John H. Conway

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Message par paela le Lun 13 Avr 2020 - 15:08

Le mathématicien anglais John Horton Conway est décédé le 11 avril 2020 après avoir contracté la covid-19. C'était un mathématicien prolifique avec une approche plutôt originale des mathématiques, axée sur le jeu et la simplicité. Il s'est intéressé à de nombreux problèmes, certains profondément ancrés dans l'histoire mathématique contemporaine, d'autres qui ont émergé grâce à sa grande créativité et à sa capacité d'émerveillement. Il a notamment découvert des tas d'objets mathématiques, géométriques ou de natures diverses dont une toute petite partie est représentée ici:

Précis de zoologie mathématiques:

Je mets les images sans explication en espérant vous impressionner (c'est pas beau quand l'intention artistique et la flemme s'accordent parfaitement?). Se rappeler que l'appréhension d'un objet mathématique vient souvent assez longtemps avec sa représentation, description souvent incomplète; donc ne vous inquiétez pas il n'avait pas toutes ses images précisément représentées dans sa tête. Jeu: laquelle de ces images représente le mathématicien en question?

John H. Conway Game_o10
John H. Conway Hacken10

John H. Conway Icosia10

John H. Conway Surrea10

John H. Conway Conway10

John H. Conway Leech_10

Je vais faire dans ce topic une petite présentation de certains travaux qu'il a réalisés ou auxquels il a contribué. Ce sont seulement ceux que je connais au moins de loin. Je vous invite à compléter. Et bien sûr on peut discuter de ces choses librement aussi ici.

Je vais commencer par sa contribution à la classification des groupes finis simples. Ce n'est pas quelque chose qui tourne autour de Conway mais cela mérite quand même de figurer dans la liste. Ensuite je parlerai un peu des nombres surréels. Ensuite peut-être le jeu de la vie, mais je laisserais volontiers ça à d'autres.
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Message par Topsy Turvy le Lun 13 Avr 2020 - 15:17

C'est beau...
[J'ai trouvé.]
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Message par ludion le Lun 13 Avr 2020 - 15:47

Je crois que j'ai aussi trouvé Smile
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Message par Topsy Turvy le Lun 13 Avr 2020 - 15:57

I'm about to teach you how to do a nice little trick



I like this guy.
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Message par I am So Sure le Lun 13 Avr 2020 - 16:32

Le jeu et la simplicité...

study study study

Your latest trick. Dire straits. Musique...
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Message par paela le Lun 13 Avr 2020 - 21:47


Je vais faire dans ce topic une petite présentation [...]



Classification des groupes finis simples

Une contribution importante de Conway aux mathématiques est son travail concernant la classification des groupes finis simples (CDGFS).

Groupes finis simples
Un groupe fini est la donnée d'un ensemble fini G, dont je note les éléments a_0,...,a_n pour un certain nombre n positif ou nul, ainsi que d'une opération notée ici * qui à deux éléments a_i et a_j de G, éventuellement identiques, en associe un troisième noté a_i * a_j. Je dirai appliquer a_i à a_j pour désigner cette opération. A noter que j'aurais aussi pu dire appliquer a_j à a_i, car droite et gauche sont une affaire de convention.

On veut que cette opération respecte les règles suivantes où i, j et k sont des nombres quelconques entre 0 et n:
i) Qu'on ait toujours (a_i * a_j) * a_k = a_i * (a_j * a_k). Donc la priorité selon laquelle on effectue l'opération n'importe pas, ce qui fait que l'on peut retirer les parenthèses sans ambiguïté. Comme pour l'addition: (a+b)+c=a+(b+c) (essayez chez vous!), donc on écrit simplement a+b+c.
ii) Qu'on ait un élément, qu'ici je vais choisir comme a_0, tel qu'appliquer l'opération avec a_0 ne change rien, c'est-à-dire tel qu'on ait a_0 * a_i = a_i * a_0 = a_i. Cet élément est appelé le neutre pour l'opération; il n'en pense rien. Si * est l'addition de nombres, alors le neutre est 0.
iii) Qu'il existe toujours un élément a_i' tel qu'on ait a_i * a_i' = a_i' * a_i = a_0. C'est-à-dire qu'appliquer a_i à a_i' où l'inverse permet de revenir au neutre. L'élément a_i' est uniquement déterminé par a_i. On l'appelle l'inverse de a_i

Une intuition importante derrière ces objets est celle d'ensemble de transformations laissant invariante une forme géométrique. Prenez un objet chez vous, et choisissez des manipulations que vous pouvez lui faire, que vous pouvez ensuite faire dans le sens inverse pour revenir à la situation d'origine**. C'est le moment de sortir l'isocaèdre régulier du placard. Numérotez toutes ces transformations et leurs inverse a_0, a_1, etc... N'oubliez pas le neutre: ne rien faire**, et appelez-le a_0 je vous prie.
Regardez ce qu'il se passe lorsque vous en faîtes deux, a_j puis a_i, à la suite: cela vous donne une troisième transformation notée a_i * a_j. Elle est déjà dans la liste? Sinon ajoutez-là, et remarquez que pour faire l'inverse de a_i * a_j, il faut faire l'inverse a_i' de a_i, puis l'inverse a_j' de a_j, donc faire a_j' * a_i'. Ajouter tout ça à votre arsenal et continuez tant que la liste peut s'allonger.
Attention, la liste grossit assez rapidement si vous commencez avec beaucoup de choses. D'ailleurs, la vitesse de croissance de cette liste est tout un domaine d'étude en mathématiques qui est la théorie géométrique des groupes.
Si vous avez choisi au départ une transformation du genre le soulever d'un mètre, cela ne va jamais s'arrêter car il faudra aussi pouvoir le soulever de deux, trois, quatre mètres, etc... Si vous avez été prudent, à un moment la liste ne va plus s'allonger. Félicitations! Vous venez d'obtenir un groupe de transformations de votre objet. Si vous êtes parti d'un triangle il sera assez petit, si vous êtes parti d'une boule de pâte à modeler ou de votre chambre, il sera un peu balourd, mais l'entropie joue en votre faveur.
Cela fonctionne parce que le procédé général d'appliquer une transformation à la suite d'une autre respecte naturellement la première règle des opérations de groupe (notée i) plus haut).

A noter que contrairement à l'addition de nombres, votre opération aura peu de chance de se comporter de manière symétrique; au sens où faire a_j puis a_i ne sera pas la même chose que faire a_i puis a_j: en général a_i * a_j est distincte de a_j * a_i.

Ca c'est pour les groupes finis. Un groupe infini, c'est la même chose sans la contrainte que l'ensemble est fini. Un groupe fini est dit simple s'il ne peut pas être décomposé en un certain sens à l'aide de deux groupes plus petits. Une illustration: je prend un carré en papier et je le place dans un joli cadre carré parfaitement adapté aux dimensions. Je m'autorise deux opérations de base en plus du neutre a_0:
-le faire tourner d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre: noté opération a_1
-le sortir du cadre, le retourner de droite à gauche (face du dessus au dessous donc) et l'y replacer sans avoir rien fait d'autre. Je note ça a_2. D'un point de vue mathématique, si on identifie les deux faces du papier, cela revient à faire une symétrie par rapport à l'axe vertical de symétrie.

Je vais utiliser un système de notation différent en parallèle: r (pour rotation) pour a_1 et s (pour symétrie) pour a_2. Si m est un nombre naturel et a_i est une transformation, alors je note aussi a_i^m l'application successive m fois de a_i à lui-même. La convention est a_i^0 = a_0 et que si n est négatif, alors a_i^n désigne l'inverse de a_i^(-n). Cette convention naturelle permet notamment d'avoir la propriété a_i^m * a_i^n =a_i^(m+n) dès lors que m et n sont des entiers relatifs.

Faisons notre liste initiale et appliquons la construction présentée plus haut. On a donc trois transformations de départ:
-Le neutre a_0.
-La rotation a_1 = r.
-La symétrie a_2 = s.
-Je note a_3 l'inverse de r, donc r^(-1). C'est la rotation d'un quart de tour dans l'autre sens. Puisque qu'il revient au même de faire quart de tour dans un sens ou trois quarts de tour dans l'autre, on a a_3 = r^3.
-L'inverse de a_0 est a_0 et l'inverse de s est s car faire deux fois la symétrie axiale revient à ne rien faire**.
Rajoutons maintenant les résultats d'application d'une transformation à une autre. On peut oublier ce qui fait intervenir le neutre a_0 puisqu'il n'a aucun effet.
-Je note a_4 la rotation d'un demi-tour dans le sens des aiguilles d'une montre. a_4 = r^2. Tiens, c'est aussi la rotation d'un demi-tour dans l'autre sens, soit a_4 = (r^(-1))^2=r^(-2). On voit que a_4 est son propre inverse, comme l'est s.
-Je note a_5 la symétrie axiale d'axe horizontal: prendre le carré et le retourner par devant soi. On a a_5 = a_4 * s = r^2 * s. L'inverse de a_5 est a_5 lui-même, comme pour s ou toute symétrie axiale.
-Je note a_6 la symétrie axiale d'axe oblique nord-ouest \ sud-est: prendre le carré avec la main droite par ces deux extrémités et retourner la main. On a a_6 = s * r. Cette transformation est aussi son propre inverse. Or l'inverse et obtenu en appliquant les inverses de s et r dans l'autre sens. Comme ce sont s et r^3 respectivement, on a: s * r = r^3 * s.
-Je note a_7 la symétrie axiale d'axe oblique nord-est / sud-ouest: prendre le carré avec la main gauche par ces deux extrémités et retourner la main. On a a_7 = s * r^3. De même que pour a_6, on a s * r^3 = r * s.
Ces transformations sont donc toutes de la forme r^k * s^pk est un nombre entre 0 et 3 et p est un nombre entre 0 et 1.
On voit déjà que les inverses de ces transformations sont déjà dans la liste a_0,...,a_7. Par chance, il se trouve que les différentes applications a_i * a_j que l'on peut faire avec cette liste donnent des résultats qui sont déjà dedans, comme le montrent les tables suivantes:
Tables de groupes:

La première avec les notations [b)a_i[/b], la seconde avec les notations simplifiées, et en notant 1 à la place de a_0. Pour effectuer les calculs, on peut utiliser la règle s * r = r^3 * s donnée plus haut.:

John H. Conway Group_10

Remarque: si vous savez que G est un groupe, alors établir sa table est une sorte de Sudoku avec des indices mathématiques.

Donc ces huit transformations forment bien un groupe fini. Or si j'étais parti seulement de r ou de s, j'aurais obtenu des groupes plus petits R et S dont les éléments sont tous de la forme r^k et s^p respectivement (mêmes contraintes sur k et p). Ainsi, ce groupe, qui est appelé le groupe dihédral d'ordre hit, noté D_8, peut donc se décomposer à l'aide des deux groupes plus petits (et faciles à comprendre) R et S, respectivement à 4 et 2 éléments.

On peut aussi décomposer R davantage, car il contient (d'une manière particulière) le plus petit groupe formé des transformations a_0 et a_4.
Donc ni D_8 ni R ne sont simples, tandis que S l'est.

Un exemple de groupe fini simple de taille aussi grande que l'on veut est le suivant: on organise un concert avec un certain nombre n d'artistes musicaux (cette analogie date d'avant notre ère). On nous a donné la consigne de choisir dans quel ordre ils vont passer, sachant que chaque groupe passe une et une seule fois. Nos transformations sont les modifications du planning initial que l'on va prendre comme un planning quelconque fixé. Il peut s'agir d'inverser l'ordre dans lequel deux artistes passent, de faire passer le dernier en premier et donc de tout décaler d'un rang vers la fin, ou toute autre réorganisation imaginable. Ces trans formations sont appelées permutations de n. Je note P ce groupe. Ex si n=4 et les artistes sont Aaron, Björk, Céline Dion et David Bowie (j'ai dit que c'était avant notre ère), avec pour planning initial (A B C D). On a la permutation (A B C D) --> (C B A D) qui échange les premier et troisième artistes, et la permutation (A B C D) --> (D A B C) qui décale tout d'un rang vers la fin. Si on fait la première permutation, puis la seconde, alors on obtient la permutation (A B C D) --> (B A D C) qui n'est pas top d'un point de vue musical.
Les artistes se moquent un peu de savoir s'ils passent en premier, second, etc. Par contre, ils aiment bien savoir s'il passent après ou avant tel autre artiste, car cela joue beaucoup pour l'état du public. Cela fait qu'ils expriment un mécontentement à chaque occurrence dans le planning du fait que la permutation les fait passer après un artiste alors qu'ils devaient passer avant, ou l'inverse.
Puisque chaque mécontentement exprimé par A par rapport à sa situation vis-à-vis de B est lié à un mécontentement de B par rapport à sa situation vis-à-vis de A, il y a un nombre pair de mécontentements. Rapidement, on se rend compte que les transformations que l'on peut faire sont de deux types.
-celles, dites de type pair, qui génèrent un nombre de mécontentements qui est un multiple de 4, presque une chanson, qui plaît à entendre
-et les autres (chaos et désolation), dites de type impair.
On s'aperçoit aussi, avant de le démontrer, que si deux permutations a_i et a_j sont e type pair, alors leur inverse et a_i * a_j aussi. Ainsi l'ensemble des permutations de type pair est lui-même un groupe (deux fois) plus petit. En particulier, ce groupe noté A(n) et appelé groupe alterné (de taille n). Au fait P(n) est appelé groupe symétrique de taille n.
Il se trouve que sauf si n = 4, le groupe alterné A(n) est simple.

Classifier les groupes simples
Il y a une grande variété de groupes finis, et par définition tout groupe qui n'est pas simple peut se décomposer à l'aide de groupes qui eux sont simples. Les groupes finis simples sont donc des briques élémentaires de construction des groupes. D'où l'intérêt de les classifier.
il y a d'autres raisons pour lesquelles les groupes simples sont importants. Ils ont notamment un rôle à jouer dans l'étude des équations algébriques via la théorie de Galois, qui est à l'origine du développement de la notion de groupe.

Table périodique des groupes finis simples:

Des gens se sont amusé à proposer une table périodique des groupes finis simples inspirée de la fameuse table périodique de Mendeleiev. Dans cette table, la catégorie des groupes de type de Lie est subdivisée en diverses classes colorées de bleu à orangé. Il y a des analogies entre les propriétés des groupes et les propriétés des espèces chimiques situés dans les même zones, mais la plupart m'échappent.

John H. Conway Period10

La CDGFS est une grande aventure mathématique à laquelle ont participé de nombreux mathématiciens, soit dans la formulation progressive de la conjecture, soit dans la définition des classes de la classification, soit dans la recherche de groupes, soit dans la démonstration de l'appartenance à certaines catégories. Ainsi, Conway n'a eu comme tous les autres, qu'une petite part dans cette histoire. Mais la part de Conway est intéressante.

Que veut-on dire par classifier les groupes simples? Les ranger par classes, par famille si l'on veut, caractérisées par des propriétés communes. La classification n'est pas faîte selon un grand principe mathématique synthétique (du genre des types pair et impair des permutations), mais selon une organisation pratique qui a un sens tout aussi profond, au moins par endroits.
Il faut tout d'abord noter que si je n'ai présenté jusqu'ici que quelques groupes simples (les A(n) pour n distinct de 4, ainsi que S et R), c'est surtout par manque de temps. Depuis bien avant que la notion de groupe soit vraiment reconnue pour ce qu'elle est en mathématiques, divers domaines des maths ont produit leur lot de groupes finis simples.

Je commence tout de suite par spoiler la plus grande partie de la classification, qui ne concerne d'ailleurs pas Conway. Ce sont trois familles infinies de groupes simples finis "de la même provenance".

a) Le plus facile, ce sont les groupes comme S, qui ne contiennent qu'un élément a_1 et toutes les transformations a_i^kk est un entier positif. Puisque a_1 satisfait a_1^p = a_0 pour un certain nombre p, le groupe est fini. Pour S c'est a_1=s et p=2. Si on veut que le groupe soit simple, il faut qu'on ne puisse pas diviser p par un entier plus petit (sauf 1), car si p = k m où 1<m<p, alors on a un plus petit groupe formé des a_1^q pour q <m grâce auquel on peut décomposer notre groupe. Donc il faut que p soit un nombre premier. Pour chaque nombre premier, on a un tel groupe dont la taille est ce nombre premier. Comme transformations, on peut imaginer des rotations d'un p-ième de tour autour d'un point du plan.

b) Ensuite, il y a les groupes alternés A(n). Attention, si n<4, alors ces groupes sont en fait dans la première catégorie, donc les nouveaux sont seulement ceux pour n>4.

c) Ensuite, il y a une autre famille trop compliquée à définir de groupes dits groupes de type de Lie. On peut très approximativement les décrire comme des sous-ensembles de groupes de transformations de certaines formes géométriques qui consistent en les éléments eux-même invariants par une certaine transformation. Bon, groupes de type de Lie. Malheureusement, les exemples intéressants ne sont pas facile à présenter. J'y réfléchirai.
Alors que les deux catégories précédentes sont "simples" à décrire, celle-ci est plus vaste et peut se découper en diverses catégories. Le gros de la conjecture se trouve dans l'établissement de la carte de cette catégorie et de sa frontière avec la catégorie des groupes sporadiques (voir plus loin).

d) Le groupe de (Jacques) Tits, qui est presque un groupe de type de Lie, mais pas vraiment, donc il est parfois classé avec, parfois avec les groupes sporadiques. Je le laisse là.

Groupes sporadiques
La dernière toute petite famille (finie) de groupes est celle des groupes sporadiques. Ces groupes sont des groupes finis simples, mystérieux, plantés là, qui n'appartiennent à aucune des familles mentionnées plus haut. Il y en a vingt-six! Vingt-six groupes qui ne correspondent à aucune des familles a), b) et c) ci-dessus. On peut bien sûr les regrouper selon d'autres critères, mais ils restent sporadiques à la fois dans leur nombre et leur mystère.
Pourquoi y a-t-il de grandes familles infinies, certaines variées certaines non, puis 27 groupes qui se baladent dans la nature? Je ne sais pas. Comment a-t-on pu être sûr que le dernier des groupes sporadiques était bien le dernier? Je ne sais pas non plus malheureusement et cela serait très probablement trop compliqué à expliquer (et pour moi à comprendre). Je peux donner des idées générales:
-L'établissement d'invariants élémentaires. Un invariant pour les groupes finis simples est quelque chose qui ne change pas lorsqu'on considère différentes présentations du même groupe. Dans l'idéal, on cherche des invariants facile à manipuler (en particulier des nombres entiers, ou des booléens: oui ou non). C'est encore mieux s'ils sont efficaces dans leur faculté à distinguer les groupes pour lesquels l'invariant n'est pas le même, et aussi pour rassembler les groupes pour lesquels il est le même.
L'invariant premier est le nombre d'éléments dans le groupe, appelé ordre du groupe. Le n de l'introduction. Il ne s'agit pas de lister les groupe par leur nombre d'éléments car cela donnerait une description chaotique. Ce qui est plus intéressant est de regarder des propriétés de ce nombre (des invariants si on veut!). Par exemple il est connu depuis le début du XXième siècle que si p et q sont premiers, alors un groupe qui possède p^k * q^l éléments n'est simple que s'il est dans la première famille de la classification (voir a)). Donc être simple et en dehors de la première famille implique déjà d'avoir trois diviseurs premiers pour le nombre d'éléments du groupe.
Ensuite, il y a des choses plus compliquées comme les groupes contenus dans ce groupe et qui ne sont contenu dans aucun groupe intermédiaire, et des outils plus fins comme la table des caractères.
-La représentation. Alors que les groupes sont des objets abstraits, donnée d'un ensemble et d'une opération, il est dans leur nature de se représenter comme des groupes de transformations de certaines choses, parfois géométriques, parfois plus combinatoires. Il y a des manières, mettons qu'un groupe satisfasse une certaines propriété faisant partie d'une bonne dichotomie, de le représenter comme un groupe de transformations. De cette manière, on range ce groupe dans telle ou telle catégorie. La théorie de la représentation des groupes finis est un puissant outil pour démontrer un tas de résultats non triviaux "facilement".
Une illustration fondamentale (mais assez triviale) est qu'on peut voir tout groupe fini G=a_0,...a_n comme un sous-ensemble du groupe de permutations P(n). Pour ce-faire, on imagine qu'au lieu d'organiser un festival de musique, on organise un festival du groupe G, où chaque élément va apparaître une et une seule fois. On s'autorise comme transformation seulement celles de la forme (a_0 a_1 ... a_n) -->  (a_i * a_0  a_i * a_1  ...  a_i * a_n) où a_i est un élément quelconque de G. Donc les permutations obtenues en appliquant le même a_i quelconque sur tous les a_i. Notons a_i° cette transformation. On peut voir qu'on a (a_i * a_j)° = a_i° * a_j°. Ainsi G est la même chose que le groupe de ces permutations particulières avec l'opération naturelle.
Donc si la classification était "les groupes qui sont des sous-ensembles d'un P(n)", alors on serait vite fixé.
Il existe des théorèmes de représentation qui sous certaines conditions montrent comment un groupe peut être vu comme un type particulier de groupes de type de Lie.

Pour mesurer à quel point ce que j'écris ici est une ultra-simplification, on peut méditer sur le fait que les preuves de correction de petites lacunes dans la classification ou de vérification qu'un groupe donné est bien sporadique font parfois plus des centaines de pages.

C'est le mathématicien William Burnside, a qui on doit la première démonstration du résultat sur les nombres premiers cités dans le paragraphe précédent, qui a trouvé la formulation "groupe sporadique". C'est ainsi qu'il qualifia cinq groupes finis simples étudiés par le mathématicien Mathieu, maintenant appelés les groupes de s Mathieu (M1, M2, M3, M4 et M5). Burnside a aussi formulé une onjecture plus forte que le précédent théorème: que tout groupe simple d'ordre impair fait partie de la première catégorie. Cela signifierait qu'on peut se concentrer sur les groupes d'ordre pair. La conjecture de Burnstein a été démontrée par Walter Feit et John G. Thompson. Elle porte maintenant le nom de théorème de Feit-Thompson. Leur preuve était d'une difficulté et d'une longueur hors norme pour l'époque, et certains pensent qu'elle marque un tournant dans la pratique de la recherche mathématique.
Les travaux de Thompson et Feit laissaient entrevoir la possibilité que des groupes finis simples de certains ordres donnés (175 560) existent. A cette époque, on pense encore que les cinq groupes de Mathieu sont, avec les nouvelles catégories de groupes de type de Lie qui sont découvertes, les dernières pierres dans la classification. Mais le mathématicien (bon tous les personnages de cette histoire sont des mathématiciens) Zvonimir Janko arrive à construire un groupe fini simple d'ordre 175 560, puis un autre plus gros, puis un troisième, d'ordre 50 232 960. D'autres mathématiciens prouvèrent l'existence de puis construisirent d'autres groupes sporadiques, jusqu'à ce qu'il y en ait onze au total.

Contribution de Conway
Conway a trente et un an lorsque le onzième groupe sporadique est découvert. Au Congrès international de mathématiques, tandis que Grothendieck ne vient pas chercher sa médaille Fields pour protester contre la guerre du Vietnam, Conway discute de mathématiques avec les gens présents. Sachant qu'il s'intéresse aux groupes finis simple, John McKay lui parle alors du réseau de Leech en lui suggérant que les transformations de ce réseau pourraient être intéressantes. Disons qu'un réseau est un agencement discret et régulier de points dans un espace. Le réseau de Leech est la généralisation en 24 dimensions au réseau que l'on obtient si l'on veut disposer de boules de rayon identique de la manière la plus efficace possible (comme le font presque certains les réseaux crystallins qui ont cependant plu s de contraintes).

Petites dimensions:
En deux dimensions, le réseau optimal est le réseau hexagonal suivant:

John H. Conway Hexago10

En trois dimension, les centres des sphères occupent un réseau dont le motif indivisible est une figure à douze sommets extérieurs, sachant qu'il y a une boule au centre du solide.
John H. Conway Kissin10

En 24 dimensions, j'imagine que c'est plus compliqué. Toujours est-il que ces objets, à l'intersection entre la géométrie, l'algèbre et la combinatoire, passionnent Conway qui est très doué pour les étudier. Il se mit dont à étudier le groupe des symétries du réseau de Leech. Par symétrie, je veux dire les transformations de l'espace à 24 dimensions parmi celles qui conservent les distances (il y a une notion de distance naturelle en dimension 24), qui laissent ce réseau invariant.
Thompson lui avait dit qu'il s'intéresserait à ce réseau si Conway arrivait à les compter, autrement dit à trouver l'ordre de ce groupe. Il y parvint: 4 157 771 806 543 630 000. Autant dire que sa méthode n'était pas celle que j'ai donnée plus haut. Apprendre ce résultat suffit à faire penser à Thompson que le groupe en question devait contenir tous les groupes de Mathieu et certains autres groupes sporadiques (sans cependant pouvoir être décomposé à l'aide de ces groupes). C'était donc, si le groupe était bien un groupe sporadique, une meilleure nouvelle pour la classification que la découverte d'un groupe entièrement nouveau. Cela suggérait que les groupes sporadiques avaient une sorte d'unité, et aussi qu'on pourrait peut-être y comprendre quelque chose.
Par la suite, Bernd Fischer découvrit deux autres groupes sporadiques, encore beaucoup plus gros, à partir de constructions de type réseau de Leech. Le plus gros d'entre eux fût baptisé le Monstre en raison de sa taille que Fischer et Conway pensaient énorme. (Tous les groupes sporadiques sont dans la table périodique en premier spoiler, avec leur ordre.)
Lorsque j'écris "découvrit", cela ne veut pas dire construisit. En 1978, les 26 groupes sporadiques avaient été découverts, au sens où des arguments convaincants de leur existence avaient été trouvés, mais pour deux d'entre eux, aucun moyen de les représenter n'avait été trouvé. Il s'agissait d'un groupe sporadique découvert par Janko, et du Monstre.
Conway avait rassemblé des propriétés du Monstre dans ce qui est maintenant appelé l'Atlas des groupes finis, encore en cours de complétion en ligne. Il savait notamment que ce groupe ne pouvait pas être représenté en moins de 196 883 dimensions.
De son côté, McKay lisait un article sur la fonction modulaire, qui est un objet important en maths, lié notamment à la preuve ultérieure par Andrew Wiles du théorème marginal de Fermat. Cette fonction est liée à une suite de nombres naturels 196 884, 21 493 760,  864 229 970,...
Comment obtenir la suite? C'est simple, il suffit de prendre les dimensions en les quelles le Monstre peut être représenté, de les additionner, et d'ajouter un. Ou plutôt, c'est ce qui fonctionne pour les premiers termes, comme l'ont remarqué McKay et Thompson. Cette relation conjecturale très étrange entre des coefficients d'une fonction en analyse complexe et les dimensions de représentation du Monstre fut baptisée "clair de lune" par Conway. Avec son collègue Simon Norton, ils la tirèrent au clair sans cependant la comprendre, et sans que cela leur permette de construire le Monstre. Plus tard, des liens ont été trouvé entre certains espaces mathématiques en théorie des corde, le Monstre, et la fonction modulaire, sans non plus qu'une explication apparaisse.
Finalement, cela sera un autre mathématicien, Bob Griess, qui arrivera à construire le Monstre. Parallèlement, l'équipe de Conway construira le dernier groupe sporadique à l'aide d'outils informatiques (aujourd'hui supplanté par la main je crois).

Dans le début des années 80, au nombreux détails de corrections d'erreurs et de lacunes près (la dernière grosse lacune trouvée, en 2004), la communauté mathématique affirmait que la classification était terminée. Les 26 groupes sporadiques étaient les seuls. Il faut savoir que l'édifice est si grand qu'il est difficile de le considérer comme un simple théorème.


Je conseille à ceux que ce genre de choses intéresse de lire le livre La Symétrie ou les maths au clair de Lune de Marcus du Sautoy. Il explique comment le problème de la CDGFS peut être vu comme le parachèvement d'une quête mathématique, entre l'algèbre et la géométrie, qui s'étend l'antiquité à notre époque. C'est le meilleur livre de vulgarisation mathématique que j'aie lu, et aussi le seul.


** précision importante: une transformation est d'un point de vue mathématique la donnée de chaque point avant et après la transformation. Deux mouvements différents qui à la fin donnent pour chaque point la même modification sont considérés égaux. Ainsi, soulever un verre vide puis le reposer tel quel revient pour nous à ne rien faire.
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Message par paela le Lun 13 Avr 2020 - 21:49

@Topsy: Je crois que j'avais lu dans La Symétrie que Conway s'était beaucoup entraîné à cet exercice et qu'il était assez fier de ses capacités, au point de se penser le plus rapide au monde à pouvoir trouver le jour de la semaine d'une date donnée.
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Message par I am So Sure le Lun 13 Avr 2020 - 22:19

A ce jour, une des meilleures dissertations autour de la notion de "Pn manipulateur"  2nd degré.

C'est absolument passionnant.  Merci !
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Message par horizon artificiel le Mar 14 Avr 2020 - 9:21

Very Happy
J'avais vu le jeu de la vie dans une vidéo de science étonnante.
C'est vraiment surprenant et fascinant de voir les animations, et les noms des motifs.....

https://www.youtube.com/watch?v=S-W0NX97DB0




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Message par tim9.5 le Mer 15 Avr 2020 - 15:32

Bravo Paela pour ta présentation. Quel travail ! C'est la première fois que tu écris un tel article de qualité sur ZC ? Youpi !

Pour aider à la lecture de ton texte, je me permets de rajouter quelques éléments.

1) La notion de groupe est lié au personnage du XIXe siècle, Evariste Galois. HP avant l'heure, ayant sauté une classe puis redoublé, excellent dans les branches qui l'intéressaient, se penche alors sur les mathématiques, manuscrits perdus, théorie incomprise par les mathématiciens de l'époque, prison, mort d'un duel au pistolet pour les yeux d'une gente dame. On en a fait le prototype du mathématicien romantique incompris et génial.

2) Etudier les groupes, c'est faire "simplement" de la grammaire.
a) On part d'une phrase "les chatons sont blancs". On procède a une première abstraction : "les chatons" sont le sujet du verbe. Du moment qu'on a défini correctement les mots "sujet" et "verbe", on peut rechercher ces termes dans n'importe quelle phrase : "les fioles sont remplies",etc. (voir wiki).
b) Deuxième niveau d'abstraction : on cherche cette fois-ci les propriétés mots "sujet" et "verbe". A ce stade, on laisse de côté les phrases de départ, mais on y revient souvent pour vérifier que ça fonctionne. Exemple de propriété : "un verbe au pluriel possède un sujet au pluriel, donc on met un "s" à chatons, fioles, etc. On peut penser aussi "s" comme un invariant : si je remplace dans notre cas le sujet par il ou elle, je mets s à la fin. Le "s" de chatons se retrouve dans le "ils". Puis on cherche les exceptions : "x" dans oiseaux devient "s" dans ils. En résumé, faire de la grammaire, c'est abstraire de l'abstraction. Deuxième niveau d'abstraction.

Paela cite plusieurs groupes (premier niveau d'abstraction), dans l'ordre :

a) Les entiers relatifs (...,-4,-3,-2,-1,0, 1, 2, 3, 4 ...) avec l'opération +.
Est-ce que ça forme un groupe (premier niveau d'abstraction)? Il suffit de reprendre la définition de groupe donné au début de son texte:
i) un entier relatif + un entier relatif donne encore un entier relatif
ii) est-ce qu'il existe un entier relatif a tel que -4 + a = -4 ? Oui, c'est 0 et ça marche avec tout nombre relatif
iii) est-ce qu'il existe un entier relatif b tel que 4 + b = 4? Oui ,c'est -4 qui est aussi un nombre relatif.
iv) prenons trois nombres relatif (-2), 3 et 5. Est-ce qu'en additionnant d'abord les premiers nombres (-2) et 3, ou les deux derniers (3 et 5), le résultat reste le même? Oui (-2 + 3 )+ 5 = 1+5 = 6 = -2 +8 = -2 + (3 +5).

b) Les déplacements d'un carré sur lui-même forment un groupe. Un groupe de mouvement plus simple se trouve sur http://villemin.gerard.online.fr/Referenc/Outils/AOUTILS/GrouIntr.htm#quartavec des images.

c) le groupe des permutations (des 4 chanteurs).

Paela passe ensuite à la grammaire (les propriétés de groupe, deuxième niveau d'abstraction) : le tableau des groupes finis, avec ses propriétés et ses invariants.

En passant,
D'autres mathématiciens prouvèrent l'existence, depuis construisirent d'autres groupes sporadiques, jusqu'à ce qu'il y en ait onze au total.

C'est une phrase type du mathématicien : je sais que ça existe et je peux le prouver, mais je ne sais pas à quoi ça ressemble. Etonnant !

Troisième étape : appliquer la classification des groupes (la grammaire) dans d'autres contextes.
Un exemple frappant, en dehors de la théorie des groupes, est celui d'Emmy Noether, qui d'un théorème abstrait , permet de poser les bases solides de la physique , en "faisant le lien entre symétries et lois de la conservation" de la physique (wiki).

Dernière remarque : quand on parle de "simplicité" en math, ça signifie écrire de manière compacte comme un haïku. Les intitulés de math sont plutôt proches de la poésie, et parfois les démonstrations des romans.  Ca ne veut pas dire que c'est simple, mais élégant !

Voilà voilà.
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Message par ludion le Mer 15 Avr 2020 - 16:05

Salut tim9.5

Jolie démonstration, mais je me demande s'il n'y a pas une erreur là

iii) est-ce qu'il existe un entier relatif b tel que 4 + b = 4? Oui ,c'est -4 qui est aussi un nombre relatif.
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Message par tim9.5 le Mer 15 Avr 2020 - 16:13

Bien vu ! C'est 4 + b = 0.
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Message par Topsy Turvy le Mer 15 Avr 2020 - 16:21

J'aurais encore précisé qu'Évariste Galois est mort à ± 20 ans et demi.
Je connais pas grand chose en math, mais l'âge du décès de Galois, oui.
:rigole:

Merci pour toutes ces présentations, ça me plaît beaucoup...
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Message par Sélène-Nyx le Mer 15 Avr 2020 - 19:33


John H.Conway, j'connais pas, ni ses travaux … Crying or Very sad Normal, j'n'aime pas les sciences …

Quand à Evariste Galois, j'ai gardé le souvenir d'un jeune prodige, saint-simonien, opposant à Louis-Philippe (d'où le duel), qui, prévoyant sa mort le lendemain, avait passé sa nuit à écrire son "testament mathématique", retrouvé 10 ans après… Et qui aurait pu ne jamais être retrouvé.
Sa prémonition et a volonté à laisser une trace de ses travaux, m'ont toujours impressionnée …. (Mais je ne connais rien de ses travaux, sinon qu'ils se sont révélés d'une importance capitale …. Bien que décriés de son vivant.

"Nul n'est prophète en son pays"!
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Message par paela le Mer 15 Avr 2020 - 20:08

Merci pour les compléments tim95. J'ai hésité à mettre des illustrations d'autres exemples mais je trouvais le message déjà assez lourd. Il faudrait aussi que je corrige quelques erreurs ou typo. C'est probablement la première fois que j'écris de moi-même un truc en rapport avec les maths sur ZC, et il ne faut pas voir ça comme le début d'une longue série (mais je ferai au moins les nombres surréels ici).

@horizon artificiel: Parfait, comme ça je n'aurai pas à le faire. Je n'ai pas vu la video mais j'ai trouvé celles que j'ai vues de cette chaîne étaient très bien!

@Sélène-Nyx: Je crois que c'est une présentation qui tire un peu trop du côté de l'image du génie incompris. Les travaux de Galois n'étaient pas vraiment décriés de son vivant.
Cependant je partage ton impression. Se retrouver face au constat que sa vie serait peut-être courte, et qu'une partie de son temps devrait se retrouver consacrée à la présentation de ses idées pour la postérité... Je me demande ce comment il a vécu les jours qui ont précédé le duel.
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Message par paela le Lun 27 Avr 2020 - 23:28

Les nombres surréels maintenant. Je vais faire ça en plusieurs parties pour qu'il soit possible d'y comprendre quelque chose. La première maintenant, les autres plus tard. Je mets tout cela sous la forme images jpg car écrire des maths sur le forum est pénible et je suis beaucoup plus rapide avec les bons outils.

Nombres surréels

Les nombres surréels sont des objets mathématiques qui se comportent un peu comme les nombres réels. Plutôt que de les voir comme une généralisation des nombres réels, je préfère considérer la classe No des nombres surréels comme un terrain de jeu et d'expérimentation mathématique avec des contraintes simples: de l'ordre et de l'ordre!
Avant de parler de nombres surréels, il faut parler des nombres réels. On pourra dans la suite voir en quoi les nombres surréels sont issus d'un mariage, sous la bénédiction de Conway, des (idées de) coupures de Richard Dedekind et des ordinaux de Georg Cantor.

I - Le continuum réel par les coupures de Dedekind:
Analyse réelle:
John H. Conway Six-pa10
Continuum et absence de trous:
John H. Conway 000411
Qu'est-ce qu'un trou?:
John H. Conway 000510
Analyse avec trous:
John H. Conway Six-pa12
John H. Conway 000710
Qu'à cela ne tienne:
John H. Conway 000810

Le continuum:
John H. Conway Six-pa11
Rapport avec les nombres surréels:
John H. Conway 001010


Dernière édition par paela le Jeu 21 Mai 2020 - 12:15, édité 1 fois
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Message par Topsy Turvy le Mar 28 Avr 2020 - 0:02

C'est beau comme du LaTeX, ça doit être du LaTeX.
Faudrait vraiment que j'apprenne à utiliser ce truc.
[Si vous avez des conseils pour débutants, I'm in.]
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Message par paela le Mar 28 Avr 2020 - 0:20

Ce n'est pas du LaTeX, c'est du TeXmacs. Beaucoup plus simple à utiliser mais beaaaauucoup moins utilisé, donc moins pratique pour communiquer.

edit: Par curiosité, j'ai cherché, et oui, il y a quelques vidéos d'un créateur de TeXmacs qui présentent certaines fonctionnalités. Trois exemples plus bas pour se donner une idée.

Ecrire votre premier article avec TeXmacs:
Conversion automatique TeXmacs-> LaTeX:
Ecrire des formules mathématiques simples:


Dernière édition par paela le Mer 29 Avr 2020 - 17:51, édité 1 fois
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Message par Topsy Turvy le Mar 28 Avr 2020 - 0:42

Ah, merci, je retiens l'idée, cool !
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Message par Invité le Mar 28 Avr 2020 - 8:38

La suite, la suite... Very Happy

Spoiler:
Dans "Analyse avec trous", j'ai un peu trébuché sur le y introduit sous le graphique, que j'ai par réflexe assimilé à f(x). Du temps lointain où j'étudiais ce genre de bestioles, je crois qu'on utilisait plutôt une notation du genre x indice 0 pour fixer le centre de l'intervalle dans lequel x se baladait.
'tite coquille aussi dans le cas x inférieur ou égal à 0 avec - 11 au lieu de - 1 mais ça m'a moins titillé le neurone.

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Message par paela le Mar 28 Avr 2020 - 20:22

Merci pour tes commentaires Yop, je corrigerai quand je ferai la suite.
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Message par siamois93 le Mar 28 Avr 2020 - 21:22

Merci Paela, c'est super intéressant.
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http://taijiquan.neuronnexion.fr

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Message par tim9.5 le Mer 29 Avr 2020 - 17:11

Excellent article. Il y a un côté apaisant de lire des mathématiques. Quelques notions de bases, puis déploiement de leurs richesses, de manière calme et logique.
Bravo aussi pour ta manière de présenter l'affaire avec TeXmacs. Je retiens l'idée, quand j'aurai le courage de me lancer dans l'intrication quantique...
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Message par paela le Ven 15 Mai 2020 - 19:58

Hier j'ai rencontré Conway. On était à une conférence dans ce qui ressemblait à une salle de collège mais c'était assez lumineux donc c'était sympa. Je crois qu'on était quelque part dans la jungle. Ne faîtes pas mon analyse s'il vous plaît.
Donc je m'assois juste devant lui (mon subconscient ne l'ayant pas encore transformé en Conway) un peu avant le début du prochain exposé. Il commence à me parler des nombres surréels (!). Jusque là c'est assez réaliste. Je me rends compte que c'est John Conway avec un H au milieu mais je fais semblant de ne pas être surpris (<--réalisme). Il m'explique qu'en ce moment il se dit qu'il s'y est mal pris avec les nombres surréels, qu'en fait il faut les voir comme des jeux à trois joueurs qui à chaque partie font appels à trois coéquipiers, et ainsi de suite. En faisant, ça, on obtient une formule (qu'il écrit sur le mur tel un mathématicien de film) du genre l(x) = x+a(x) où il explique que a(x) s'interprète comme "l'aire" du nombre surréel.
Je lui dis que je m'intéresse aux nombres surréels, et il me demande de réfléchir à une généralisation avec un volume. On réfléchit un moment, et on trouve une formule du genre l(x)= x+v(x). Ne cherchez pas à comprendre c'est de la logique de rêve. On est assez content, mais c'est de courte durée car je suis violemment tiré du sommeil par mon réveil. Adieu à jamais Conway.

Voici la contribution du jour. Le prochain chapitre sur les nombres surréels sera pour la prochaine fois.
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Message par paela le Jeu 21 Mai 2020 - 12:33

Avant de parler des nombres surréels, il est utile d'en apprendre un peu sur les structures inductives, les preuves par induction, et les ordinaux. Il est possible de dire des choses intéressantes sur les surréels sans faire ce travail: la définition de Conway est en deux phrases, et il y a un livre de vulgarisation sur les surréels qui je pense ne rentre pas dans les détails.
Mais d'une part avoir une idée même basique de ce que sont les ordinaux peut quand-même aider, d'autre part la définition de Conway peut sembler "être de la triche" si on ne connait pas les structures inductives, c'est d'ailleurs volontaire de la part de Conway.

Donc bref, vous n'êtes pas obligés de comprendre ce qui suit pour comprendre les nombres surréels qui viendront après, mais si vous ne captez-pas alors, ce sera une bonne idée de revenir ici.

II - Choses inductives:
Préliminaires sur les ensembles:

John H. Conway Induc-10
Récurrence:

John H. Conway Induc-11
John H. Conway Induc-12
Ensembles bien ordonnés:

John H. Conway Induc-13
John H. Conway Induc-14
Ordinaux:

John H. Conway Induc-15
John H. Conway Induc-17
John H. Conway Induc-18
Structures inductives:

John H. Conway Induc-19
John H. Conway Induc-20
Exemples:

John H. Conway Induc-21
John H. Conway Induc-22
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Message par fift le Jeu 21 Mai 2020 - 12:56

Je poste un petit message, juste pour suivre et y revenir après parce que ça me paraît super intéressant.

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Message par tim9.5 le Sam 23 Mai 2020 - 17:23

Super paela !
J'ai quelques notes de lectures à te partager.

1) Je n'ai pas bien compris la signification de classe, il me manque un exemple concret.

2) dans "5. Structures inductives", il y a utilisation de O et de OC. J'en déduis que c'est pareil, n'est-ce pas?

3) dans "6. Exemples", le rang est de 4, et sa taille est de 11, pour la proposition non(A4 ou non(A1 ou A4)). Je ne suis pas sûr de calculer correctement le rang, quand à la taille, c'est un mystère pour moi.

Voilà voilà Wink
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Message par paela le Sam 23 Mai 2020 - 23:09

Salut tim9.5 et merci pour les notes!

1) Il n'y a pas de différence conceptuelle entre les classes et les ensembles. Dans la théorie dite naïve des ensembles, on considérait que si P(x) était un prédicat (une propriété) portant sur un truc auquel la variable x fait référence, alors il existait un ensemble dont les éléments sont les objets a qui satisfont P(a). Dans cette théorie, les classes et les ensembles sont unifiés, ou disons il n'y a pas de classe. Russell a montré que cette théorie était contradictoire, en remarquant que l'ensemble A qui correspond à la propriété P(x): "x n'appartient pas à x" posait problème. Le problème est qu'il y a équivalence entre "A appartient à A" et le contraire, c'est-à-dire "A n'appartient pas à A". Ce n'est rien d'autre que le paradoxe du menteur, du barbier, de "cette phrase est fausse", sauf qu'en maths il y a des contextes comme celui-ci où cela a un sens clair de dire "cette phrase est fausse". Heureusement depuis le paradoxe de Russell, ces contextes ont toujours demandé une hypothèse supplémentaire et les raisonnements correspondants ont servi à démonter les hypothèses en question.
Donc ensuite on a restreint cette règle prédicat --> ensemble en imposant en gros que le prédicat P(x) impose déjà que x appartient à un ensemble donné avec le prédicat. L'axiome correspondant s'appelle "axiome de compréhension" ou "axiome de séparation". Dans la théorie des ensembles normale, le raisonnement de Russell sert à montrer qu'il n'y a pas d'ensemble qui contient tous les ensembles, car sinon l'axiome de compréhension permettrait de recréer l'ensemble A de tout à l'heure. Mais on aimerait quand même parfois parler d'un "truc" qui contient tous les ensembles, en fait on aimerait bien pouvoir "un peu" parler de certains prédicats comme des objets normaux (comme des ensembles). C'est d'ailleurs cette capacité de transformer des propriétés, des abstractions ou des notions "méta" en objets basiques qui fait la puissance des mathématiques.
Donc on appelle classe le "truc" qui correspond à un prédicat, et on dit que a est dans la classe qui correspond à P(x) si P(a) est vrai.
Un autre exemple de classe qui n'est pas un ensemble est la classe Ord des ordinaux. La raison est que pour tout ordinal α, on a par définition que "α n'appartient pas à α". Si Ord était un ensemble, alors ça serait un ordinal (cela se vérifie assez facilement). On aurait donc "Ord appartient à Ord" parce que le Ord de droite contient tous les ordinaux y-compris celui de gauche, et "Ord n'appartient pas à Ord" à cause de l'argument précédent: problématique.
Un autre exemple sera la classe des nombres surréels, qui si elle était un ensemble imposerait l'existence d'un nombre surréel strictement plus grand que lui-même. Toujours le même genre de contradiction de type diagonal donc.

2) Oui j'avais noté O au début puis OC, et j'ai dû laisser traîner des O. Je corrigerai la prochaine fois.

3) Par taille ici je veux dire la longueur du mot vu comme suite de symboles: ici le nombre d'occurrences cumulées de "non", "(", ")", "A_4", "ou", et "A_1".
Pour ce qui est du calcul du rang, en général ce n'est pas facile. La technique en général est de regarder si un élément est dans I_0, si oui stopper et renvoyer 0. Sinon regarder s'il est dans I_1, si oui stopper et renvoyer 1, etc... Bien sûr le problème "regarder s'il est dans I_n" peut être impossiblement compliqué s'il n'y a d'autre méthode que de faire la liste (potentiellement infinie) des éléments de I_n.
Mais dans le cas des formules propositionnelles et de beaucoup de langages construits inductivement, il y a un truc qui fait tout fonctionner, y compris les définitions inductives. Je ne l'ai pas écrit explicitement, mais il y a un théorème de lecture ou d'écriture unique, qui dit en gros que toute formule propositionnelle est obtenue de manière unique dans la construction inductive.
On peut voir que le rang d'une formule propositionnelle se calcule inductivement avec les règles
r(non F)=1+r(F);
r((F ou G)) = 1+ max(r(F),r(G)); et
r((F et G)) = 1 + max(r(F),r(G)).
En appliquant ça à cette formule de taille onze tu obtiens 4.

Ce que je voulais dire avec ce passage c'est que si on prend un mot au hasard, il n'est pas facile en le lisant dans la longueur de savoir s'il est bien construit, et c'est encore plus difficile de donner les règles de construction des bons mots en termes de conditions données progressivement sur chaque lettre du mot. Le langage des bons parenthésages, est obtenu avec I = vide et deux opérations (sans condition) qui sont prendre un mot m et le mettre entre parenthèses (m), et prendre deux mots m et n et les concaténer en mn. C'est le langage des bonnes façons de mettre des parenthèses. Ex (()())() est un bon parenthésage qu'on peut décorer en ((1+1)x(2+3))+(3x7) si l'on veut. (()( n'en est pas un clairement.
Dans ce langage on peut savoir en lisant de gauche à droite (ou l'inverse) si un mot est bien parenthésé: s'il est vide c'est bon. Sinon il doit commencer par (. On note o le nombre de parenthèses ouvrantes en réserve et on commence avec o=1. On se déplace vers la droite, à chaque fois qu'on trouve ( on ajoute 1 à o, et à chaque fois qu'on trouve ) on retranche 1 à o. La partie est gagnée (le parenthésage est bon) si o=0 une fois arrivé à la dernière lettre du mot. Donc voilà c'est un exemple où on peut dire simplement comment reconnaître les bons et les mauvais mots.
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Message par horizon artificiel le Dim 7 Juin 2020 - 4:58

Coucou:


J'ai trouvé ce slide intéressant.
http://math.univ-lyon1.fr/~mizony/Saga_du_0_Indicible_beamer.pdf

Je voulais te demander :

1/
Pour le paradoxe de la flèche de Zénon d'Elée, ne trouves-tu pas que ce paradoxe n'en a jamais été un du fait que ce que "formalise" Zénon, c'est l'atteinte de la borne inférieure de la position du talon d'Achille ? Logique donc que la flèche n'atteigne pas le talon (puisqu'il est d'emblée formalisé comme une limite non atteignable... non ?)

2/
Pour les entiers naturels, quelle définition retiens-tu pour l'ensemble N ?
A l'origine, les entiers naturels étaient des quantités, donc des cardinaux.... et leur ensemble était naturellement bien ordonné.

Depuis il y a eu Cantor....

Pour N, est-ce que ce serait l'ensemble des ordinaux finis bien ordonnés dans l'ordre (naturel) croissant, qui (les ordinaux) représentent chacun les ensembles bien ordonnés contenant leur cardinalité d'éléments/objets, égale à leur ordinal (ordre/ordinalité ?) (contenant une quantité/nombre d'éléments égale à leur ordinal) ? Mais c'était peut-être plus facile à comprendre quand N était défini comme N*.... Les entiers naturels sont ordinaux cardinaux, mais pourrais-tu m'expliquer comment on peut dire que pour les entiers naturels, les ordinaux s'identifient aux cardinaux (et inversement) ? Ce serait mieux de dire qu'ils s'identifient à leur cardinalité, non ? Je suis gênée par la subtilité entre cardinalité et cardinal, quantité des éléments, comme "valeur", différente par ailleurs de la "valeur" des éléments contenus....
Si cardinalité = cardinal, alors pourquoi deux mots ? cardinalité = "valeur" du cardinal ? Ou cardinal = valeur de la cardinalité ? Les ordinaux s'identifient à la "valeur" de leur cardinal ou à leur cardinal qui est la valeur de leur cardinalité ? Il y a un truc que je ne saisis pas bien entre cardinalité et cardinal. Est-ce que c'est l'ordre/ordinalité qui s'identifie à la cardinalié, et donc les ordinaux aux cardinaux... Le verbe "identifier" me gêne aussi un peu sorti de l'explication par la fonction identité qui relie l'ordinal et le cardinal... Comment faut-il formuler la relation en langage correct ? Est-ce qu'il s'agit d'une identification ?

Si 0 est le nombre d'éléments de l'ensemble vide, le cardinal de l'ensemble vide est égal à 0, sa cardinalité est 0 ? c'est pareil ? Il doit bien y avoir une subtilité ?

Dans la théorie des ensemble :
  0 = {}
  1 = {0} = { {} }
  2 = {0,1} = { {}, { {} } }
 .....

Pour 1, il contient un élément qui est 0 (l'ordinal immédiatement précédent) ; son cardinal est égal à 1 et sa cardinalité est 1 ; mais l'élément contenu est le nombre/ensemble 0...
Un cardinal est un nombre (quelle définition correcte pour "nombre" ?). Le nombre ordinal 1 a un cardinal égal au nombre 1 qui "correspond" au nombre ordinal 0, contenu dans le nombre ordinal 1.
1 est ordinal cardinal (et inversement : cardinal ordinal), de même que tous les entiers naturels.

Donc la cardinalité de 1 est 1, identifiée à  l'ordre 1,
l'ordinal 1 est identifié au cardinal 1 ; il est égal à 1 ; par quel mot relie-t-on ce cardinal égal à 1 avec la "valeur/nature" de son élément 0 ?
Peut-on seulement dire que 0 "correspond" au cardinal 1 ou pas ? Que 0 "représente" le cardinal de 1 ? Je ne trouve pas le bon mot...
Le cardinal de l'ordinal 1, qui est l'ensemble qui ne contient que 0, est égal à 1.... est-ce que cette formulation est valide ; peut-on dire autrement, mieux ?
Et pour 2 = {0,1} ?

Pour l'ordinal 0 qui contient l'ensemble vide, son cardinal est égal à 0.
Intuitivement, on comprend que 0 ne contient rien, donc qu'il contient le vide, zéro élément.
C'est plus difficile d'imaginer que 1 contient 0, comme élément (et rien d'autre).
(Il y a encore des définitions de N qui ne contiennent pas 0..... Mais dans ce cas il vaut mieux préciser N*)

Questions : Quelle différence entre cardinal et cardinalité ? ordinal et ordre/ordinalité ? Une définition générale de N ?


J'aimerais bien le point de vue d'un mathématicien pour m'éclairer sur ces deux points sans entrer dans trop de complications.....

Merci d'avance.

horizon artificiel

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Message par paela le Dim 7 Juin 2020 - 12:54

nombres naturels, ordinaux, cardinaux, cardinalité:
Zénon
Le paradoxe de Zénon a connu beaucoup de résolutions plus ou moins intéressantes. Celle de Bergson remet simplement en question la nature du temps qui selon lui est phénoménologique et donc ne permet pas le découpage que fait Zénon. Elle renvoie le paradoxe dans le recoin de la modélisation mathématique ou physique du temps. Côté mathématiques, si on pose le problème en précisant ce que sont les intervalles de Zénon, ce que signifie atteindre la tortue et comment se calcule la position d'Achille à travers le temps, cela devient un problème d'extension mathématique de la situation à une infinité d'intervalle, et ce problème est résolu par la définition de limite et le calcul d'une somme infinie. Côté physique, on peut se demander si cela a du sens ou pas de permettre de découper le temps à l'infini et surtout si c'est pratique. Si oui, alors on peut se demander quels outils mathématiques on utilise pour faire ce genre de chose, et la réponse est toute trouvée.
Il me semble donc que ce paradoxe n'est "plus d'actualité" en tant que paradoxe de nos jours.

Nombres naturels
Il y a plusieurs définitions équivalentes dans le contexte usuel en mathématiques, donc pour moi la question de celle que je retiens est soit purement esthétique, soit pédagogique si je dois l'introduire à des élèves.
Le plus simple si on n'a pas envie de parler d'ordinaux est de dire que c'est le plus petit ensemble qui contient 0 et qui est stable par l'opération successeur n |-->S(n). Mais alors il faut justifier l'existence. C'est aussi le plus petit ordinal infini ou encore le plus petit ordinal limite non nul, ou encore l'ensemble des ordinaux finis.
J'appelle nombre naturel un ordinal fini non nul, par irrespect pour l'épopée du zéro en mathématiques, mais je considère N comme l'ensemble de tous les ordinaux finis y-compris zéro; que j'appelle en général entiers positifs. Je dirais que la plupart des mathématiciens considèrent que les nombres naturels incluent zéro, mais que si tu veux te faire passer pour un profond philosophe, c'est mieux de faire semblant d'accorder beaucoup d'importance à la distinction.

Ordinaux
Cantor définissait les ordinaux comme les structures d'ordre des ensembles bien ordonnés en faisant abstraction de leur continu. En gros pour Cantor l'ordinal 1 est l'idée derrière un ensemble bien ordonné à un seul élément. Peu importe ce qu'est cet élément, qu'il soit 0 ou la fonction sinus.
C'est von Neumann qui a appelé ordinaux ce que j'ai défini dans le message d'avant: des ensembles bien ordonnés bien particuliers qui suffisent à décrire tous les ensemble bien ordonnés. C'est donc un moyen d'attribuer à chaque structure d'ordre d'ensemble ordonné une étiquette unique.  Là le seul ordinal à un élément est 1, et cet élément est 0.

Cardinaux et cardinalité
C'est la même chose pour les cardinaux et la cardinalité. Cantor définissait le cardinal comme "l'idée" du nombre d'éléments d'un ensemble*, tandis que von Neumann a défini les cardinaux (ou nombres cardinaux) comme des ordinaux qui sont des étiquettes uniques pour chaque cardinalité. Par exemple les ordinaux finis sont des cardinaux, et omega est un cardinal.
On a gardé le terme cardinalité pour désigner le cardinal selon Cantor, et on utilise cardinal pour désigner les cardinaux de von Neumann.
*on dit que deux ensembles A, B sont équipotents s'il existe une fonction f: A -->B telle que pour tout élément b dans B, il existe un unique élément a dans A tel que b=f(a). Ainsi B est "la même chose que A" sauf que chaque élément a de A est remplacé par f(a). On dit que deux ensembles équipotents ont la même cardinalité. La cardinalité d'un ensemble donné est l'idée d'être équipotent à cet ensemble; tout comme le rapport 1/2 est un type de relation entre 1 et 2 (1 est à 2 ce que 3 est à 6: même relation qui est le rapport 1/2 ou encore 3/6).
Par exemple on dit que l'ensemble des suites d'entiers et l'ensemble des nombres réels ont la même cardinalité mais ces ensembles en eux mêmes ne sont pas des nombres cardinaux.
Ensuite, le cardinal d'un ensemble c'est l'unique nombre cardinal qui a le même nombre d'éléments que cet ensemble. Par exemple l'ordinal omega+1 a le même nombre d'éléments que omega. En effet je rappelle que omega+1 contient tous les entiers positifs ainsi que l'ordinal omega. On peut prendre la fonction f: omega+1 --> omega qui envoie l'élément omega de omega+1 sur 0 et qui envoie chaque entier positif n dans omega+1 sur n+1 dans omega. Donc le cardinal de omega+1 est omega.

Bilan
N=omega est un nombre ordinal, un nombre cardinal.
Les cardinaux sont des ordinaux particuliers.
Le cardinal d'un ensemble est un nombre cardinal.
La cardinalité d'un ensemble est l'idée du nombre d'éléments dans cet ensemble, ou si l'on veut c'est la classe des ensembles équipotents avec lui.
Le cardinal d'un nombre cardinal, y compris 0; 1; 2; ... et omega, est ce nombre cardinal lui-même.

Enfin tout cela est de l'ordre du détail et de la convention. On peut si l'on veut définir N autrement, distinguer omega de N, distinguer artificiellement les cardinaux des ordinaux...

Je me suis dit qu'il valait mieux que j'explique "sans tenir compte de tes questions" pour que ça soit plus clair; j'espère que ça a fonctionné. Merci pour le lien je vais regarder ça.
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Message par horizon artificiel le Lun 8 Juin 2020 - 0:55

Encore besoin de quelques précisions....:

paela a écrit:Zénon
Le paradoxe de Zénon a connu beaucoup de résolutions plus ou moins intéressantes. Celle de Bergson remet simplement en question la nature du temps qui selon lui est phénoménologique et donc ne permet pas le découpage que fait Zénon. Elle renvoie le paradoxe dans le recoin de la modélisation mathématique ou physique du temps. Côté mathématiques, si on pose le problème en précisant ce que sont les intervalles de Zénon, ce que signifie atteindre la tortue et comment se calcule la position d'Achille à travers le temps, cela devient un problème d'extension mathématique de la situation à une infinité d'intervalle, et ce problème est résolu par la définition de limite et le calcul d'une somme infinie. Côté physique, on peut se demander si cela a du sens ou pas de permettre de découper le temps à l'infini et surtout si c'est pratique. Si oui, alors on peut se demander quels outils mathématiques on utilise pour faire ce genre de chose, et la réponse est toute trouvée.
Il me semble donc que ce paradoxe n'est "plus d'actualité" en tant que paradoxe de nos jours.


Oui je sais que le paradoxe n’est plus d’actualité. Ce que je voulais dire c’est que je ne comprends pas bien pourquoi c’était un paradoxe. Qu’est-ce qui était paradoxal ? le fait de trouver que la flèche n’atteint jamais le talon d’Achille, et le lièvre la tortue, ou le fait de poser le paradoxe dans la « formalisation » de l’expérience de pensée ?

Si on réfléchit sur la position/instant où la flèche va atteindre la dernière position/instant du talon, à un moment où Achille a déjà quitté cette place, pas étonnant que la flèche n’atteigne jamais le talon…
Donc est-ce que c’est la façon de formaliser l’expérience de pensée qui est paradoxale ou est-ce que c’est l’impossibilité de résoudre l’expérience de pensée dans sa formalisation par Zenon ?

paela a écrit:
Nombres naturels
Il y a plusieurs définitions équivalentes dans le contexte usuel en mathématiques, donc pour moi la question de celle que je retiens est soit purement esthétique, soit pédagogique si je dois l'introduire à des élèves.
Le plus simple si on n'a pas envie de parler d'ordinaux est de dire que c'est le plus petit ensemble qui contient 0 et qui est stable par l'opération successeur n |-->S(n). Mais alors il faut justifier l'existence.

C'est aussi le plus petit ordinal infini ou encore le plus petit ordinal limite non nul, ou encore l'ensemble des ordinaux finis.

Oui, je voulais rester dans le vocabulaire des ordinaux finis ; c’est pourquoi je n’ai pas parlé d’aleph et d’omega.
D’ailleurs, puisque tu en parles dans la suite, concernant l’infini et les infinis, oméga est un nombre ordinal infini et un ensemble infini, alors que ∞ est une limite infinie (si j’ai bien compris). Y a-t-il d’autres différences ?
paela a écrit:
J'appelle nombre naturel un ordinal fini non nul, par irrespect pour l'épopée du zéro en mathématiques, mais je considère N comme l'ensemble de tous les ordinaux finis y-compris zéro; que j'appelle en général entiers positifs. Je dirais que la plupart des mathématiciens considèrent que les nombres naturels incluent zéro, mais que si tu veux te faire passer pour un profond philosophe, c'est mieux de faire semblant d'accorder beaucoup d'importance à la distinction.

Je te rassure que je ne souhaite pas me faire passer pour une profonde philosophe. Simplement j’ai constaté que sur plusieurs fora de matheux, l’appartenance de 0 à N est malgré tout souvent abordée et j’ai vu des discussions/exercices où par exemple l’ensemble des 10 premiers entiers naturels reprenait ceux de 1 à 10 ; ça m'avait étonnée, vu qu'on annonçait travailler dans N.
paela a écrit:
Ordinaux
Cantor définissait les ordinaux comme les structures d'ordre des ensembles bien ordonnés en faisant abstraction de leur continu. En gros pour Cantor l'ordinal 1 est l'idée derrière un ensemble bien ordonné à un seul élément. Peu importe ce qu'est cet élément, qu'il soit 0 ou la fonction sinus.
C'est von Neumann qui a appelé ordinaux ce que j'ai défini dans le message d'avant: des ensembles bien ordonnés bien particuliers qui suffisent à décrire tous les ensemble bien ordonnés. C'est donc un moyen d'attribuer à chaque structure d'ordre d'ensemble ordonné une étiquette unique.  Là le seul ordinal à un élément est 1, et cet élément est 0.

Donc l’ordinal est l’idée derrière un ensemble bien ordonné contenant un certain nombre d’éléments. N’y a-t-il pas de considération de rang/ordre ? Je crois qu'en écrivant vite tu as oublié d'écrire "une idée d'ordre".
L'ordinal est l'idée d'ordre derrière un ensemble bien ordonné contenant un certain nombre d'éléments (pourtant l'ordinal 0 ne contient pas d'élément mais je comprends que l'ordinal est "une idée d'ordre").
Dire que l’ensemble est bien ordonné suffit-il à décrire un ordinal, par sa cardinalité ?

Cantor devait donc dire que l’ordinal 1 est l’idée d'ordre derrière un ensemble bien ordonné de cardinalité1 (à un seul élément), ou non ?
paela a écrit:
Cardinaux et cardinalité
C'est la même chose pour les cardinaux et la cardinalité. Cantor définissait le cardinal comme "l'idée" du nombre d'éléments d'un ensemble*, tandis que von Neumann a défini les cardinaux (ou nombres cardinaux) comme des ordinaux qui sont des étiquettes uniques pour chaque cardinalité. Par exemple les ordinaux finis sont des cardinaux, et omega est un cardinal.
On a gardé le terme cardinalité pour désigner le cardinal selon Cantor, et on utilise cardinal pour désigner les cardinaux de von Neumann.


*on dit que deux ensembles A, B sont équipotents s'il existe une fonction f: A -->B telle que pour tout élément b dans B, il existe un unique élément a dans A tel que b=f(a). Ainsi B est "la même chose que A" sauf que chaque élément a de A est remplacé par f(a). On dit que deux ensembles équipotents ont la même cardinalité. La cardinalité d'un ensemble donné est l'idée d'être équipotent à cet ensemble; tout comme le rapport 1/2 est un type de relation entre 1 et 2 (1 est à 2 ce que 3 est à 6: même relation qui est le rapport 1/2 ou encore 3/6).
Par exemple on dit que l'ensemble des suites d'entiers et l'ensemble des nombres réels ont la même cardinalité mais ces ensembles en eux mêmes ne sont pas des nombres cardinaux.
Ensuite, le cardinal d'un ensemble c'est l'unique nombre cardinal qui a le même nombre d'éléments que cet ensemble. Par exemple l'ordinal omega+1 a le même nombre d'éléments que omega. En effet je rappelle que omega+1 contient tous les entiers positifs ainsi que l'ordinal omega. On peut prendre la fonction f: omega+1 --> omega qui envoie l'élément omega de omega+1 sur 0 et qui envoie chaque entier positif n dans omega+1 sur n+1 dans omega. Donc le cardinal de omega+1 est omega.


Donc la cardinalité (selon Cantor) est l’idée du nombre d’éléments d’un ensemble.
Et le cardinal (selon Von Neumann) est l’image d’un ordinal par une bijection. (ordre/rang <-> quantité d’éléments)

Merci d'avoir éclairé cette subtilité. J'espère que j'ai bien compris.

Tu as rappelé que N est le plus petit ordinal infini ou encore le plus petit ordinal limite non nul, ou encore l'ensemble des ordinaux finis.

Oui, j'avais compris que Oméga est le plus petit ordinal infini, il est aussi cardinal infini. Les ordinaux strictement inférieurs à ω sont donc les entiers naturels.
Aleph-zéro (ℵ0) est est le plus petit aleph et est le cardinal infini de l'ensemble des entiers naturels, ensemble infini dénombrable.
Aleph-zéro = oméga

Mon problème est plus un problème de formulation qu'un problème de compréhension. (enfin j'espère)

paela a écrit:
Bilan
N=omega est un nombre ordinal, un nombre cardinal.
Les cardinaux sont des ordinaux particuliers.
Le cardinal d'un ensemble est un nombre cardinal.
La cardinalité d'un ensemble est l'idée du nombre d'éléments dans cet ensemble, ou si l'on veut c'est la classe des ensembles équipotents avec lui.
Le cardinal d'un nombre cardinal, y compris 0; 1; 2; ... et omega, est ce nombre cardinal lui-même.

Ok j’ai bien compris tout ça.
paela a écrit:
Enfin tout cela est de l'ordre du détail et de la convention. On peut si l'on veut définir N autrement, distinguer omega de N, distinguer artificiellement les cardinaux des ordinaux...

Donc je retiens que les entiers naturels sont ordinaux cardinaux et qu’il est artificiel de distinguer l’ordinal du cardinal.
paela a écrit:
Je me suis dit qu'il valait mieux que j'explique "sans tenir compte de tes questions" pour que ça soit plus clair; j'espère que ça a fonctionné. Merci pour le lien je vais regarder ça.

Donc le verbe identifier qu’on retrouve souvent pour ne pas séparer les ordinaux et les cardinaux a-t-il le sens mathématique de relier des ensembles équipotents ? Est-ce que l’identification est un mot du vocabulaire mathématique ?

Je reprends quelques une de mes questions :

l'ordinal 1 est identifié au cardinal 1 ; il est égal à 1 ; par quel mot relie-t-on ce cardinal égal à 1 avec la "valeur/nature" de son élément 0 ?
Peut-on seulement dire que 0 "correspond" au cardinal 1 ou pas ? Que 0 "représente" le cardinal de 1 ? Je ne trouve pas le bon mot...
Le cardinal de l'ordinal 1, qui est l'ensemble qui ne contient que 0, est égal à 1.... est-ce que cette formulation est valide ; peut-on dire autrement, mieux ?
Suffit-il de dire que l’ordinal cardinal 1 contient un élément qui est zéro ?
Et pour 2 = {0,1} ?
Dit-on simplement que l’ordinal cardinal 2 contient deux éléments qui sont 0 et 1 ?
Ou dit-on simplement que 0 et 1 sont les deux éléments contenus dans le cardinal de l’ordinal 1 ?


Pourrais-tu m'éclairer encore un peu plus ?
Merci beaucoup.


Sinon je viens d'apprendre que le signe égal est apparu pour la première fois au début du XVI Siècle sous la plume d'un gallois, Robert RECORDE. En 1557, il édite un ouvrage sur l’algèbre Whetstone of Witte. A l'époque, il fallait écrire en toutes lettres "est égal à ", RECORDE remplace cette écriture par 2 traits horizontaux car "ce sont deux lignes jumelles, et rien n’est plus pareil que deux jumeaux."

Le signe égal se place entre deux « objets jumeaux »

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Message par paela le Ven 12 Juin 2020 - 13:50

Spoiler:
Pour Zénon, je me suis toujours dit que le problème était l'idée qu'il y ait une infinité de moments où Achille est sain et sauf. Mais peut-être que c'est plus subtil que ça.

Le symbole oo a peu de rapport avec omega et N, on le voit en général comme un symbole plutôt qu'un objet mathématique d'ailleurs. C'est parfois l'idée d'un horizon ou d'une limite oui. Mais c'est juste une façon de parler, cela dépend du contexte.

Simplement j’ai constaté que sur plusieurs fora de matheux, l’appartenance de 0 à N est malgré tout souvent abordée et j’ai vu des discussions/exercices où par exemple l’ensemble des 10 premiers entiers naturels reprenait ceux de 1 à 10 ; ça m'avait étonnée, vu qu'on annonçait travailler dans N.

Il y a des gens qui travaillent souvent avec l'ensemble {1;2;3;...} et le notent donc N, d'autres qui travaillent souvent avec {0;1;2;...} (et éventuellement l'autre) et donc notent cet ensemble N. Certains pour qui le cas n=0 est exclus (par exemple qui ne considèrent pas l'ensemble vide dans ce qu'ils font), et d'autres pour qui il est important.

Dire que l’ensemble est bien ordonné suffit-il à décrire un ordinal, par sa cardinalité ?

Cantor devait donc dire que l’ordinal 1 est l’idée d'ordre derrière un ensemble bien ordonné de cardinalité1 (à un seul élément), ou non ?

Je ne vois pas ce que la première question signifie. Si un ensemble est bien ordonné, il y a un unique ordinal qui lui correspond. Mais cet ordinal n'est pas forcément un cardinal. Par exemple pour N : N dans mon message plus haut, l'ordinal correspondant est omega.2 qui n'est pas un cardinal.
Deuxième question: oui je crois. En vrai il faudrait lire ce qu'a écrit Cantor pour vérifier.

Donc la cardinalité (selon Cantor) est l’idée du nombre d’éléments d’un ensemble.
Et le cardinal (selon Von Neumann) est l’image d’un ordinal par une bijection. (ordre/rang <-> quantité d’éléments)
Pour être plus précis et vraiment définir le cardinal:
-un nombre cardinal est un nombre ordinal qui n'est équipotent à aucun de ses éléments. Par exemple les ordinaux finis sont des cardinaux - preuve rapide par induction: 0 n'a pas d'élément donc c'est un cardinal, par vacuité. Si n est un cardinal, alors S(n) n'est pas équipotent à un de ses éléments (sinon on en déduirait que n est équipotent à un de ses éléments), donc S(n) est un cardinal. On en déduit que tout élément de N est un cardinal. Le nombre omega est un cardinal "parce que ses éléments sont finis" donc il ne peut pas leur être équipotent. Les autres cardinaux ne peuvent pas vraiment être décrits, d'ailleurs omega non plus en un certain sens car il faut se représenter l'infini.
-le cardinal d'un ensemble est l'unique nombre cardinal auquel cet ensemble est équipotent.

Donc je retiens que les entiers naturels sont ordinaux cardinaux et qu’il est artificiel de distinguer l’ordinal du cardinal.
Oui au sens où cardinaux sont des ordinaux; mais certains ordinaux ne sont pas des cardinaux.

Donc le verbe identifier qu’on retrouve souvent pour ne pas séparer les ordinaux et les cardinaux a-t-il le sens mathématique de relier des ensembles équipotents ? Est-ce que l’identification est un mot du vocabulaire mathématique ?

Identifier est plutôt un mot du langage courant pour dire "on ne va pas se fatiguer à faire la distinction". Mais parfois identifier veut dire "passer au quotient", voir Relations d'équivalence sur Wikipedia.


l'ordinal 1 est identifié au cardinal 1 ; il est égal à 1 ; par quel mot relie-t-on ce cardinal égal à 1 avec la "valeur/nature" de son élément 0 ?
Peut-on seulement dire que 0 "correspond" au cardinal 1 ou pas ? Que 0 "représente" le cardinal de 1 ? Je ne trouve pas le bon mot...
Le cardinal de l'ordinal 1, qui est l'ensemble qui ne contient que 0, est égal à 1.... est-ce que cette formulation est valide ; peut-on dire autrement, mieux ?
Suffit-il de dire que l’ordinal cardinal 1 contient un élément qui est zéro ?
Et pour 2 = {0,1} ?
Dit-on simplement que l’ordinal cardinal 2 contient deux éléments qui sont 0 et 1 ?
Ou dit-on simplement que 0 et 1 sont les deux éléments contenus dans le cardinal de l’ordinal 1 ?
L'ordinal 1 est le cardinal 1 (c'est pour ça qu'on les note pareil ^^). On ne dit pas que zéro correspond, représente ou quoi que ce soit en rapport avec 1. Zéro est l'unique élément de 1, c'est aussi le prédécesseur de 1 (au sens où 1 est son successeur). De même 1 est le prédécesseur de 2 et donc son plus grand élément, et oui comme tu dis 0 et 1 sont les deux éléments de 2.

Ma réponse est un peu sèche mais c'est simplement parce qu'il n'y a rien de profond derrière tout ça, ce sont juste des conventions certes pratiques mais que l'on pourrait aussi changer sans que cela soit catastrophique.
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Message par horizon artificiel le Ven 12 Juin 2020 - 15:09

Il n'y a rien de sec dans ta réponse.
Ce sont des précisions de vocabulaire dont j'avais besoin pour bien classer tout ça dans ma tête.
Ce que je vais donc pouvoir faire
Je te remercie Very Happy

horizon artificiel

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Message par paela le Jeu 15 Oct 2020 - 20:26

Les nombres surréels pour conclure ces présentations.

III - Nombres surréels:
Définition de Conway:
John H. Conway 1_nomb11
John H. Conway 1_nomb12
John H. Conway 1_nomb10
John H. Conway 1_nomb13
Suites de signes:
John H. Conway 2_nomb10
John H. Conway 3_nomb10
Ajouter et multiplier des nombres surréels:
John H. Conway 4_nomb10
John H. Conway 4_nomb11
John H. Conway 5_nomb10
Nombres réels et ordinaux:
John H. Conway 6_nomb11
John H. Conway 6_nomb10
Nombres en tant que fonctions:
John H. Conway 7_nomb10

Il y a un bouquin de Donald Knuth (qui a inventé le nom "nombre surréel" alors que Conway parlait seulement de nombres), qui présente de manière romancée et vulgarisée (plutôt romancée que vulgarisée) la découverte des nombres surréels par deux étudiants sur une île je crois. Je ne l'ai pas lu mais ça a l'air bien et a priori facile à lire. Il s'appelle Surreal Numbers: How Two Ex-students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness : a Mathematical Novelette et ça existe en français.
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