L'énigme des 100 nains

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Message par Mister_Seven Sam 23 Juil 2016 - 23:40

Bonjour à tous ! Cette énigme relativement peu connue selon moi, contrairement à celles d'Einstein ou de l'anniversaire de je ne sais plus qui, m'a été proposée par un cousin mais il ne m'a jamais donné la réponse et je crois l'avoir trouvée. On verra avec vos propres réponses !

Un ogre capture 100 nains qu'il enferme dans sa grotte. Il leur dit alors :"Mes chers nains, sachez que je vous ai capturés pour vous manger au petit matin. Cependant, je vous laisse à tous une chance de vous en sortir : avant de vous manger, je vous disposerai tous au hasard, en file indienne droite et tous tournés dans la même direction. Puis je disposerai sur chacune de vos têtes un chapeau au hasard, de couleur blanche ou noire, sans qu'il n'y ait de répartition particulière des couleurs parmi les 100 chapeaux utilisés. Un par un, en commençant par le dernier de la file, chacun va me dire une couleur, "blanc", ou "noir". Si la couleur correspond à celle de son chapeau, je lui rend la liberté ; mais si la couleur ne correspond pas, je le dévore. Puis c'est au nain placé juste devant lui de se prononcer à son tour, et ainsi de suite jusqu'au dernier."

Les nains ont la nuit pour se concerter d'une méthode qui sauvera le plus de nains possibles. Pendant l'interrogation, il leur est uniquement permis de dire "blanc" ou "noir", il leur est interdit de communiquer par une autre manière, que ce soit en se touchant, en bougeant de leur emplacement ou en se retournant.

Question 1 : combien de nains peuvent être sauvés au maximum ?
Question 2 : quelle est la méthode qui le permet ?

Je ramasse les copies dans... trois tic et deux tac !
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Message par Lilotte Dim 24 Juil 2016 - 0:41

Q1 : 100 - Q2 : chaque nain est verni est trouve sa couleur.
Q1 : au minimum 50 - Q2 les nains pairs donnent la couleur du chapeau de devant et impair la couleur que le gus derrière bouffé ou pas a donné.

Après on ne sait pas dans l'énoncé ce que voient chaque nains, la couleur du chapeau devant et comme font ils pour ne pas voir la couleur de leur chapeau ?

Je continue ma réflexion, "ou en se retournant" me pose question à quoi ça servirait qu'il se retourne Basketball
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Message par Mister_Seven Dim 24 Juil 2016 - 0:46

Mea culpa, j'aurais dû mieux formuler... Combien de nains peuvent être sauvés à coup sûr ?

Ta méthode de pair et impair est pour le moins... originale :p mais 50 n'est pas la bonne réponse.

Comme dit dans l'énoncé le premier nain voit le deuxième placé juste devant lui et la couleur du chapeau sur sa tête, mais pas son propre chapeau. Le deuxième voit le troisième, etc... et le dernier ne voit personne devant lui.
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Message par Hakaan Dim 24 Juil 2016 - 1:07

Spoiler:
je dirais le premier nain donne la couleur du chapeau devant lui, le 2ième connait maintenant sa couleur et peut se sauver, et on répète le schéma : le 3ième se dévoue pour donner la couleur du 4ième, le 4ième se sauve etc,
ainsi on sauve la moitié des nains à coup sur et le reste repose sur la chance avec proba 1/2, j'ai rien trouvé de mieux

Y'a rien de précisé dans l'énoncé mais je me suis basé sur le fait qu'un nain ne pouvait voir strictement que le nain devant lui, donc:
Question 1 : les 100 dans le meilleurs des cas, et la moitié à coup sur
Question 2 : voir au dessus


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Message par Mister_Seven Dim 24 Juil 2016 - 1:23

Hakaan a écrit:
Spoiler:
je dirais le premier nain donne la couleur du chapeau devant lui, le 2ième connait maintenant sa couleur et peut se sauver, et on répète le schéma : le 3ième se dévoue pour donner la couleur du 4ième, le 4ième se sauve etc,
ainsi on sauve la moitié des nains à coup sur et le reste repose sur la chance avec proba 1/2, j'ai rien trouvé de mieux

Y'a rien de précisé dans l'énoncé mais je me suis basé sur le fait qu'un nain ne pouvait voir strictement que le nain devant lui, donc:
Question 1 : les 100 dans le meilleurs des cas, et la moitié à coup sur
Question 2 : voir au dessus


Bonsoir Hakan, désolé mais la réponse est identique à la première et ce n'est pas la bonne :p Il y a un moyen de sauver bien plus de nains à coup sûr, pas seulement la moitié.
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Message par david50 Dim 24 Juil 2016 - 2:32

Les nains voient à combien d'autres nains devant eux?

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Message par Invité Dim 24 Juil 2016 - 8:05

Spoiler:
comme la dit hakaan, il faudrait que chaque nain puisse communiquer la couleur du chapeau de celui qui et devant. Et ce qu'ils peuvent prononcer deux fois la réponse (ils ne peuvent dire que "blanc" ou "noir" ses compliqués)?  Le dernier donne la couleur de celui qui est devant lui (le dernier lui il ne sait pas sa couleur, il a une chance sur deux de mourir) et celui de devant, lorsqu'il donne sa réponse, peut indiquer à celui qui et devant lui sa couleur. Si celui qui est devant lui à un chapeaux noir, il dit une seule fois blanc par exemple, et si le chapeau de devant est blanc il peut bégayer un peu pour lui faire savoir, du genre "bbbla-blanc"  Ils pourraient sauver 99 nains comme ça, y'a juste celui du bout de la file qui aurait un risque d'y pass. Sinon il peuvent aussi faire des bizarerie de prononciation pour faire comprendre à l'autre de devant, comme prononcer le "c" de blanc ou zapper le "r" de noir (ou prononcer "nor". Enfin, quelque soit la méthode utilisée dans cette hypothèse, les nains durent de la feuille vont y passer - et on n'est pas à l'abri qu'un nain qui n'aime pas son voisin le sabote. Donc 99 (100 si le dernier à un coût de chance) dans l'idéal - mais bien 50% de moins en prenant en compte les difficultés de compréhension et les petites querelles entre nains. Mais vu que les nains seront peut-être dans l'idée d'humilier l'ogre, ils ne profiteront peut-être pas de l'occaz pour leurs vengeances, et dans ce cas on ne perdra que les dure de la feuille, et ça ça dépend du code qu'ils vont choisir - mais il faudrait connaitre bien le langage et la prononciations des nain pour pouvoir trouver le mieux.
Enfin, je trouve pas que ce soit bien dans la mentalité des nain de se laisser piéger comme ça sans ce battre. Il sont quand même 100, et ils savent se battre, les nains c'est des guerrier. Pour moi le plus crédible c'est qu'il aient pas cherché d'astuce logique, mais qu'ils prennent leur pioches tout de suite pour mettre la paté à l'ogre. La je pense qu'ils sauverai bien 80% des nains, et qu'ils piqueraient ensuite les trésors de l'ogre.
Et la je crois que l'ogre il est bizarre, déviant, et sans doute faible, il n'est pas très représentatif de son espèce, faire une énigme de se genre s'est pas très normal pour un ogre je trouve. Alors en se battant ils on des chances de tous s'en tirer, surtout que les nains c'est ingénieux, et ils doivent pouvoir concevoir un piège ou une technique d'attaque pour le massacrer.

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Message par Lilotte Dim 24 Juil 2016 - 9:45

Spoiler:
99 : chaque nain annonce deux couleurs Smile
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Message par Invité Dim 24 Juil 2016 - 9:56

Est-ce qu'on peut avoir des précision sur l'endroit ou se passe cette histoire? J'essaie de me renseigné sur les protagonistes, mais ça dépend quand même d'où ils viennent. Ils sont français?

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Message par Invité Dim 24 Juil 2016 - 10:16

Je n'ai pas encore de meilleure idée que les 50%, mais à la question 1 je dirais : 0. Ils sont peut être tous aveugles, ou tous bêtes, bref. On ne sait jamais à coup sûr :p

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Message par Invité Dim 24 Juil 2016 - 10:20

Je crois pas les nains être réputés aveugles, me semble même qu'ils ont une relativement bonne vue dans le noir - par contre les problèmes d'auditions doivent être fréquent, à cause des chocs auditifs occasionnés par leur activité de forgeron. Et les ogres sont plus idiots que les nains, c'est des sauvages les ogres.

Mais celui-la à l'air malin, pour ça qu'il doit être faible, il compense. Il doit bien savoir qu'il ne fait pas le poids contre 100 nains, alors il a essayé de trouver une astuces pour que les nains se tiennes tranquilles est ce laisse dévorer. Qui va vérifier si le nain dévoré avait bien répondu? Personne, seul l'ogre sait. C'est la seule raison pour laquelle l'ogre donne l'énigme, pour les flouer. Je crois que si ils entre dans le jeux, ils vont se faire avoir, ou mettre du temps à réagir (certain aurons été mangé). Faut qu'ils prenne les arme tout de suite les nains. C'est un piège.

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Message par Mister_Seven Dim 24 Juil 2016 - 23:54

Hahahahaha, vous me faites bien rire tous, à surinterpréter et à poser des questions qui n'ajoutent rien à l'énigme telle qu'elle a été posée. Il n'y a rien de plus et rien de moins que les indications données, chaque nain voit uniquement celui placé devant lui, ne peut dire qu'une couleur et ne connaît bien évidemment pas son propre chapeau. Et tous entendent très bien évidemment. C'aurait pu être un Islandais sur le point de marquer au fer rouge 100 Uruguayens, ç'aurait été la même chose Wink

Seul Doliko a trouvé pour l'instant !
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Message par Loxosceles Lun 25 Juil 2016 - 0:08

Spoiler:
Au moins 50 nains peuvent être sauvés avec cette méthode, plus proche de 75, statistiquement parlant :

Les nains se placent en file indienne, chacun tourné vers le nain qui est devant lui. Lorsque le premier nain est interrogé, il donne la couleur correspondant au chapeau du nain qui est devant lui, se sacrifiant (dans un cas sur deux). Le nain en seconde position connait donc la couleur de son chapeau, qu'il annonce. On refait la même chose par paire de nains, et on a en moyenne 1,5 sauvé par paire.

J'ai du mal à trouver mieux pour l'instant...

Edit : je vois que l'idée n'est pas très originale puisqu'on est plusieurs à avoir donné la même spontanément... Mais je n'ai pas envie de lire la bonne réponse tout de suite... Razz
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Message par Mister_Seven Lun 25 Juil 2016 - 0:25

Effectivement Loxosceles, cette réponse a déjà été proposée et on peut en sauver bien plus sans se reposer sur le hasard Wink Mais merci de ta participation !
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Message par Loxosceles Lun 25 Juil 2016 - 0:40

Spoiler:
Je pense avoir trouvé.

99 nains peuvent être sauvés ainsi :

Le premier nain dit une couleur au hasard. Si le nain devant lui possède un chapeau noir, il le fait en criant. Si le chapeau est blanc, il le fait en parlant, ou en murmurant. Ainsi, chaque nain est averti de la couleur de son chapeau par le ton de la voix de celui qui le précède, et peut à la fois donner la bonne couleur de son propre chapeau, et correctement faire deviner la sienne au suivant.
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Message par Mister_Seven Lun 25 Juil 2016 - 0:47

Bravo ! J'avais pensé à quelque chose de légèrement différent sur la forme, mais tu as pigé le fond.
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Message par zeHibou Lun 25 Juil 2016 - 7:27

Je ne connais pas cette énigme (et n'ai pas voulu trouver la solution avec gogole), mais il me semble que la formulation n'est pas assez précise et je trouve tirée par les cheveux la solution d'utiliser une prononciation bizarre pour coder une info lorsque les nains sont interrogés.
Spoiler:
La réponse à Q1 est: 99 de façon certaine, et 100 avec de la chance.
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Message par Invité Lun 25 Juil 2016 - 11:50

"C'aurait pu être un Islandais sur le point de marquer au fer rouge 100 Uruguayens, ç'aurait été la même chose" Bonjour mister_seven, je crois qu'il faut justement prendre en compte les données contextuelle, parce que sinon un vilain ogre peu nous bétifier en nous emprisonnant dans une logique scolaire. On est tellement habitué à répondre en fonction de se que l'autres attend (comme la, l'ogre tente de leur faire croire que la survie dépends de leur capacité à trouver une logique a l'enigme) qu'on oubli que c'est une ruse. Ses un prison mentale.Si l'islandais a une kalash, ça se discute, mais à 100 contre lui sa peut sans doute être jouable. Mais sa dépend d'autres paramètres aussi.

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Message par Unejoliechanson Lun 25 Juil 2016 - 12:14

Je dirais 99 à tout les coups, mais il faut que je réfléchisse à la manière pour le faire...
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Message par Lilotte Lun 25 Juil 2016 - 19:23

Spoiler:

- Pendant que l'ogre dort, les 100 nains se barrent, la grotte n'étant pas fermée, puisque c'est une cavité avec au moins une partie accessible Wink
- Comme les chats la nuit, dans une grotte tous les chapeaux seront noirs, ils n'ont qu'à dire tous noir Wink
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Message par Mister_Seven Mar 26 Juil 2016 - 10:59

zeHibou a écrit:Je ne connais pas cette énigme (et n'ai pas voulu trouver la solution avec gogole), mais il me semble que la formulation n'est pas assez précise et je trouve tirée par les cheveux la solution d'utiliser une prononciation bizarre pour coder une info lorsque les nains sont interrogés.
Spoiler:
La réponse à Q1 est: 99 de façon certaine, et 100 avec de la chance.

Libre à toi de la reformuler à ta guise et de trouver une solution moins tirée par les cheveux, mais moi ça me paraît bien comme ça Wink
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Message par Yoda300 Lun 1 Aoû 2016 - 16:44

Me suis déjà pris la tête sur cette énigme. Il faut bien préciser que chaque nain voit les chapeaux de tous les autres nains dans la file ...

Spoiler:
... et par ailleurs, il n'y a que deux couleurs possibles pour les chapeaux.
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Message par Invité Lun 1 Aoû 2016 - 17:07

Mister_Seven a écrit:Bonjour à tous ! Cette énigme relativement peu connue selon moi

Super connu... mais il y a moins connu et plus sioux ;-)

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Message par Cyril THQI Sam 10 Sep 2016 - 20:35

J'ai réfléchi au problème et j'ai trouvé une solution supérieure à 50. J'ai ensuite regardé la solution en spoiler et elle me déçoit, car elle implique un problème, et par suite une solution, sans grand intérêt logico-mathématique. Je propose d'apporter une précision dans la formulation pour le rendre plus intéressant de ce point de vue. Je l'ajoute dans un premier spoiler, pour qu'elle n'aide pas à dévoiler la solution proposée plus haut. Puis dans le deuxième spoiler, je donne la réponse que j'ai trouvée à ce problème.

Modification du problème par l'ajout d'une contrainte:
L'information donnée par chaque nain aux autres nains est limitée à la couleur. C'est une information binaire. La façon dont cette énonciation est faite ne peut pas jouer. On pourrait par exemple imaginer un scénario dans lequel le nain communique sa réponse par écrit à l'ogre qui à son tour l'annonce à tous.

Ma réponse à ce problème:
Les 7 premiers nains se sacrifient pour coder en binaire le nombre de nains ayant un chapeau noir du huitième au centième. Chaque nain suivant connaît alors précisément le nombre de nains ayant un chapeau noir parmi ceux n'ayant pas encore répondu. Lors de son tour, un nain compare le nombre de chapeaux noirs devant lui avec le nombre de chapeaux noirs qu'ils sait rester et en déduit facilement si le sien est noir. Tant que son tour n'est pas arrivé, ils compte le nombre de nains du huitième au quatre-vingt-dix-neuvième ayant répondu noir, pour le soustraire du nombre codé par les 7 premiers nains. On peut donc sauver au moins 93 nains.
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Message par Pola Sam 10 Sep 2016 - 20:53

Si c'est un nain de jardin, il se sacrifiera c'est clair

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Message par Pola Sam 10 Sep 2016 - 21:04

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Message par Sarella Sam 10 Sep 2016 - 23:47

Ma réponse est 99 nains sauvés.

La méthode:

Le premier nain à parler -- qui est aussi le dernier de la file, donc voyant tous les chapeaux des autres -- dit la couleur des chapeaux en nombre impair.
Ensuite, chaque nain, en comptant les chapeaux qu'il voit et en se souvenant des chapeaux déjà révélés, peut déterminer le sien.
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Message par ortolan Sam 10 Sep 2016 - 23:53

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Message par Sarella Dim 11 Sep 2016 - 0:01

ortolan a écrit:Rien ne dit qu'il y a 50 chapeaux blancs et 50 chapeaux noirs (répartition aléatoire des couleurs sans précision de nombre).

Bon sinon, c'est 3 nains qui vont à la mine...

Tu dis ça par rapport à ma solution?
Parce qu'elle marche peu importe le nombre de chapeaux de chaque couleur.
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Message par Pola Dim 11 Sep 2016 - 0:22

Ta solution elle n'apporte que des problèmes Evil or Very Mad

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Message par Cyril THQI Dim 11 Sep 2016 - 0:42

Bravo Sarella !
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Message par Pola Dim 11 Sep 2016 - 0:50

Pourquoi tout le monde aime tant quand ça marche facepalm

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Message par ortolan Dim 11 Sep 2016 - 0:53

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Message par Pola Dim 11 Sep 2016 - 0:54

Comme quoi c'est la démarche qui Conte

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Message par JB8 Jeu 22 Avr 2021 - 16:55

99 au pire, 100 au mieux ! pauvre premier petit nain!

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Message par JB8 Jeu 22 Avr 2021 - 17:34

Je l'ai eu a une epoque avec 3 couleurs et meme si je sentais l'histoire de modulo, je n'avais pas un raisonement qui arrive a me convaincre totalement,
avec 2 c'est un peu plus simple a visulaliser, et probablement a generaliser apres.
j'espere ne pas avoir fait d'erreur en voulant simplifier la vie des nains au maximum

Le premier nain (Appelons le Jean-Michel) compte les chapeaux noirs de tous les autres.
Les autres nains comptent les chapeaux noir de tout les autres, en excluant celui Jean-Michel (et le leur bien sur)

Jean-Michel annonce haut et fort NOIR (=1) s'il a compté un resultat pair, BLANC(=0) si pair

la une chance sur deux d'y passer pour lui (je pense il se fait tuer s'il y a un nombre impair de chapeaux en tout, considerant ca, il y a peut etre une astuce pour le sauver mais je ne crois pas)

Imaginons un nain X qui sait que tous les autres nains sauf Jean-Michel et lui meme somment a un nombre impair.
si Jean-Michel avait dit BLANC/ZERO/PAIR alors nain X doit etre NOIR pour que la somme de impair+1(son chapeau noir) soit pair comme annonce par Jean-Michel
si Jean-Michel avait dit NOIR/UN/INPAIR alors nain X doit etre BLANC pour que la somme de impair+0 (sont chapeau blanc) soit impair comme annonce par Jean-Michel


Raisonnement similaire, si nain X avait compté un nombre pair de chapeaux.

Au final, si nain X compte un nombre pair de chapeau pour les 98 nains alors il n'a qu'a repeter ce que Jean-Michel dit, si nain X compte un nombre impair, il doit dire le contraire.



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Message par dr-korbo Ven 23 Avr 2021 - 9:21

Une proposition farfelue:
Les nains peuvent donner la couleur de leur chapeau en disant blanc ou noir mais ils pourraient aussi informer le nain de devant en modulant la tonalité: si le nain annonce la couleur d'un ton aigu alors le chapeau de devant est blanc, sinon il est noir.
On peut sauver 99 nains comme ça et le premier à être interrogé a une chance sur deux de s'en sortir Cool
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Message par JB8 Mar 27 Avr 2021 - 16:15

pas mal, pragmatique comme solution,un peu comme l'histoire de l'ampoule chaude ou allumée. dans ma solution les nains se voyaient tous alors qu'ls ne voit que ceux qui sont devant eux dans l'ennoncé. donc apres que jean-michel parle, le deuxieme connaitra la somme des 98 devant lui et en deduira son chapeau, les autres devant n'auront qu' a ajoute ce que les nains derriere eux disesnt pour connaitre la "somme des 98", plus prise de tete mais ca passe.

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Message par Mentounasc Mar 27 Avr 2021 - 21:52

Il me semble que dans l'énigme originale, les nains ne parlent pas, mais écrivent leur réponse sur une ardoise que l'ogre lit alors à haute voix avant soit de manger le nain soit le libérer.
Dans ce cas précis, pas de subterfuge précis en utilisant la modulation de la voix ou sa force.
La seule réponse qui est alors possible est mathématique, en passant par la procédure modulo.
A noter que cette procédure est applicable quel que soit le nombre de nains et quel que soit le nombre de couleurs possibles de chapeaux, en supposant évidemment que chacun voit bien tous ceux qui sont devant lui et sait parfaitement compter et mémoriser...
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