Le game

Donc là on a un mur

On ne sait pas quelles autres questions se poser

Pour rester dans notre mood promenade

Bon on a une question

Peut-on savoir si une racine est paire ou impaire

Et

Peut-on savoir si une racine est un multiple de trois

Bon ben voilà 3 questions

Voilà c'est important d'être à l'aise avec cette étape du questionnement

Car nous voulons faire une promenade agréable

Il n'est pas superflu de nous demander quel chemin nous voulons emprunter

Bon alors prenons la deuxième question

Alors on sait déjà qu'un racine ne sera pas forcément entière

Donc une racine sera paire, impaire ou non entière

Prenons le cas d'une racine paire

Pour exprimer cette contrainte on utilise souvent l'expression 2n

Avec n étant un entier relatif

Si n' est quelconque, alors on est sur que 2n est pair

Donc si 2n est une des racines

a * (x - 2n)(ex^2 + fx + g)

Si on développe

e est ici juste un réel

a * (ex^3 + fx^2 + gx - 2nex^2 - 2nfx - 2ng)

a * (ex^3 + (f - 2ne)x^2 + (g - 2nf)x - 2ng)

Donc si on a une racine paire on doit obtenir une forme développée de la forme ci-dessus

Donc qu'est-ce qu'on fait avec ça

[tout est chaos]

Pour simplifier on pose a = 1

Donc on va poser b = f - 2ne, c = g - 2nf et d = - 2ng

Avec ex^3 + bx^2 + cx + d

Donc on a un système de 3 inconnues

Puisque e, b, c et d sont connus

f - 2ne = b
g - 2nf = c
-2ng = d

3 inconnues f, g et n

Enfin sauf erreur

On verra plus tard

Donc on va obtenir un nouveau polynôme

Ou peut-être le même

Souvent quand on fait ce genre de calcul

On peut retomber sur une situation initiale

Mais bon essayons au cas où

Ça restera une promenade

Donc on remplace f = 2ne + b dans la seconde équation

g = 2nf + c = 4n^2e + 2nb + c

On remplace g dans la troisième équation

-2ng = -8en^3 - 4bn^2 - 2cn = d

Donc on obtient 8en^3 + 4bn^2 + 2cn + d

Soit e(2n)^3 + b(2n)^2 + c(2n) + d

Ce qui est exactement notre polynôme de départ

Juste en remplaçant x par 2n