la philosophie ! (terminale) !

Raisonnement niveau CE2 ?

Bon courage

Soient a, b, c trois nombres.

On veut résoudre :

a = b / c avec c = 0.

L'expression est équivalente à :

b = a * c = a * 0

Or a est l'élément absorbant de la loi de multiplication, donc on a :

b = a * 0 = 0 * a = 0

Si b est égal à 0, a prend une infinité de valeurs, or a est un nombre possédant une valeur unique.

DrôleDeZèbre a écrit:Donc la division par zéro amène à se poser la terrible question :
Combien de fois y a t'il rien du tout dans quelques chose ?
Evidemment, là, ça devient impossible, sauf à faire appel à la philosophie ! (terminale) !

Raisonnement niveau CE2 ?

Bon courage

Vincenz' a écrit:"Pourquoi ne peut-on pas diviser par 0 ?

Parce que la division c'est une suite de soustraction, 20 divisé par 4 c'est :

20-4 = 16
16-4 =12
12-4 = 8
8-4 = 4
4-4 = 0

Donc 20/4 = 5, vu qu'on peux retirer 4 cinq fois sans passer dans le négatif. Si l'on divise par 0...

20-0 = 20
20-0 = 20
20-0 = 20
20-0 = 20
20-0 = 20
etc.

Une infinité de fois, donc 20/0 n'à pas de solution parce que si on pouvait retirer 0 une infinité de fois, il nous resterait toujours plus que 0, donc l'on ne serai même pas encore à la fin de la soustraction." (une des explications donnée dans la vidéo dont j'ai mis le lien ^^)

=p