Visualiser l'intersection de deux cylindres

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Message par Invité le Ven 18 Mai 2018 - 23:54

Bonsoir,
Une question de géométrie dans l'espace dont l'énoncé est très simple mais la réponse pas si évidente.
Pouvez-vous décrire le solide formé par l'intersection à 90 degrés de deux cylindres strictement identiques ?
Rem : on imagine évidemment que l'on peut fusionner ces deux cylindres.
Ainsi, la même question avec deux poutres a pour réponse le cube.
Pour décrire la solution attendue, vous pouvez indiquer le nombre de sommets, le nombre de faces et d'arêtes.
Le temps mis pour trouver m'intéresse aussi.
Bon courage,
Nicolas

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Message par ortolan le Sam 19 Mai 2018 - 0:42

Pour moi, à première vue (visualisation), ça ressemblerait au croisillon d'une voûte de cathédrale avec quatre côtes partant du centre soit deux demi-cercles avec un angle de 90° entre chaque et bien sûr la même chose en dessous, soit deux cercles complets à 45° de part et d'autre si on se place dans l'axe d'un des cylindres (je me représente des tubes mais creux ou plein ça revient au même). Pour compléter la figure, il reste 4 cônes avec un angle de 45° à partir de l'axe (un peu comme la tête d'une fraise) qui se terminent chacun par 4 cercles qui constituent les faces extérieures si on ne s'intéresse qu'à l'intersection ou se prolongent par le reste des cylindres.

Temps mis ~10 minutes de rédaction pour une minute de réflexion.


Dernière édition par ortolan le Sam 19 Mai 2018 - 0:54, édité 1 fois
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Message par holokian le Sam 19 Mai 2018 - 0:50

Houla, compliqué à expliquer ce que j'ai dans la tête... Je vois 4 faces et 4 arêtes (bien qu'elles s'alignent 2 à 2, on pourrait dire 2 arêtes).

EDIT : ah et j'ai oublié le nombre de sommets. C'est 2.
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Message par Invité le Sam 19 Mai 2018 - 10:45

2 elipses qui se coupent a angle droit en 2 sommets sur leur plus petit diametre, formant 4 faces courbes, et 4 demi elipses egales entre elles.
Vu de dessus, on voit un carré,
Vu de face et de coté, on voit un cercle
vu a 45 degres entre la face et le coté, on voit une elipse.
le volume est unne forme de coussin.
Temps mis pour trouver : celui de lire l'énoncé.

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Message par Invité le Sam 19 Mai 2018 - 11:06

Merci pour ces premières réponses.

En plus de la difficulté à visualiser, il y a la difficulté à trouver les mots pour en donner une description  Very Happy  

Vous pouvez vérifier votre réponse
Spoiler:
en cherchant le solide de Steinmetz sur Google !

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Message par holokian le Sam 19 Mai 2018 - 14:30

Nicolas_72, c'est exactement ce que je me représentais. Merci d'avoir mis un nom dessus Smile
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Message par Invité le Sam 19 Mai 2018 - 23:25

Bien joué en tout cas !

Pour ma part, pour y arriver le jour où je me suis posé la question, j'ai dû colorer mentalement les deux cylindres (un bleu et un rouge) pour voir distinctement ce solide à l'intersection.

Pour les sommets
Spoiler:
j'ai vu rapidement le point le plus haut comme un "pôle nord" puis son symétrique le "pôle sud"
.

Pour les faces
Spoiler:
c'est comme un ballon de basket sur lequel on appuierait à 2 * 2 mains, une "bleu" et une "rouge"

Pour les arêtes, c'est lié aux faces et aux sommets donc c'est implicite.

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Message par Invité le Sam 19 Mai 2018 - 23:28

Pour moi, il suffit d'imaginer un tube dans lequel on découpe un rond, rien de plus.

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Message par Invité le Sam 19 Mai 2018 - 23:35

Intéressant et logique. Mais moi, ça ne me suffit pas. Ça ne génère pas une image complète de qualité.
Je vois mal les faces en faisant ainsi.

Attendons de voir comment font les autres participants...

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Message par holokian le Sam 19 Mai 2018 - 23:42

J'imagine un cylindre et le cylindre perpendiculaire dans ma tête, avec la "coupure" que ça donne. Pour moi, ce n'est que de la manipulation 3D dans ma tête.
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Message par Asperzebre le Sam 26 Mai 2018 - 13:16

Après avoir réfléchi quelques secondes, j'aurais tendance à répondre une sphère.

J'ai tenté de vérifier mon idée par la visualisation, mais je suis incapable de visualiser des figures (déjà en 2D c'est costaud, alors la 3D c'est même pas la peine).

Par contre, je 'visualise' des mouvements (en 2D, mais j'arrive à conceptualiser pour la 3D en faisant de la fausse 3D, comme si je faisais de la fausse 3D sur une feuille de papier), et si on prend une sphère, qu'on la fait aller en ligne droite, et qu'on prend un tronçon de sa trajectoire, ce tronçon est un cylindre.

En fait, en prenant le problème dans le sens inverse, à savoir qu'on part de deux sphères superposées, qu'on déplace l'une horizontalement et l'autre verticalement, on obtient l'énoncé de base: deux cylindres se croisant perpendiculairement.
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Message par Pieyre le Sam 26 Mai 2018 - 14:02

Je me représentais assez bien le volume de Steinmetz (pourquoi parler de solide pour un volume ?) mais je me l'imaginais moins trapu qu'une sphère, alors qu'il l'est davantage. C'est-à-dire que, si je voyais les quatre faces, les quatre arêtes se rejoignaient selon moi en un sommet pointu. Si on considère les deux ellipses qui constituent ses arêtes, il est pourtant évident que le volume devait être un peu ventru et ses pôles comme aplatis par des plans qui l'auraient comprimé.

Pourquoi cette erreur ? Je dirais que le cylindre est un volume d'aspect moins boursouflé que la sphère; aussi que l'intersection de deux cylindres devait l'être encore moins. Par ailleurs, n'y a-t-il pas des fruits à coque qui ont un peu cette forme mais avec des pointes ? Non, peut-être que je me trompe.

Et si je remonte un peu plus loin dans mes souvenirs, je m'étais posé la question étant adolescent et je m'étais dit que l'intersection pourrait bien être une sphère (même si je devais considérer trois cylindres, pour des raisons de symétrie). Là, l'erreur était compréhensible, du fait d'attendre une forme simple. Il me semble pourtant m'être dit que ça ne pouvait pas coller, parce que les directions droites des cylindres devaient bien rester quelque part... En effet, il faudrait intersecter un nombre infini de cylindres pour obtenir une sphère, ce qu'on imagine très bien si l'on considère un cube de bois que l'on arrondirait à la lime dans toutes les directions.


Dernière édition par Pieyre le Sam 26 Mai 2018 - 14:22, édité 1 fois

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Message par Asperzebre le Sam 26 Mai 2018 - 14:21

Je ne suis pas vraiment surpris que ma sphère soit une mauvaise réponse, ça aurait été trop simple.

Par contre, je reste sur mon raisonnement: deux sphères superposées qui se déplacent, l'une horizontalement, l'autre verticalement, en laissant derrière elles la trace de leur passage, donnent deux cylindres qui se croisent perpendiculairement.
La sphère à laquelle je pensais est donc entièrement incluse dans l'intersection (pour répondre à Pieyre: le volume de Steinmetz ne peut donc pas être moins trapu que la sphère).

Toujours selon mon raisonnement basé sur deux sphères qui se déplacent, je pense qu'en début de déplacement (quand les sphères sont encore semi-imbriquées), la sphère qui va verticalement passe par des points situés dans le cylindre horizontal, et la sphère se déplaçant horizontalement passe par des points situés dans le cylindre vertical, d'où le fait que la sphère ne soit pas la bonne réponse.
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Message par Pieyre le Sam 26 Mai 2018 - 14:36

Tu as raison : la sphère est incluse dans l'intersection. Mais, comme je l'indiquais, avec trois cylindres orthogonaux on se rapprocherait davantage de la sphère, et il en faudrait un nombre infini pour la façonner complètement.

Pour raisonner comme toi de façon inverse, il faudrait considérer cette sphère en un point fixe et tracer toutes les directions de l'espace qui passent par ce point où elle pourrait se déplacer en ligne droite, d'où une infinité de cylindres possibles. Je ne sais pas si tu te représentes bien la chose...

Par ailleurs, pour répondre complètement à Nicolas, il ne m'a fallu que quelques secondes pour me représenter la figure. Mais c'est normal : je m'étais déjà posé la question auparavant.

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