"paradoxe" des 2 enveloppes

Qu'est-ce qui n'est pas clair là-dedans ?
J'ai juste ajouté quelques mises à la ligne.

Parisette a écrit:J'ai posé cette question à un ami, prof de math.
Voici ce qu'il m'a répondu.

"En vrai ca dépend de la probabilité d'obtenir 2x dans l'autre enveloppe...

* si on est dans un cas d'équiprobabilité i.e. que j ai 0.5 de proba d'obtenir 2x :
L'espérance de gain est 0.5(0.5x+2x) = 1.25x
or 1.25x > x
donc en moyenne je vais gagner en choisissant l'autre enveloppe du coup je change...

* Pour le cas général, si je note p la proba d'obtenir 2x dans l'autre enveloppe :
L'espérance de gain est alors de 0.5(1 - p)x + 2px = 0.5(1 + 3p)x
cette espérance est plus grande que x si 1 + 3p > 2 i.e p > 1/3.
Donc dès que j'ai plus d'une chance sur 3 d'avoir 2x dans l'autre enveloppe... je change.

Si j'ai aucune idée de la proba d'obtenir 2x dans l'autre enveloppe... je table sur le fait que 1/3 est plus petit qu'1/2 et je change."

Tu es méprisant Archiloque, dommage.
Ce qui n'est pas clair c'est de partir de X et de définir deux paires.
Moi je définis une paire (ce qui a l'avantage de correspondre à la problématique) et je calcul mes chances.
en quoi mon raisonnement est-il faut ?

@Topsy : ce prof de maths commet la même erreur que moi au début, il omet l'effet limite. Son calcul est mathématiquement exact (c'est le même que moi, hein). Mais dans la vraie vie, on a une limite. Ne serait-ce que parce que les valeurs numériques de montants dans les banques ont une longueur limitée (j'en ai toutouillé pendant 8 ans, je sais de quoi je parle).

Cette limite fait déjà que la probabilité de gagner est inférieure à 1/2. A vue de nez, c'est 3/8 (je ne met pas le calcul, je n'en suis pas sur).

Mais la probabilité de gagner plus si on change est à pondérer par l'espérance de gain en chaque cas. Si la limite est à 10, toute valeur de X supérieure à 5 est une garantie de perte en cas de changement, et de perte plus importante que si on a un résultat inférieur. La probabilité d'avoir 6 ou plus est faible, mais la perte est plus importante.

C'est pour ça, encore une fois, qu'on a des résultats différents suivant qu'on fait un calcul discret ou un calcul de formule pur. La formule ne prend pas en compte tous ces éléments là. Et elle en oublie encore un autre : l'aspect discret des valeurs possibles.

En effet, combien a-t-on de décimales autorisées sur les montants? Question tout sauf anodine. Tout le monde ici a assumé que c'était zéro. Avec des valeurs dans les enveloppes de 1, 2, 4, 8, 10, 10000..... Si c'est le cas, dès que j'ai un résultat impair, je change : je ne peux pas avoir de résultat avec un résultat décimal. Plus généralement, est-ce que je peux diviser par deux X et rester dans le périmètre? Si non, le changement est gagnant dans tous les cas. Dans mon exemple avec des valeurs de 1 à 10, X à 1, 3, 5 est un gain au changement garanti. 2 et 4 sont risqués, mais l'espérance est bénéficiaire. 6, 8, 10, sont des plantages garantis en cas de changement. Il n'y a ni 7, ni 9.

*----------------------------------------------------------------------------------------------------*

Ce que met en exergue ce problème, c'est que des grilles de lectures assumées comme fiables dans la plupart des cas (l'analyse numérique) ne résistent pas à des contraintes évidentes mais non précisées. Tous les exemples choisis démolissent les résultats du calcul numérique parce qu'ils comprennent, sans les préciser, les contraintes du monde réel : (1) Il y a un montant maximal, et (2) Le nombre de valeurs possible n'est pas infini.

Et les mathématiques ont cette aura de science parfaite, sans erreur, si le calcul est bon, alors on détient la vérité. Sauf que les seules maths applicables ici sont les maths discrètes, pas les formules classiques linéaires sur ℝ qui donnent un résultat erroné, par des effets à la fois d'approximation et d'aberration aux limites.

@Wich : il faut considérer une paire dont un membre est X et l'autre est une inconnue, X/2 ou 2X.

Tu dois connaître X (je dis ça pour Daurinak) et tu dois considérer qu'il y a une inconnue.

Une inconnue dont il y a "autant" de probabilité que ce soit X/2 que de probabilité que ce soit 2X.
Je ne considère pas de limite, mais on peut considérer p=3/8 ou autre.

Par contre, on ne peut pas fixer de paire, ni négliger le passage par la première enveloppe.

Il faut ?
Pourquoi ?

On vous apprend que l'autre enveloppe contient soit le double, soit la moitié de X.

Je pars du principe que les deux sont possibles, donc les deux à considérer.

Même si tu estimes que tu as gagné trop (10 millions d'euros) ou trop peu (1 euro) dans la première.

Mais avec une paire d'enveloppes scellée ce n'est pas possible.

Wich a écrit:Mais avec une paire d'enveloppes scellée ce n'est pas possible.

+1. Ce qui veut dire que ce qu'on dit au candidat est trompeur - on sait si c'est le double ou la moitié. On lui fait croire que les deux sont possibles, voire équiprobables, mais ce n'est pas le cas. La valeur est déjà définie.

Ah ben qd même

ce qu'on dit au candidat est trompeur

Ce n'est pas "trompeur". C'est surtout valable quelle que soit l'enveloppe choisie en premier.

La valeur du contenu de la seconde restant inconnue pour le joueur.

l'autre enveloppe contient soit le double, soit la moitié de X.

La vidéo passe bien en vitesse double :

daurinak a écrit:J'espère ne pas être trop hors sujet, mais j'ai trouvé une vidéo qui me semble liée aux discussions ayant lieu ici. Je vous la partage.

J'ai dit trompeur, pas faux. Trompeur dans plusieurs sens :
(1) ça a une seule valeur, on donne un valeur possible, et une valeur impossible
(2) trompeur dans le sens ou on fait miroiter implicitement une espérance de gain de 1.25 - alors que techniquement, le gain en cas de changement est déjà décidé. Et qu'il sera, en valeur absolue, toujours le même.
(3) trompeur, parce que si on fait +100% suivi de -50%, on revient au résultat de base.

RonaldMcDonald a écrit:

Wich a écrit:Mais avec une paire d'enveloppes scellée ce n'est pas possible.

+1. Ce qui veut dire que ce qu'on dit au candidat est trompeur - on sait si c'est le double ou la moitié. On lui fait croire que les deux sont possibles, voire équiprobables, mais ce n'est pas le cas. La valeur est déjà définie.

Dans le cas simple des 4 valeurs le présentateur peut très bien honnêtement ne pas savoir. L'enveloppe elle le sait, mais elle est la seule.

Et ça peut être dit par le présentateur même s'il n'a pas vu le premier tirage du joueur... Ce qui accentue le côté "valide" de son propos

Oui, c'est ça que je trouve très joli.

Ca, c'est le biais d'optimisme. Mais je me soigne

C'était pas un biais Nolimit, il n'y a pas eu de pugilat, juste de l'agacement.