Problème de maths à résoudre

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Message par Invité Jeu 5 Mai 2022 - 11:34

x = Q^(1 / Q^(1 / x)) dans R

Différencier* selon les valeurs de Q.

*au sens de différents cas

Je n'ai pas la réponse. À part une : e^(W(ln(Q))) qui est aussi la solution à l'équation x = Q^(1 / x).

W est la fonction W de Lambert.

Cdt.

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Message par fift Jeu 5 Mai 2022 - 11:41

Je vais peut-être dire une connerie.

L'équation s'écrit aussi plus simplement :

x = x^Q/Q pour tout x différent de 0, non ?

Pour Q différent de zéro, tout x appartenant à R (sauf 0) est solution de l'équation.
Pour Q = 0, il n'y a pas de solution.


Non ?

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Message par Invité Jeu 5 Mai 2022 - 11:46

Comment tu arrives à x = x^Q/Q

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Message par fift Jeu 5 Mai 2022 - 12:15

Damned, je viens de me rendre compte que j'ai mal interprêté le "^". Je l'ai considéré comme un signe "multiplier" au lieu de le prendre comme une puissance Embarassed .

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Message par Invité Jeu 5 Mai 2022 - 13:10

Ouais faut pas confondre ^^

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Message par fift Jeu 5 Mai 2022 - 15:34

Bon, si je ne me suis pas gouré cette fois, on peut ré-écrire l'expression initiale sous la forme :

ln(x) / x = ln(Q) / Q pour tout Q>0

En prenant le log népérien des deux termes, puis en simplifiant l'écriture à grands coups de ln (a^b) = a.ln(b).

Du coup, une des solutions est x=Q pour tout Q strictement positif.
Pour Q=0, il ne peut y avoir de solution.

Même raisonnement avec Q négatif, on obtient :
ln(-x) = ln(-Q)/Q
Solution identique : x=Q pour tout Q strictement négatif.

LA grande question qui reste à répondre est : existe-t-il d'autres solutions ?

Non ?


Dernière édition par fift le Jeu 5 Mai 2022 - 16:19, édité 1 fois

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Message par Invité Jeu 5 Mai 2022 - 15:52

Je crois pas

x = Q^(1 / Q^(1 / x))

x = e^((1 / Q^(1 / x)) ln(Q))

ln(x) = (1 / Q^(1 / x)) ln(Q)
ln(Q) / ln(x) = Q^(1 / x)
ln(Q) / ln(x) = e^((1 / x) ln(Q))
ln(ln(Q) / ln(x)) = ln(Q) / x

On peut simplifier l'écriture en mettant ln(x) / ln(Q) = logQ(x) [log à base Q de x]

1 / logQ(1 / logQ(x)) = x

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Message par fift Jeu 5 Mai 2022 - 16:26

Pas sûr que les deux expressions soient incompatibles, si ?

j'essaie de détailler comment j'arrive à ln(x)/x =ln(Q)/Q.

x = Q^(1/Q^(1/x))

Je prends le log népérien de chaque expression : ln(x) = ln(Q^(1/Q^(1/x)))

Je sors la puissance du log népérien : ln(x) = (1/Q^(1/x)).ln(Q)

Je passe la fraction de l'autre côté : (Q^(1/x)).ln(x) = ln(Q)

J'intègre la fraction dans le log népérien comme une puissance de x : ln(x^(Q ^(1/x))) = ln(Q)

Je sors la fraction 1/x du log népérien : (1/x).ln(x^Q) = ln(Q)

Je sors le Q du log népérien : (Q/x).ln(x) = ln(Q)

Je passe le Q de l'autre côté : ln(x) / x = ln(Q) / Q



(si j'ai faux, je veux bien l'explication, ça fait une éternité que je n'ai plus manipulé des logarithmes).

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Message par Invité Jeu 5 Mai 2022 - 16:54

x^(Q ^(1/x)) ≠ (x^Q)^(1 x)

Ex.

2^(3^2) = 2^9 = 512
(2^3)^2 = 8^2 = 64

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Message par fift Jeu 5 Mai 2022 - 17:12

Ach c'est l'horreur à lire en linéaire comme ça.
Tu aurais l'expression initiale écrite "à la main" ?

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Message par Invité Jeu 5 Mai 2022 - 17:20

I faut d'mander l'install d'un plugin maths

Siouplait la modération, vous qui m'aimez tellement, z'auriez pas l'extrême obligeance d'installer un plugin maths ?

Merci tout simplement

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Message par Invité Sam 7 Mai 2022 - 10:57

Il faut que je fasse un petit laïus sur la fonction W de Lambert

La fonction W de Lambert est l'inverse de la fonction

xe^x

Qui permet de résoudre des équations où y'a des x et des e^x

Je vais juste paraphraser un peu ça https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Fonction_W_de_Lambert

Donc pour l'équation x = Q^(1 / x)

Qui est en fait une autre écriture de l'équation x^x = Q

Cette équation se résoud en faisant apparaître un terme A(x)e^A(x)

Si A(x)e^A(x) = y

W(y) = A(x)

e^(x * ln(x)) = Q

x * ln(x) = ln(Q)

W(x * ln(x)) = ln(x)

[propriété]

Donc ça supprime le facteur x

ln(x) = W(ln(Q))

x = e^(W(ln(Q)))

Donc c'est la solution de l'équation x = Q^(1 / x) mais pas l'équation du début bien sûr

Deux choses à noter

Pour - 1 / e < ln(Q) < 0 il y a deux solutions

Puisque la fonction W de Lambert a deux branches sur cet interval (cf. Wikipedia)

Pour ln(Q) < - 1 / e il n'y a pas de solution dans R

Pour ln(Q) >= 0 il y a une solution dans R

La deuxième chose à noter est que le site https://www.wolframalpha.com/ propose des valeurs numériques pour les deux branches de la fonction W de Lambert

LambertW(x) pour la branche 0 et LambertW(-1, x) pour la branche - 1

Ce site est aussi un site d'intelligence artificielle vous pouvez lui dire

Solve x^x = Q

Il vous répondra

Problème de maths à résoudre Screen50

Oui donc j'ai fait une petite erreur c'est ln(Q) >= - 1 / e et non ln(Q) > - 1 / e

Vous pouvez lui dire

What is the capital of France

Il vous répondra

Problème de maths à résoudre Screen51

Notez que les raisonnements sont indiqués

Et donc bien sûr vous allez vous précipiter pour lui dire

Solve x = Q^(1 / Q^(1 / x))

Qui est je vous l'rappelle le but de ce fil

Et il vous répondra malheureusement

Problème de maths à résoudre Screen52

Si quelqu'un veut essayer le pro computation time je l'en prie

Peace.

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