Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

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Message par Stauk le Mar 3 Mar 2015 - 20:26

Levans a écrit: tes 3 grilles à 4 triangles sont égales !
Clairement, elle ne sont pas égales.  Suffit de considérer ce que j'appelle la "cardinalité" des sommets pour s'en convaincre. Ou cardinalité correspond au nombre de segments qui partent du sommet. Bon je trouve ça très mal commode de compter les sommets, alors j'ai pas du tout envie d'essayer ... surtout du fait que le bidule est un donut. Moi les donuts dépliés, j'ai du mal. Je les préfère dans mon estomac.

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Message par Levans le Mar 3 Mar 2015 - 20:36

Petitagore a écrit:Je suggérerais bien de prendre en compte (entre autres) le nombre de cases autour d'un sommet commun.

On peut partir de là, mais ce n'est pas suffisant. Les exemples avec peu de points ne sont pas très parlants, maison peut assez facilement construire des exemple ambigus.

Je pense qu'on pourra néanmoins s'accorder, dans un premier temps, sur cette condition suffisante d'égalité :
Si on peut déformer continuement une grille A en une grille B (en déplaçant les points de manière continue sans changer leurs connexions et sans se faire croiser deux arrêtes à aucun moment de la transformation) alors elles sont égales.

NB : le point formant les 4 coins ne peut évidemment pas bouger, et les points sur des bords doivent y rester
On peut noter que si on se cantonne à cette définition, alors les 3 grilles à 4 triangles sont différentes.

Il serait bon de réussi à mettre des termes mathématiques clairs sur la définition de l'égalité que l'on veut, si on veut traiter le problème rigoureusement. Wink

Stauk a écrit:Clairement, elle ne sont pas égales.
Il s'agissait surtout de montrer que la définition de l'égalité que l'on choisit est très importante, et qu'il est important de se mettre d'accord sur un expression rigoureuse de cette égalité. Wink
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Message par Stauk le Mar 3 Mar 2015 - 20:39

Levans a écrit:
NB : le point formant les 4 coins ne peut évidemment pas bouger, et les points sur des bords doivent y rester
On peut noter que si on se cantonne à cette définition, alors les 3 grilles à 4 triangles sont différentes.
Il serait bon de réussi à mettre des termes mathématiques clairs sur la définition de l'égalité que l'on veut, si on veut traiter le problème rigoureusement. Wink

En fait c'est un donut. Le carré qui englobe la grille, n'a que deux arrêtes (au lieu de 4 comme on pourrait le croire sur le dessin).
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Message par Petitagore le Mar 3 Mar 2015 - 20:46

Stauk a écrit:En fait c'est un donut.

Je sais que suis parfois aussi crétin qu'Homer Simpson, mais le terme un peu sérieux est tore.

J'ai raison, c'est un tore! Very Happy
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Message par Levans le Mar 3 Mar 2015 - 21:02

Stauk a écrit:En fait c'est un donut. Le carré qui englobe la grille, n'a que deux arrêtes (au lieu de 4 comme on pourrait le croire sur le dessin).
Oui, oui, je n'ai jamais dit le contraire... Huh

Juste que l'on soit d'accord. je pense qu'on s'accorde pour dire que ces deux grilles sont différentes mêmes si elles ont les mêmes nombres de face touchant chaque sommet : (Erratum : il faut lire 9 et non 8 )

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 8-6-5-3-3

Reste à poser des mots mathématiques clairs là dessus

Par exemple :
- Si je prends une grille et la rotate d'un quart de tour, la nouvelle grille est-elle égale à la première ?
- Si je fais une symétrie par rapport à un des 4 axes du carré ?
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Message par Stauk le Mar 3 Mar 2015 - 22:00

Levans a écrit:
Stauk a écrit:En fait c'est un donut. Le carré qui englobe la grille, n'a que deux arrêtes (au lieu de 4 comme on pourrait le croire sur le dessin).
Oui, oui, je n'ai jamais dit le contraire... Huh
Juste que l'on soit d'accord. je pense qu'on s'accorde pour dire que ces deux grilles sont différentes mêmes si elles ont les mêmes nombres de face touchant chaque sommet : (Erratum : il faut lire 9 et non 8 )

En fait je sais pas comment tu obtiens 8. (ou 9, ou 13, ou n'importe quelle valeur ...). Techniquement y a qu'un seul sommet en fait, non ? Donc ça serait 13 ? C'est sûr que c'est plus simple à l'intérieur du carré ...



Levans a écrit:
Reste à poser des mots mathématiques clairs là dessus
Par exemple :
- Si je prends une grille et la rotate d'un quart de tour, la nouvelle grille est-elle égale à la première ?
- Si je fais une symétrie par rapport à un des 4 axes du carré ?

Ben ouais. Rotations okay. Symétries axiales okay. Symétries centrales aussi ?

J'ai beaucoup de mal à bien "comprendre" l'effet donut. (tore stu veux). Je dirais que deux grilles sont équivalentes, si d'une part chaque type de triangle est présent en quantité égale dans les deux grilles (deux triangles sont du même type, s'ils ont les même cardinalités à leur sommets (disons rangés par ordre décroissant au niveau des cardinalités pour rendre la comparaison plus aisée) et d'autres part, chaque couple de chemin minimaux (c'est à dire en traversant le moins de frontières possibles) entre deux triangles de type A et B existant sur une grille, existe aussi sur l'autre. (chai pas si chui bien clair). Ou le chemin est la donné des triplets de cardinalité des triangles traversés.

Exemple y a trois triangles 863 sur les schémas proposés.

Un seul 863 est connecté à 653. (appelons le Alphonse).
Pour que Alphonse rejoigne le 863 le plus proche il faut aller : 886 : 863 sur la grille de gauche.
Mais Alphonse : 863 directement sur la grille de droite.

Ergo les deux grilles sont différentes.
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Message par Petitagore le Mar 3 Mar 2015 - 23:47

Merci de toutes ces réflexions. J'ai beau m'intéresser au sujet depuis un bon moment, je pense que vous partez dans des directions où je me suis peu aventuré, c'est enrichissant.

Une remarque en passant: en général, autour d'un sommet d'une de mes grilles, il y a 5, 6 ou 7 cases (ou segments, c'est pareil); les valeurs comme 4 ou 8 sont beaucoup plus rares, les valeurs 3 et 9 ne se rencontrent presque jamais -- donc des exemples où on les fait apparaître sont un peu particuliers, pas vraiment représentatifs de mon petit jeujeu.

Je dis ça parce que si vous aboutissez à un nombre astronomique de grilles, mais en y incluant une ribambelle de grilles où il serait courant que les sommets voient converger 3 ou 9 segments (ou même davantage), ben ça ne correspondrait pas vraiment à ce que j'obtiens -- et donc le nombre astronomique que vous obtiendriez serait plus un maximum ultra-théorique qu'un minimum donnant un ordre de grandeur de ce qu'on peut obtenir en pratique. Si tout au contraire vous vous limitez à des sommets où ne convergent que 5, 6 ou 7 segments (je préfèrerais), là vous aboutirez à un nombre forcément inférieur à la diversité envisageable, et que je pourrai donc considérer comme un minimum, tant en théorie qu'en pratique. Pour moi ce serait une information plus précieuse, car je cherche à démontrer que la diversité de mes grilles est bel et bien gigantesque en pratique; j'aimerais pouvoir affirmer que le risque que je tombe deux fois sur la même grille avec des mots-graines différents peut être considéré comme tout à fait négligeable. Un maximum théorique m'intéresse nettement moins qu'un minimum pratique.

Mais je ne veux pas vous empêcher de réfléchir: c'est beau la science. Very Happy


Dernière édition par Petitagore le Mar 3 Mar 2015 - 23:54, édité 1 fois (Raison : meilleures formulations)
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Message par Petitagore le Mer 4 Mar 2015 - 17:32

Il y a des grilles faciles, des grilles difficiles... et il y a aussi des grilles vexantes, qui récalcitrent indéfiniment, refusent de se laisser résoudre, alors même qu'elles tolèrent des tonnes de solutions. En voici une qui m'a particulièrement humilié: la grille "decembre".

Elle a l'air extrêmement banale... elle ne l'est pas tant que ça, car elle contient exclusivement des pentagones, des hexagones et des heptagones; aucun quadrilatère, aucun octogone, ça a vraiment l'air d'un cas d'école sur lequel les solutions doivent abonder. Et, de fait, elles abondent...

... sauf que pour des raisons qui m'échappent c'est toujours les solutions que j'envisage qui foirent! Du coup, mon propre solveur se donne la joie de m'humilier en me montrant que j'aurais pu essayer n'importe quoi d'autre que ce que j'ai envisagé, et que ça aurait marché...

Voici un inventaire (certainement très incomplet) des cavexes envisageables. Attention, ne faites pas comme moi, ne vous braquez pas sur le premier: c'est justement le seul qui paraît inutilisable -- et par un fait exprès, c'est justement la première idée qui m'est venue, et à laquelle bien entendu je me suis accroché comme un morbaque parce que parmi mes nombreuses qualités, j'ai celle d'être persévérant... y compris dans l'erreur.  Very Happy

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Cavexes_decembre_invalide_et_valides

A titre d'entraînement, vous pouvez essayer de redessiner ces cavexes (tous), puis essayer de les employer (sauf le premier!) pour résoudre la grille.

Je publierai les corrigés demain (s'il plaît à Dieu de me laisser le temps de le faire).
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Message par Petitagore le Jeu 5 Mar 2015 - 10:20

Bon. Je rappelle que nous travaillons sur la grille "decembre", avec les images de cavexes publiées dans le post précédent.

Pour ceux qui ont manqué des épisodes, un cavexe est un ensemble de cases voisines (un coacervat) sur lequel il paraît envisageable de terminer la partie (car en toutes choses il faut considérer la fin): il y a dedans le polygone convexe qui va bien pour le coup final (en l'occurrence un heptagone, que je vous ai coloré en bleu pour que ce soit plus clair), et un certain nombre (trois ou quatre, en général) de triplets de cases susceptibles d'être pris "par trois" et donc coloriables en jaune. Surtout, ce cavexe encercle totalement le tore, l'expérience démontrant qu'en général (mais pas toujours, ce serait trop simple) il suffit de faire très attention à ne pas toucher le cavexe dans les premiers coups de la partie pour aboutir au score optimal visé.

Commençons par dessiner les cavexes; ça ne présente aucune vraie difficulté, mais ça vous entraînera à en imaginer vous-mêmes, vous verrez que ça n'est pas bien malin (du moins sur cette grille).

Premier cavexe de la figure (c'est, je le rappelle, la première idée qui me soit venue et également la plus mauvaise -- mais ça n'empêche pas de le dessiner: 11 12 19 4 18 (bleu), 15 21 14 (jaune).

Cavexe valide 0: 0 34 37 36 2 (bleu), 11 30 18 (jaune).

Cavexe valide 1: 3 4 18 11 12 (bleu), 15 37 29 30 (jaune).

Ah tiens, il y a une erreur dans ce cavexe (voir plus bas); elle est sans conséquence, mais saurez-vous la détecter?

Cavexe valide 2: 37 2 5 3 38 (bleu), 29 31 19 (jaune).

Cavexe valide 3: 34 0 37 35 2 (bleu), 11 9 22 (jaune).

Cavexe valide 4: 11 17 12 4 19 (bleu), 21 1 8 (jaune).

Cavexe valide 5: 7 27 14 13 8 (bleu), 25 28 41 (jaune).

Cavexe valide 6: 2 5 39 38 3 (bleu), 10 16 24 (jaune).

Cavexe valide 7: 29 17 18 16 24 (bleu), 10 37 2 (jaune).

Cavexe valide 8: 11 12 19 3 17 (bleu), 21 6 26 40 (jaune).

Enfantin, non?

Et maintenant les solutions intégrales sur la base de ces cavexes, c'est à peine plus difficile... avec un peu d'habitude Very Happy :

Avec le cavexe 0: 23 8 15 28 26 13 41 39 25 12 (hors du cavexe), 18 11 30 36 (dans le cavexe).

Remarque: Comme dans la plupart des solutions, le dernier coup, qui prend le polygone convexe final, est indifférent.

Avec le cavexe 1: 5 25 32 33 7 35 14 21 8 (hors du cavexe), 37 12 2 10 17 (dedans)... et cornegidouille, je m'étais gourré de polygone final dans mon schéma du post précédent (d'ailleurs ça m'avait titillé au moment de dessiner le cavexe, comme signalé plus haut); ben vous voyez, c'est pas grave, on s'en sort quand même; comme quoi ça n'est pas si malin que ça...

Avec le cavexe 2: 11 22 16 1 27 34 13 25 33 41 (hors du cavexe), 19 31 29 38 (dedans).

Avec le cavexe 3: 16 38 29 18 32 20 4 33 21 6 (hors du cavexe), 22 9 11 36 (dedans).

Avec le cavexe 4: 6 37 39 40 35 23 28 27 31 15 (hors du cavexe), 8 1 21 4 (dedans).

Avec le cavexe 5: 0 29 35 38 3 17 16 19 32 4 (hors du cavexe), 41 28 25 9 (dedans).

Avec le cavexe 6: euh... Bordel, je retrouve plus la soluce! Encore une idée à la con du solveur... Prenez patience, je vous la retrouverai (mais mes compliments à ceux qui la trouveront seuls).

Avec le cavexe 7: 25 5 32 33 7 35 14 21 12 8 (hors du cavexe), 2 10 37 29 (dedans).

Avec le cavexe 8: 24 2 38 32 23 28 0 15 9 (hors du cavexe), 40 26 6 21 4 (dedans).

Eh ben vous voyez, c'est pas si malin que ça...
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Message par Petitagore le Jeu 5 Mar 2015 - 11:24

Ca y est, j'ai retrouvé la solution de la grille "decembre" avec le cavexe 6... et je l'ai retrouvée tout seul avec ma petite tête, en plus. La voici:

19 14 21 7 31 40 34 28 29 8 (hors du cavexe), 24 16 10 3 (dedans).

C'était pourtant simple. Very Happy
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Message par Pieyre le Jeu 5 Mar 2015 - 23:55

Comme l'a fait remarquer Levans, on peut associer à toute grille trianceysque un graphe. Il est non planaire (puisqu'il se déploie sur un tore) mais localement planaire. Plus précisément, dans la mesure où sa nature non planaire correspond à un bord de la surface (par exemple les côtés du carré de la représentation plane), on doit pouvoir se restreindre pour nombre de propriétés à étudier le graphe planaire obtenu par coupure selon ce bord. En effet, de même que le bord d'une surface continue est de mesure nulle, la frontière d'une surface discrète contribue, pour certaines propriétés, d'une façon qui tend vers 0 quand la discrétisation devient plus précise.

On sait déjà que le nombre de triangles est le même sur les représentations planaire et torique.
Le nombre de sommets est plus important sur la représentation planaire, mais on sait lesquels il faut identifier pour obtenir le nombre correspondant dans la représentation torique. Et, plus le nombre de sommets intérieurs augmente, plus on peut considérer l'un comme une approximation de l'autre.
Pour le nombre d'arêtes, le cas est assez semblable. Pour un nombre important de triangles, il doit donc être de même ordre sur les deux représentations.

Reste le nombre de grilles planaires, qui doit être en rapport avec ce qu'il serait sur le tore, mais de façon peut-être un peu plus complexe. En effet il s'agit cette fois de juger de la configuration globale de la grille. Le nombre de grilles apparentes (sur le carré correspondant au jeu) est donc là aussi supérieur au nombre grilles réelles, mais, du fait des symétries possibles, on pourrait avoir à diviser le premier nombre par un certain facteur.

Concernant plus généralement le nombre de graphes connexes à n sommets, quelques recherches sommaires me conduisent à penser que ce nombre doit être une exponentielle de n. Mais il ne semble pas y avoir d'estimation précise. Ainsi, on notant p(n) le nombre de graphes planaires connexes à n sommets, je trouve que 1/n × log2 (p(n)) tend vers une certaine constante c (entre 3 et 6 – la valeur n'est pas fixée). Ce qui donnerait p(n) équivalent à 2^(cn) lorsque n tend vers l'infini. Par ailleurs, pour les premiers graphes de cette sorte (en commençant à zéro sommet), on obtiendrait le nombre exact de graphes : 1, 1, 1, 2, 6, 20, 99, 646, 5974, 71885...

Maintenant, cela concerne un nombre de graphes plus divers que ceux correspondant aux grilles de Petitagore, comme il l'a lui-même remarqué. C'est-à-dire qu'on obtient toujours une majoration et non une minoration. Dans la mesure où les restrictions imposées aux grilles convenables sont importantes (la distance bornée entre sommets, et surtout le fait que tout triangle doit en en toucher exactement trois autres), il pourrait y avoir une estimation plus précise, peut-être même faisant intervenir des structures mathématiques moins complexes que le cas général. À lire un peu sur le sujet, je ne crois pas qu'on pourra facilement s'en sortir. Mais rien n'est certain. Il faudrait y passer du temps.

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Message par Petitagore le Ven 6 Mar 2015 - 8:57

Merci, Pieyre, de ces explications, même si elles expriment mieux (en termes mathématiques) la complexité du problème qu'elles ne le résolvent...

A défaut d'une mesure exacte, j'ai envisagé de me contenter d'une estimation par extrapolation. Je m'explique. Avec, disons, douze cases, la variété des grilles est déjà grande, mais pas forcément incommensurable, et avec quatorze non plus. Je peux me contenter de faire apparaître des tonnes de grilles au hasard, les compter, et constater qu'avec 14 cases j'en obtiens... un certain nombre de fois plus qu'avec 12, après quoi yorapuka extrapoler la tendance jusqu'à 30, 40, 50 cases. Ca ne serait pas hyper-rigoureux, mais ça mènerait à un résultat qui ne serait pas archi-faux (et qui serait sans l'ombre d'un doute sous-estimé et non surestimé, donc exploitable pour affirmer l'existence d'une gigantesque variété).

Cela dit, il faudrait en effet (ça a été évoqué plus haut par Levans) que je parvienne à répondre par oui ou par non et sans erreur à la question "telle grille est-elle différente de telle autre", ce qui n'est pas évident, au moins compte tenu des symétries. D'un point de vue algorithmique, il me serait assez facile de faire l'inventaire des nombres de segments partant de chaque sommet, de classer tout ça pour chaque grille, et de conclure avec certitude, chaque fois que j'obtiens deux classements différents, que je suis en présence de deux grilles différentes; évidemment, ça me ferait sous-estimer considérablement la diversité des grilles, mais ça pourrait me permettre d'obtenir un nombre minimal de grilles différentes, et un taux d'accroissement minimal de la complexité chaque fois qu'on ajoute un sommet  -- donc j'aboutirais bien, en extrapolant ça, à une sous-estimation minimale, qui pour moi serait précieuse (y compris si elle était plusieurs milliards de fois inférieure à la quantité réelle).

C'est beaucoup de tintouin pour obtenir un résultat archi-sous-estimé... Mais je soupçonne que ça pourrait fournir des idées pour aboutir à une démarche plus rigoureuse.

En tout cas, là, tout de suite, j'avoue que j'ai un peu la flemme. Very Happy
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Message par Petitagore le Ven 6 Mar 2015 - 9:11

Au fait, personne n'a trouvé ce qui foirait il y a trois posts dans ma façon de dessiner mon cavexe 1? Ce n'est pas très difficile à remarquer (et c'est en plus très pédagogique pour la résolution des grilles, raison pour laquelle je vous titille à ce sujet), mais c'est un peu plus difficile à exprimer en termes mathématiques rigoureux... même que je le ferai plus tard parce que là j'ai un train à prendre.
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Message par Petitagore le Ven 6 Mar 2015 - 16:00

Personne ne répond à ma question sur le cavexe foireux de la grille "decembre"... C'est dommage car ça tend à faire penser que je ne suis pas parvenu à vous faire vraiment comprendre l'intérêt d'un cavexe bien formé pour la résolution d'une grille et j'en suis fort marri.

Bon, ben je vous explique, et pardon si j'ai l'air de me répéter un peu, mais c'est important.

Dessiner un cavexe, c'est fantasmer sur la fin de la résolution d'une grille. Les coups que l'on joue pour dessiner le cavexe sont voués à être rejoués en ordre inverse, à la fin de la résolution d'une grille. Il faut donc se limiter à construire le cavexe avec des coups "réversibles", qui conduiraient à prendre les mêmes groupes de trois cases dans un sens chronologique comme dans l'autre. Et cela implique qu'un bon "coup de cavexe" soit constitué de trois cases ayant toutes deux voisins à l'intérieur du cavexe, le troisième voisin étant à l'extérieur d'icelui.

Pour le dire autrement, il faut dessiner le cavexe comme une accumulation de bosses de trois cases, bombées avec un creux vers l'intérieur du cavexe, et surtout ne comportant jamais une pointe cornue sortant du cavexe avec deux côtés voisins de cases n'appartenant pas à celui-ci.

Ouais, c'est bien compliqué, ça sera plus clair si vous envisagez la chose visuellement. Retournez donc, siouplaît, sur la grille "decembre".

Je dessine le polygone final (un heptagone) en bleu en cliquant par exemple sur 16, 17, 30, 23 et 18. A y est, vous visualisez l'heptagone bleu?

Maintenant, si je clique 37, j'obtiens trois cases jaunes ayant toutes et chacune deux voisins dans le cavexe. Pour la case 36, ce sont les cases 29 et 37. Pour la case 38, ce sont 30 et 37, et pour la case 37, ce sont évidemment 36 et 38. Tous ces numéros désignent des cases faisant partie du cavexe.

Continuons. Si je clique 10, je prends trois cases colorées en jaune. La case 15 a deux voisins dans le cavexe (10 et 16), la case 11 a deux voisins dans le cavexe (10 et 17), et la case 10 a deux voisins dans le cavexe (15 et 11), donc tout va bien.

Terminons. Si je clique 2, je prends là encore trois cases colorées en jaune. La case 1 a deux voisins dans le cavexe (2 et 10), la case 3 a deux voisins dans le cavexe (11 et 2) et la case 2 a elle aussi deux voisins dans le cavexe vu qu'elle en a même trois (37, 1 et 3). Donc mon cavexe est valide, hallelujah.

Et si j'agrandis encore le cavexe (ce qui n'est pas nécessaire, mais permis), je peux cliquer sur 12, et j'obtiens trois nouvelles cases jaunes ayant chacune deux voisins dans le cavexe; pour 4, ce sont les cases 3 et 12; pour 19, ce sont les cases 18 et 12, et pour 12, ce sont les cases 4 et 19. Tout baigne.

Mais ça, c'est la solution -- valide -- que j'aurais dû vous indiquer. Or je vous en ai indiqué une autre, qui, elle, est erronée.

Je vous ai dit (par erreur) de colorer en bleu un autre heptagone que l'heptagone final, par 3, 4, 18, 11, 12. Jusque là, ça a l'air d'aller.

Puis je vous ai dit de cliquer 15. C'est valide, ça prend trois cases jaunes ayant toutes et chacune deux voisins dans le cavexe: 10 qui a pour voisins 15 et 11, 16 qui a pour voisins 15 et 17, et 15 qui a pour voisins 10 et 16. Jusque là, ça va donc encore.

Mais ensuite, je me suis trompé. Là, je vous ai dit de cliquer sur 37, ce qui certes prend trois cases jaunes (37, 1 et 2), mais il y a un mais. La case 1 a bien deux voisins dans le cavexe (10 et 2), 2 a bien deux voisins dans le cavexe (1 et 3), mais 37 n'a qu'un voisin (la case 2) dans le cavexe, contre deux voisins hors du cavexe (36 et 38).

Et là, c'est raté. Si on rejoue cette séquence à l'envers, 36 et 38, qui sont hors du cavexe et donc censées être déjà prises à ce stade du récit, auront forcément déjà coloré la case 37. Donc nous sommes en présence d'un cavexe mal pensé.

Je sais, dit comme ça, ça a pas l'air simple... mais en fait, il suffit de se rendre compte que la case 37 a l'air d'une corne isolée sortant du cavexe, au lieu d'appartenir à une bosse de trois cases s'ajoutant à un cavexe qui garde un sympathique aspect gonflé et rondouillard. Visuellement, ça se voit au premier coup d'oeil, et l'abondant baratin logique que je viens de vous débiter est complètement superflu pour un joueur entraîné qui a appris à reconnaître la forme rondouillarde d'un cavexe en formation, et la forme cornue et diabolique d'un cavexe foireux.

Le diable est dans les détails... et dans les cornes du cavexe.


Dernière édition par Petitagore le Ven 6 Mar 2015 - 22:43, édité 1 fois (Raison : légère erreur d'observation de la grille)
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Message par Petitagore le Sam 7 Mar 2015 - 9:22

Bon. M'inspirant des travaux et des schémas de Levans (merci à lui), je poursuis sur mon idée de noter de façon concise mais relativement complète les propriétés d'une grille, de façon à pouvoir affirmer sans risque d'erreur que deux grilles sont différentes, en dépit des symétries et des bizarreries d'affichage qu'entraîne la nature torique du bazar.

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Grille_a_neuf_sommets

Voici une grille de 18 cases et donc 9 sommets (sur un tore, les cases sont bougrement plus faciles à compter que les sommets). Sauf erreur ou omission, un de ces sommets (en bas à droite) est au centre d'un quadrilatère, deux sont au centre d'un pentagone, quatre sont au centre d'un hexagone et deux d'un octogone (1 + 2 + 4 + 2 = 9, le compte est bon).

On pourrait noter ça de façon concise:
9
4 : 1
5 : 2
6 : 4
8 : 2

avec bien sûr un classement rigoureux du nombre de cases autour d'un sommet (ici, en ordre croissant).

Et de façon encore plus concise (pour faciliter les traitements informatiques, par exemple avec le programme sort d'Unix pour ceux qui connaissent): 9;4:1;5:2;6:4;8:2. C'est pas super-lisible pour un humain, mais un ordinateur s'en sort très bien, arrive sans problème à classer des inventaires de descriptifs de ce type et du coup, quand deux grilles auront des descriptifs différents, on pourra assurer sans l'ombre d'un doute qu'elles sont différentes.

L'inverse n'est pas vrai, mais c'est un début.

Je poste déjà ça, et je reviens ensuite avec un perfectionnement.
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Message par Petitagore le Sam 7 Mar 2015 - 9:43

Dans la notation que je viens de définir, plusieurs grilles très différentes peuvent avoir le même descriptif. Avec neuf sommets, ça permettrait déjà de faire un peu le tri, mais quand on va atteindre la vingtaine ce sera nettement insuffisant. Je propose donc un perfectionnement (une chinoiserie, même, car ça devient assez complexe -- mais toujours gérable par un programme comme le sort d'Unix): noter non seulement le nombre de cases autour de chaque sommet, mais aussi le nombre de cases autour des sommets à la périphérie du polygone convexe ayant le sommet pour centre.

Ouh la, que ce que je dis est compliqué. Reprenez la figure du post précédent, regardez le quadrilatère en bas à droite. Autour du sommet central marqué du chiffre 4, il y a deux sommets marqués du chiffre 6 et deux du chiffre 8. Je propose qu'au lieu de noter juste 4, on détaille un peu: 4 (6 : 2; 8 : 2).

Je sais, ça ne lève pas toutes les confusions. Sur l'exemple dont je vous parle, si on fait le tour des sommets du périmètre, on lit dans l'ordre 6 - 8 - 6 - 8, mais ça pourrait aussi être 6 - 6 - 8 - 8 et dans ce cas on aurait de toute évidence deux quadrilatères différents. Je pense quand même que si on applique ce mode de notation pour l'ensemble de la grille, jusqu'à une vingtaine de cases il sera vraiment bien rare que deux grilles différentes aient exactement parfaitement le même descriptif -- donc compter les descriptifs différents permettra de se faire une idée très légèrement sous-estimée (je préfère ça que le contraire) de la diversité des grilles.

Bon, maintenant, je dois admettre que la notation ne sera pas super-concise ni super-lisible, puisqu'elle donnera quelque chose du genre (l'exemple est réel et correspond à la figure du post précédent -- sauf erreur ou omission):

neuf sommets: 9;
sommets de quadrilatères: 4(6:2;8:2):1;
sommets de pentagones: 5(5:1;6:3;8:1):2;
sommets d'hexagones:6(4:1;5:1;6:1;8:3):1;6(5:2;6:2;8:2):3;
sommets d'octogones: 8(4:1;5:1;6:5;8:1):2.

Surtout n'hésitez pas à me signaler une erreur... Very Happy

Et donc, à l'usage du sort d'Unix, ça deviendrait un truc super-simple d'un point de vue informatique (non, je blague pas, c'est simple et à lire et à écrire... quand le boulot est fait par un programme informatique):

9;4(6:2;8:2):1;5(5:1;6:3;8:1):2;6(4:1;5:1;6:1;8:3):1;6(5:2;6:2;8:2):3;8(4:1;5:1;6:5;8:1):2

Sans qu'il soit tout à fait exclu que deux grilles différentes aient le même descriptif, je pense qu'on peut dire raisonnablement que jusqu'à une vingtaine de sommets ça ne sera quand même pas très fréquent en proportion. Un descriptif permettra donc d'identifier une grille avec un peu le même taux d'erreur qu'un ADN permet d'identifier un criminel.

Des objections? Des questions? D'autres idées?

Quelqu'un a suivi? Very Happy

(ton désespéré) Au moins la démarche générale?


Dernière édition par Petitagore le Dim 8 Mar 2015 - 8:24, édité 2 fois (Raison : faute de frappe)
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Message par Pieyre le Sam 7 Mar 2015 - 11:54

Je pense que c'est une voie où il sera plus facile de trouver une minoration en effet (même si une description théorique précise du graphe torique correspondrait peut-être à un cas déjà traité dans la littérature).

J'avais pensé à une façon un peu différente, mais en m'inspirant aussi d'une description des grilles. J'envisageai de partir d'une grille régulière de triangles reliés par six angles, c'est-à-dire correspondant à un pavage par des hexagones dans la représentation duale, que j'adopte par la suite pour exprimer les choses plus facilement.

À partir de ce pavage hexagonal, qui correspond déjà à une grille possible, on peut se demander de combien de façon le transformer pour obtenir d'autres grilles, et cela en modifiant juste quelques hexagones.

Par exemple, si l'on transforme un hexagone en pentagone, cela peut se répercuter juste sur un autre hexagone relié au premier par un côté, qui deviendra lui-même un pentagone, le reste de la structure restant inchangée. Combien de grille peuvent comporter un tel double pentagone ? Eh bien une seule, par translation ou rotation de la grille sur le tore. Mais, si l'on introduit un autre double pentagone un peu plus loin, on aura déjà toute une série de grilles : il suffit de compter de combien de façons deux doubles pentagones peuvent être diversement éloignés et diversement orientés l'un par rapport à l'autre.

De même on peut transformer un hexagone en carré, avec deux hexagones voisins qui deviennent des pentagones, et établir un comptage du nombre de grilles possible en disposant deux figures de ce genre sur le pavage.

Et puis on peut associer les deux motifs : double pentagone et carré + double pentagone, pour en obtenir d'autres.

Il s'agirait d'établir une liste des modifications locales du pavage hexagonal qui pourrait être combinées de sorte que le nombre de leurs dispositions serait facile à établir.

Maintenant, pour une grille d'une vingtaine de triangles, je ne pense pas que l'on pourra dépasser l'ordre de la centaine. Ou alors il faudrait faire intervenir de nombreux assemblages de polygones, ce qui pourrait être fastidieux.

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Message par Petitagore le Sam 7 Mar 2015 - 12:35

C'est pas bête du tout, ça, Pieyre... Very Happy

Mais immédiatement je me demande à quoi pourrait ressembler un assemblage d'hexagones représenté sur un schéma carré (ne coupant évidemment pas une case triangulaire de part et d'autre des contours du carré, sinon ça ne ressemblerait plus à mes grilles). Ca n'est sûrement pas impossible (quitte à déformer pas mal les hexagones à proximité des bords et des coins du carré), mais je n'arrive pas à me le figurer -- or le faire m'aiderait à réfléchir.

Donc... j'y réfléchis! Very Happy
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Message par Pieyre le Sam 7 Mar 2015 - 13:36

Dans ton maillage par des triangles, il était nécessaire, pour des raisons pratiques, et heureusement possible, qu'ils entrent sans être coupés dans le schéma carré. Mais, dans la représentation duale, les polygones de Voronoï ne peuvent pas respecter la même contrainte.

Peut-être pourrais-tu dessiner cette représentation duale sur tes grilles. Il suffit de relier les centres de gravité de tous les triangles qui se touchent par un côté (et tenir compte des triangles ayant un côté sur l'un des bords du carré, en traçant un segment horizontal ou vertical vers le bord). Je crois que cela peut aider à se représenter la structure d'une grille. Déjà il y a moitié moins de polygones que de triangles, et puis leur diversité de forme permet sans doute de se représenter mieux en quoi deux grilles sont ou non équivalentes.

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Message par Petitagore le Sam 7 Mar 2015 - 18:59

Bon, je ne sais pas si ça fera beaucoup avancer le schmilblick, mais je suis parvenu à dessiner un réseau hexagonal sur la représentation carrée d'un tore. Bel effort (c'était prise de tête, ce truc...).

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Reseau_hexa_sur_tore_carre

Et maintenant que j'arrive à le concevoir, je n'aurais pas forcément beaucoup de difficultés à en faire une grille clicable, histoire de l'étudier plus commodément. Je vous tiendrai au courant si j'y arrive. Very Happy


Dernière édition par Petitagore le Sam 7 Mar 2015 - 22:54, édité 1 fois (Raison : pétouille orthographique)
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Message par Pieyre le Sam 7 Mar 2015 - 19:17

Tes hexagones sont disposés de façon oblique. Il y a aussi une configuration tu aurais deux hexagones de côtés égaux au même niveau vertical.
Enfin, quand je dis oblique, c'est par rapport à l'horizontale. Par rapport à la verticale, ils sont alignés.

On peut obtenir une telle configuration en traçant un réseau de triangles équilatéraux et en appliquant dessus une grille carrée passant par des sommets.

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Message par Petitagore le Sam 7 Mar 2015 - 19:23

Mais je suis vraiment une nouille, moi! Il y a une représentation beaucoup plus facile à comprendre:

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Reseau_hexa_sur_tore_carre2

... mais on n'a pas tout perdu, car ceci nous fournit un merveilleux exemple du fait que deux représentations graphiquement très différentes peuvent servir à décrire un seul et unique assemblage de polygones sur un tore. Je suis bien content d'avoir trouvé cet exemple, tiens.

Soit dit en passant, selon la logique que j'ai expliquée plus haut, cette grille serait notée 12;6(6:6):12 -- et ce dans les deux cas, bien évidemment.

Ce qui serait nettement plus clair, n'est-il pas vrai? Very Happy
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Message par Petitagore le Sam 7 Mar 2015 - 19:40

Pieyre a écrit:On peut obtenir une telle configuration en traçant un réseau de triangles équilatéraux et en appliquant dessus une grille carrée passant par des sommets.

Je serais preneur d'un petit dessin. Twisted Evil
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Message par Pieyre le Sam 7 Mar 2015 - 20:31

Voici ! tu m'excuseras de la mauvaise qualité, mais j'ai préféré faire ça avec mes petites mains.


Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Grille10

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Message par Petitagore le Sam 7 Mar 2015 - 22:53

Oui, c'est concevable, mais ça oblige à répartir certaines cases de part et d'autre du tore -- ce qui empêche de considérer ta figure comme une grille Triancey orthodoxe. Razz

Par ailleurs, ta figure a une superficie de vingt cases (sauf erreur de ma part, le réseau hexagonal exige que le nombre de cases soit un multiple de six). Il faudrait abaisser le trait inférieur d'un demi-triangle équilatéral pour passer à une superficie de vingt-quatre cases et faire en sorte que les motifs se correspondent bien en haut et en bas. Mais on comprend l'idée.

N'empêche, pour les raisonnements que tu te proposais d'effectuer, je pense que ma deuxième figure, hyper-régulière, est très facile à exploiter et à comprendre.
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Message par Pieyre le Sam 7 Mar 2015 - 23:17

Moi aussi j'ai eu tendance à ne pas compter tous les triangles. Mais regarde bien : il y en a 24, et la grille est orthodoxe.

Par ailleurs, je ne prétendais pas imposer un modèle, mais indiquer une méthode simple pour obtenir une grille régulière. Et je reconnais que ta grille a l'avantage de présenter des triangles identiques, notamment de même aire, ce qui évite de se poser la question que tu as soulevée des triangles trop petits pour être acceptables.

Pendant que j'y suis, à ce sujet, j'ai l'impression que dans ta version commerciale, les triangles ne sont pas de même aire, justement. C'est-à-dire qu'y placer les pièces triangulaires bicolores, forcément des triangles équilatéraux, pourrait les recouvrir plus ou moins. N'y aurait-il pas une transformation simple de la grille, qui consisterait à déplacer juste un peu les sommets, de sorte que tous les triangles soient de même aire ?

... Je comprends un peu tardivement la référence à la superficie. Bon, alors j'ajoute que si la superficie est bien de 20 triangles équilatéraux, il me semble que cela importe peu. Il y a en a bien 24 en tout, certains entiers et certains demi-entiers. Mais c'est juste une question de découpage.
Ce qui est vrai c'est que, sur le tore, le fait de couper les triangles en deux fait que le maillage n'est pas régulier. Alors que le tien l'est. C'est d'ailleurs intéressant. La figure de référence, c'est le tore. On ne peut pas conserver toutes les propriétés de son maillage régulier sur le carré; aussi il faut choisir d'en sacrifier au moins une. J'ai sacrifié la régularité de certains triangles du bord; tu as sacrifié l'équilatéralité.

... J'ajoute encore une chose (j'ai l'esprit de l'escalier). Et si tu envisageais dans ta version commerciale une grille hexagonale ? C'est tout de même plus en rapport avec le triangle que ne l'est le carré... Alors il pourrait y avoir ou bien deux joueurs, ou bien quatre, ou bien six. Pour six, il suffirait de disposer de dés cubiques à six couleurs à la place des triangles bicolores. Pour quatre il est moins évident de trouver une pièce acceptable, dans la mesure où le tétraèdre ne peut reposer sur sa pointe pour montrer la couleur du joueur... Mais on doit pouvoir trouver une solution.

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Message par Petitagore le Sam 7 Mar 2015 - 23:52

Pieyre a écrit:Moi aussi j'ai eu tendance à ne pas compter tous les triangles. Mais regarde bien : il y en a 24, et la grille est orthodoxe.

Ah, OK. Mais alors elle n'est pas intégralement composée de triangles équilatéraux -- je croyais que c'était ça l'idée.

Pendant que j'y suis, à ce sujet, j'ai l'impression que dans ta version commerciale, les triangles ne sont pas de même aire, justement.

En effet. En théorie, la disproportion maximale est de 1 à 3: la plus petite case peut être presque trois fois plus petite que la plus grande (en pratique, ça ne va guère au-delà de deux)... tout simplement parce qu'au-delà, il serait possible de rajouter un sommet au milieu d'un gros triangle pour le transformer en trois petits.

C'est-à-dire qu'y placer les pièces triangulaires bicolores, forcément des triangles équilatéraux, pourrait les recouvrir plus ou moins. N'y aurait-il pas une transformation simple de la grille, qui consisterait à déplacer juste un peu les sommets, de sorte que tous les triangles soient de même aire ?

Ah, la passion égalitariste du peuple français...  Very Happy

Je n'ai pas creusé à fond la question, mais je pense que ce serait assez délicat: chaque case appartient à trois polygones, donc on est en présence d'un joli sac de noeuds... En tout cas, toute modification des aires des cases aurait forcément, aussi, une influence sur la disproportion entre les longueurs des côtés (en théorie, le côté le plus long est deux fois plus long que le plus petit), sans préjudice de la disproportion entre les angles des triangles (en théorie, le plus obtus peut être quatre fois plus large que le plus aigu -- en pratique, c'est beaucoup moins).

Je peux me tromper, mais je crois qu'essayer d'unifier les aires, ou tout au moins de diminuer les disproportions entre elles, ce serait se donner beaucoup de mal pour aboutir à quelque chose que des râleurs trouveraient toujours moyen de critiquer Razz ... car le seul moyen d'avoir des choses vraiment égales, c'est l'emploi systématique du triangle équilatéral, avec donc toujours six cases autour de chaque sommet -- or l'intérêt du jeu, c'est précisément l'irrégularité et l'asymétrie, la présence de penta-hexa-heptagones, avec l'imprévisibilité qui va avec.

J'ai donc fait l'impasse sur le problème, constaté que ça n'empêchait pas du tout les gens de jouer (au pire, les pions débordent parfois un peu des cases, la belle affaire), et je me suis remémoré la sagesse de ma regrettée grand-mère pour qui le mieux était le plus souvent l'ennemi du bien. J'admets que c'est une philosophie de sale feignasse... mais bon, je suis partisan du moindre effort et j'assume! Very Happy
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Message par Petitagore le Dim 8 Mar 2015 - 0:04

Pieyre a écrit:J'ajoute encore une chose (j'ai l'esprit de l'escalier). Et si tu envisageais dans ta version commerciale une grille hexagonale ? C'est tout de même plus en rapport avec le triangle que ne l'est le carré... Alors il pourrait y avoir ou bien deux joueurs, ou bien quatre, ou bien six. Pour six, il suffirait de disposer de dés cubiques à six couleurs à la place des triangles bicolores. Pour quatre il est moins évident de trouver une pièce acceptable, dans la mesure où le tétraèdre ne peut reposer sur sa pointe pour montrer la couleur du joueur... Mais on doit pouvoir trouver une solution.

Merci pour l'idée. Very Happy

En pratique, j'ai déjà une certaine difficulté à convaincre ne serait-ce qu'UN adversaire de jouer... ce qui fait que je ne me suis pas senti très motivé pour travailler sur une version qui me forcerait à en convaincre trois ou cinq simultanément. J'envisagerai ça... disons dès que la version à deux joueurs aura remporté le succès planétaire qu'elle mérite! (en toute modestie)

J'avoue, c'est une façon élégante de me défiler.

Au fait, la version "commerciale" (à deux joueurs: ce n'est pas le casse-tête dont il est question sur ce fil) ne se joue pas sur un carré, mais sur un rectangle; et pas sur un tore, mais sur un cylindre. En pratique, j'ai constaté que les joueurs trouvaient ça beaucoup moins abstrait, notamment les enfants.
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Message par Pieyre le Dim 8 Mar 2015 - 0:07

Je suis à peu près sûr qu'on peut obtenir une grille équivalente à une grille donnée qui soit composée de triangles de même aire. Je propose en pratique la méthode suivante : on détermine le triangle d'aire maximale et, parmi les triangles qui ont un côté commun avec lui, celui qui est d'aire minimale; alors on déplace les deux sommets de leur côté commun jusqu'à les rendre égaux; et l'on itère. Je pense que cela doit converger.

... Quant à ma proposition de grille hexagonale, j'ai oublié un cas : celui de trois joueurs. Et puis qu'il y ait 3, 4 ou 6 joueurs (ou même 5 après tout), on peut toujours utiliser un dé à six couleurs, certaines couleurs ne correspondant pas forcément à un joueur effectif.

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Message par Petitagore le Dim 8 Mar 2015 - 0:47

Pieyre a écrit:Je suis à peu près sûr qu'on peut obtenir une grille équivalente à une grille donnée qui soit composée de triangles de même aire. Je propose en pratique la méthode suivante : on détermine le triangle d'aire maximale et, parmi les triangles qui ont un côté commun avec lui, celui qui est d'aire minimale; alors on déplace les deux sommets de leur côté commun jusqu'à les rendre égaux; et l'on itère. Je pense que cela doit converger.

Mais cela n'aura pas qu'une influence sur ces deux cases que l'on cherche à équilibrer, mais aussi sur les autres cases ayant les points déplacés pour sommets...

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Deplacement_de_deux_points

Si je cherche à réduire la disproportion entre les aires 4 et 5 en déplaçant les deux points noirs, ça ne va pas affecter que 4 et 5, mais aussi 0, 1, 2, 3, 7, 8, 9 et 10... Est-on sûr que cette modification ira forcément dans le sens d'un équilibrage de toutes les surfaces? Je ne dis pas que c'est faux, mais ça ne me paraît pas démontré non plus.

Mon algorithme de constitution de grilles se contente, lui, de déplacer les deux points noirs (ainsi que le sommet commun aux cases 3, 5, 6 et 8 ) vers le barycentre du polygone qui entoure chacun d'entre eux. Ca équilibre un peu et c'est déjà pas mal... Tu es sûr de pouvoir faire mieux?
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Message par Pieyre le Dim 8 Mar 2015 - 11:47

Comme ça, j'aurais pensé à déplacer les deux sommets noirs vers la gauche (enfin la normale au segment orientée vers la case de plus grande aire), de façon diminuer la disproportion entre les cases 4 et 5 (les deux ensemble, pour ne pas rendre plus aigus les angles de la case 5). Mais il faudrait en effet tenir compte des cases voisines que tu mentionnes. Alors on pourrait alterner ce déplacement avec un rapprochement de ces deux sommets noirs (dans d'autres cas ce pourrait être un éloignement).

Par ailleurs ton critère des barycentres me plaît bien, parce qu'il correspond à une formule et non à un ajustement progressif comme ce que j'envisage. Je n'ai peut-être pas bien compris mais ne serait-il pas possible de l'itérer dans la perspective de faire converger la répartition des aires ?

Sinon, je pense que le problème a déjà été traité quelque part. J'ai juste trouvé une thèse, Développement de modèles graphiques probabilistes pour analyser et remailler les maillages triangulaires 2-variétés. Elle concerne les maillages surfaciques, de façon plus générale que la question que l'on envisage sur la représentation carrée. On doit donc pouvoir trouver des méthodes plus simples. En plus il est question de remaillage et pas seulement de déplacement des sommets. Mais certaines méthodes me paraissent aller dans le sens de ce dont on discute (voir p. 30 notamment).

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Message par Petitagore le Dim 8 Mar 2015 - 12:13

Toutes ces considérations théoriques sont fascinantes, et je ne renonce pas du tout à les creuser dans les jours qui viennent... Mais bon, permettez-moi de revenir quand même un peu à mon jeujeu.

J'ai entamé ce fil il y a un peu moins de deux semaines, ce qui a été amplement suffisant pour me permettre d'étudier la résolution des 34 grilles que j'ai mises à votre disposition. Je vous en redonne la liste, en vous indiquant ce que j'estime être leur degré de difficulté. C'est évalué au doigt mouillé, en fonction du mal que je me suis donné, moi-je, pour les résoudre. Comme soit dit sans vouloir vous vexer vous êtes tous débutants dans ce jeu, je pense que de votre point de vue toutes les grilles peuvent être jugées difficiles, raison pour laquelle je me propose d'en étudier en détail quelques-unes dans les jours qui viennent, par ordre de difficulté croissant.

Bon, déjà, voici l'inventaire brut de fonderie, on verra après comment s'y attaquer.

Les douze mois de l'année
janvier - Très facile (nous l'avons déjà étudiée)
février - Difficile
mars - Difficulté moyenne
avril - Difficulté moyenne
mai - Facile
juin - Difficulté moyenne
juillet - Particulier
aout - Difficulté moyenne
septembre - "Cinq ou huit"
octobre - Facile
novembre - Difficulté moyenne
decembre - Difficile (nous l'avons déjà étudiée, et avons vu que la difficulté peut venir du fait qu'on peut se braquer sur une hypothèse de résolution irréalisable)

Blanche-Neige et les sept nains
blancheneige - Difficile
atchoum - Facile
dormeur - Difficile
grincheux - Difficulté moyenne
joyeux - Difficulté moyenne
prof - "Cinq ou huit"
simplet - Difficulté moyenne
timide - Difficulté moyenne

Les présidents de la Cinquième République
degaulle - Difficulté moyenne
pompidou - Difficulté moyenne
giscard - "Cinq ou huit"
mitterrand - Difficulté moyenne
chirac - Particulier (nous l'avons déjà étudiée)
sarkozy - Difficulté moyenne
hollande - Difficulté moyenne

Les sept jours de la semaine
lundi - Facile
mardi - Difficulté moyenne
mercredi - Difficulté moyenne
jeudi - "Cinq ou huit"
vendredi - Difficulté moyenne
samedi - "Cinq ou huit"
dimanche - "Cinq ou huit"

Il faudra que je vous explique ce que j'entends par "cinq ou huit" -- dans l'immédiat, ne vous attaquez pas à ces grilles, dont la difficulté est un peu spécifique (c'est à la fois plus simple et plus compliqué).


Dernière édition par Petitagore le Dim 8 Mar 2015 - 12:16, édité 3 fois (Raison : caractère accentué dans un nom de grille)
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Message par Petitagore le Lun 9 Mar 2015 - 10:29

Bon. Commençons par les grilles faciles... J'ai noté que la grille "mai" était facile, ça doit être vrai:

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Mai

Voyons voir... Ah oui, en effet, elle est facile et même très facile, mais elle n'a pas grand mérite à ça parce que c'est une grille insoluble. Razz

Entendons-nous. A strictement parler, il n'y a pas de grille Triancey insoluble, il y a toujours un optimum pour toutes les grilles quelles qu'elles soient. Mais certaines ne peuvent pas être résolues de façon classique, en sacrifiant deux cases au départ et à la fin un polygone convexe qui sera un pentagone, un hexagone ou un heptagone. Eh bien, sur la grille que je vous présente aujourd'hui, on ne peut pas atteindre un tel optimum. En revanche, on peut tout de suite comprendre pourquoi.

Et c'est très simple. La grille a 40 cases. Donc, si j'en sacrifie deux au départ, il en restera 38, et 38 est un multiple de 3 majoré de deux, donc le polygone final devrait en théorie être lui-même un multiple de 3 majoré de deux, donc idéalement un pentagone.

Y a-t-il des pentagones sur cette grille? Oui-da: en haut à gauche, il y en a un qui a une tête de carré Very Happy (9, 1, 12, 10, 11), en bas il y en a un joli (26, 20, 29, 27, 28), et il y en a encore un réparti de part et d'autre des bords gauche et droit (15 et 19 à gauche, 18, 23 et 24 à droite). Sauf erreur de ma part, c'est tout... et ça n'est pas assez.

Car, nous l'avons déjà vu, l'avant-dernier coup d'une partie à score optimal "classique" doit être joué sur un pentagone. Je rappelle pourquoi: l'avant-dernier coup doit être joué sur un polygone marié au polygone final, sur les grilles Triancey les polygones mariés le sont presque toujours en ayant deux cases en commun, or pour que l'avant-dernier coup soit gagnant, il faudrait qu'il prenne trois cases simultanément à l'exclusion des deux cases appartenant aussi au polygone final, trois jaunes + deux partagées avec le polygone final = 5, donc l'avant-dernier coup doit être joué sur un pentagone. Toujours, toujours, toujours.

Enfin, sauf exception, comme sur la grille "mai" qui nous occupe, quand il faut se résoudre à un score optimal moins bon que le score optimal "classique".

Y a-t-il sur notre grille "mai" deux pentagones mariés sur lesquels nous pourrions jouer l'avant-dernier et le dernier coup? Nenni-da. Il faut donc revoir nos ambitions à la baisse, et terminer non pas sur un pentagone, mais sur un ensemble de huit cases. Et comme vous le voyez, on peut s'en rendre compte sans même avoir eu besoin de cliquer la moindre case, suffit d'ouvrir ses yeux et de compter.

Et terminer sur huit cases, c'est souvent très facile et ça l'est effectivement sur cette grille. Même qu'il y a au moins trois façons également élégantes de le faire.

Saurez-vous en trouver une?


Dernière édition par Petitagore le Mar 10 Mar 2015 - 18:10, édité 2 fois (Raison : pétouilles)
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Message par Petitagore le Lun 9 Mar 2015 - 15:58

Bon, allons-y, résolvons cette grille "mai".

Moyen le plus simple et de très loin: prendre un couloir... et pas n'importe lequel: un couloir de huit cases. Il y en a un beau qui crève les yeux dans la colonne de gauche. Et ça peut nous donner, par exemple: 1 20 11 4 13 27 28 37 21 24 38 14... et le dernier, coup, comme très souvent, est indifférent: quoi qu'on fasse ensuite, on prendra le couloir de huit cases.

Moyen assez classique également envisageable: terminer sur un octogone. Où y a-t-il un octogone dans cette grille? Sauf erreur de ma part, il n'y en a qu'un: l'ensemble des cases 15, 10, 11, 16, 19, 25, 26 et 20. On peut classiquement s'en servir pour dessiner un cavexe pas trop dodu... Par exemple, vous pouvez le photographier mentalement après avoir cliqué sur les cases 15, 16, 26, 25, 10 (bleu), 1, 33 (jaune): voici un cavexe très facile à photographier mentalement, vu qu'il est coincé contre le bord gauche.

Alors y a plus qu'à, allons-y: 2 5 35 27 37 21 17 24 38 14 (hors du cavexe), puis 33 1 10 (dedans).

Moyen le plus élégant à mon sens: terminer sur les deux quadrilatères... ce qui suppose déjà qu'on les ait repérés: 1, 2, 3, 12 d'une part, 6, 7, 37, 38 d'autre part. A vrai dire, j'ai essayé et pas réussi, mais mon solveur, lui, y arrive très bien: 29 23 30 19 26 10 34 4 39 11 13 9 37 2. Enfoirée d'intelligence artificielle, quel talent elle a.

Moyen moche juste pour faire le kakou et montrer ma virtuosité: terminer sur un hexagone marié à un quadrilatère (6 + 4, moins 2 cases en commun = 8 ). On doit pouvoir le faire en dessinant un cavexe ainsi: 6 7 37 35 4 (bleu), 14 31 23 22 (jaune)... et voilà un joli cavexe facile à photographier mentalement car coincé contre le côté droit. Appliquons cette belle stratégie, et ça nous fait par exemple: 28 11 20 25 15 1 2 32 (hors du cavexe), 22 23 31 14 35 37 (dedans).

Quand on vous dit que ça n'est pas bien malin, en fait...


Dernière édition par Petitagore le Lun 9 Mar 2015 - 16:02, édité 1 fois (Raison : gourance)
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Message par Petitagore le Lun 9 Mar 2015 - 23:42

Esprit de l'escalier... Quand nous avons parlé de la possibilité d'inscrire un réseau hexagonal sur un tore carré, nous avons cru pouvoir affirmer qu'il y avait plusieurs façons de décrire le même réseau. Eh bien, c'était aller un peu vite en besogne...

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Deux_reseaux_hexa_differents

... car ces deux réseaux, s'ils sont effectivement tous deux constitués exclusivement d'hexagones, sont quand même différents. A gauche, nous avons, réparti autour des quatre coins, un hexagone constitué des cases 0,4,7,3,23,20 -- qui n'existe pas à droite; et à droite, nous avons, réparti autour des quatre coins, un hexagone constitué des cases 20,15,11,7,12,16, qui n'existe pas à gauche. Les autres cases ont pourtant l'air d'être disposées rigoureusement de la même façon les unes par rapport aux autres et autour des sommets.

En fait, à gauche, le réseau hexagonal est inscrit parallèlement à un axe du tore, alors qu'à droite, il est torsadé.

C'est prise de tête, hein? Very Happy


Dernière édition par Petitagore le Mar 10 Mar 2015 - 9:04, édité 1 fois (Raison : un mot pour un autre, toutes mes confuses)
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Message par Pieyre le Mar 10 Mar 2015 - 0:17

Oui, c'est prise de tête pour se représenter tout ça sur le tore.
Si tu tournes le réseau de gauche de 90°, tu obtiens des hexagones orientés dans l'autre sens, mais avec le même parallélisme. Si tu tournes celui de droite de 90°, tu obtiens la torsade inverse (enfin si ma tête n'est pas trop prise).

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Message par Petitagore le Mar 10 Mar 2015 - 9:45

Notre problème du jour sera la grille "octobre" (pardon de hurler, mais avec les images cette ligne passait inaperçue).

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Octobre

Je l'ai déclarée facile dans mon inventaire... or en la refaisant je la trouve, somme toute, assez rétive et récalcitrante, la coquine. Je l'ai peut-être déclarée telle parce qu'il y a un cavexe concis et facile à photographier mentalement qui me saute aux yeux... mais sans mon entraînement je doute que vous partagiez cette impression.

Allez, procédons avec ordre et méthode. C'est une grille de 38 cases, donc je dois terminer sur un hexagone (38 - 2 cases sacrifiées au début = 36, qui est un multiple de 3, donc le polygone final doit être un multiple de 3). Comme nous savons que l'avant-dernier coup doit être joué sur un pentagone (reportez-vous aux épisodes précédents), nous cherchons donc sur cette figure un hexagone marié à un pentagone. Et justement (mais ça, c'est l'entraînement), je repère du premier coup d'oeil un hexagone bigame, marié à deux pentagones, que demande le peuple:

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Octobre_hexagone_bigame

Et à partir de là faudrait vraiment être une moule pour ne pas voir qu'on peut construire un joli cavexe très facile à photographier mentalement car coincé contre le côté gauche. Vous pouvez le reconstituer vous-mêmes par la séquence de coups 8,17,9,15 (bleu), puis 1,22,28,33 (jaune).

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Octobre_cavexe

Jusque là, comme dirait mon oncle (un fameux bricoleur), c'est vraiment de la tarte. En théorie, y a plus qu'à. Eh bien, essayez... Mais je vous préviens, le petit quadrilatère 31, 35, 37, 36, en bas à droite, va un peu vous casser les pieds... ou orienter votre réflexion, c'est selon.

De même qu'on reconnaît les bons joueurs d'échecs à leur façon de jouer les pions, on reconnaît les bons joueurs de Triancey "partrois" à leur façon de se débarrasser des quadrilatères.

Amusez-vous bien, solution en fin d'après-midi (mais d'ici là, je vous invite évidemment à mettre vous-mêmes fin au suspense -- ou à me montrer que vous pouvez imaginer des solutions encore nettement plus simples).


Dernière édition par Petitagore le Mar 10 Mar 2015 - 9:48, édité 3 fois (Raison : lisibilité)
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Message par Petitagore le Mar 10 Mar 2015 - 17:53

Bon. Nous parlons donc de la résolution de la grille "octobre". Voici la solution que j'ai trouvée à partir du cavexe suggéré dans le post précédent:

34 27 35 7 19 4 13 18 (hors du cavexe), 33 28 22 1 9 (dedans).

En voici une variante, issue, elle, du brillant cerveau artificiel de mon solveur:

19 18 25 14 36 4 35 31 (hors du cavexe), 33 32 2 23 8 (dedans).

Lequel solveur m'a d'ailleurs fait observer que d'autres cavexes étaient envisageables:

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Octobre_cavexes

avec les séquences de coups suivantes:

cavexe0: 19 37 27 7 21 8 13 24 12 23 34 33 (11).
cavexe1: 25 11 23 16 20 31 32 36 29 3 2 6 (13).
cavexe2: 19 5 12 11 25 35 22 7 37 28 32 2 (9).

Ce sont des solutions informatiques, pas forcément faciles à trouver pour un cerveau humain. Cela dit, vous pouvez quand même vous inspirer des méthodes employées pour se débarrasser dès le début de partie de ce sale pervers de quadrilatère, tout en bas à droite, qui a dû prendre un malin plaisir à faire foirer tous vos efforts.

A demain!


Dernière édition par Petitagore le Dim 13 Mar 2016 - 10:38, édité 1 fois (Raison : faut d'accent)
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Message par Pieyre le Mar 10 Mar 2015 - 20:50

Juste une petite proposition technique : ne crois-tu pas qu'il serait utile, quand on vient de cliquer sur une case et qu'on veut revenir en arrière, de pouvoir cliquer à nouveau sur cette case (visible grâce à la mise en évidence de son pourtour) plutôt que de déplacer le curseur jusqu'au bouton adéquat ? Mine de rien, quand on essaie systématiquement toutes les cases libres, cela ferait gagner du temps et surtout on ne risquerait pas d'oublier où l'on en était.

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Message par Petitagore le Mar 10 Mar 2015 - 23:35

Pieyre a écrit:Juste une petite proposition technique : ne crois-tu pas qu'il serait utile, quand on vient de cliquer sur une case et qu'on veut revenir en arrière, de pouvoir cliquer à nouveau sur cette case (visible grâce à la mise en évidence de son pourtour) plutôt que de déplacer le curseur jusqu'au bouton adéquat ? Mine de rien, quand on essaie systématiquement toutes les cases libres, cela ferait gagner du temps et surtout on ne risquerait pas d'oublier où l'on en était.

Je ne te garantis pas que je vais le faire tout de suite, mais je vais y réfléchir. J'ai un peu peur que ça perturbe ceux qui n'auront pas lu le mode d'emploi -- et qui constituent toujours une forte proportion des utilisateurs! Mais ça pourrait en effet être intéressant, particulièrement pour les utilisateurs de tablettes et de smartphones, avec des écrans si petits que la grille et les touches de magnétoscope n'y tiennent pas simultanément.

Cela dit -- ce n'est pas pour me défiler --, je pense que ce n'est pas une bonne idée d'"essayer systématiquement toutes les cases libres": pour devenir bon à ce jeu (et à ses variantes), il est capital d'apprendre à anticiper, et à éliminer d'emblée un paquet de stratégies qu'on peut sans même les tester identifier comme vouées à l'échec. Il se trouve que cette façon de penser (éliminer ce qui ne peut que foirer pour tomber directement sur ce qui marche) correspond à mon tempérament (j'aime bien mon jeu!), mais je pense que dans l'absolu c'est préférable: c'est un jeu où la stratégie doit primer sur la tactique, et c'est notamment pour ça que j'insiste lourdement sur la nécessité de fantasmer un cavexe avant d'attaquer vraiment la partie.

Mais bien sûr, pour en arriver à réfléchir en termes stratégiques plutôt que tactiques, il faut déjà avoir acquis une bonne maîtrise de la tactique. Est-ce que l'interface que tu préconises y aiderait? Je vais y réfléchir.
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Message par Pieyre le Mer 11 Mar 2015 - 0:27

Oui, tu as raison : ce n'est pas une bonne idée d'essayer les configurations de façon systématique. Mais il faut pardonner à un simple néophyte. Je ne me suis appliqué vraiment qu'à une seule de tes grilles; j'ai commencé en raisonnant, et puis à la fin j'ai essayé tout, ou quasiment, en traçant même à la main un arbre des configurations déjà explorées; et cela a marché plus rapidement que de me poser des questions relatives à la meilleure stratégie.

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Message par Petitagore le Mer 11 Mar 2015 - 9:13

Salut les aminches! Le problème du jour sera la grille "atchoum":

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Atchoum

Bon, ben c'est une petite grigrille des familles, archi-classique: rien que des pentagones, des hexagones et des heptagones... Ah non, il y a quand même un octogone, mais réparti sur les côtés inférieur et supérieur, en sorte qu'on ne le voit pas beaucoup. C'est pas grave, les octogones ne sont pratiquement jamais bloquants.

C'est une grille de 42 cases, donc nous visons... Qui sait répondre?

En effet, un heptagone, car 42 cases moins 2 sacrifiées au départ, ça nous fait 40, qui est un multiple de 3 majoré de 1, donc il faut terminer sur un polygone convexe ayant lui-même un nombre de cases représentant un multiple de 3 majoré de 1. C'est bien, c'est le métier qui rentre.

Vous dites, mon petit?

En effet, un quadrilatère a un nombre de cases multiple de 3 majoré de 1. Mais tu vois un quadrilatère sur cette grille, banane? Bon, alors, cherche pas midi à quatorze heures, cherche-moi plutôt un heptagone, et pas n'importe quel heptagone, un heptagone ma...

... un heptagone marié...

... un heptagone marié à un p-p-p...

... un heptagone marié à un pentagone, oui. Putain, faut vous tirer les mots de la bouche. Et quelqu'un peut m'expliquer pourquoi?

-- Parce que l'avant-dernier coup d'une partie à score optimal est toujours joué sur un pentagone, m'sieur.

-- Très bien, Agnan, encore que comme il y a des exceptions il soit préférable de dire "l'avant-dernier coup d'une partie à score optimal classique", mais c'est bien quand même.

Il paraît que c'est une grille facile, du moins c'est comme ça que je l'ai classée. Cela dit, ça ne veut pas dire grand-chose, car je n'ai pas mis six mois pour l'étudier, et parfois je trouve facile une grille sur laquelle j'ai simplement eu de la veine: dès le départ, un cavexe m'a sauté aux yeux et il était en effet exploitable -- mais si je m'étais braqué sur un autre cavexe ç'aurait été bien plus problématique. Bon, je ne vais pas être vache avec vous, voici le bon cavexe qui va bien:

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Atchoum_cavexe_preconise

Mais ce matin, quand je me suis remis à gamberger sur cette grille, j'en ai trouvé un autre qui m'a paru encore plus évident:

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Atchoum_cavexe_moins_efficace

Eh bien je ne vous le recommande pas: il y a cinq minutes que je m'escrime dessus et je tourne en rond.

Solution(s) en fin d'après-midi. Bon courage, soyez méthodiques et réfléchis, cela vous mènera non seulement à la victoire, mais aussi à la vertu, "which is more", comme dirait Kipling.
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Message par Petitagore le Mer 11 Mar 2015 - 12:15

Mon solveur, qui adore faire le malin, vous suggère six autres cavexes pour résoudre la grille "atchoum":

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Atchoum_cavexes

Tous sont exploitables, bien sûr. Cela dit, je continue de vous conseiller de vous acharner plutôt sur le premier que je vous ai montré, et qui reste assez simple.

Ce n'est pas pour vous humilier mais au contraire pour vous inciter à vous accrocher que je vous montre qu'il existe non pas une, mais une multitude de solutions -- et c'est vrai pour la plupart des grilles. Au départ, quand vous n'êtes pas habitués, vous avez certainement le sentiment de chercher une aiguille dans une meule de foin, une possibilité parmi... 42! (factorielle 42). Mais ce n'est pas du tout, du tout le cas.

D'abord, ramenons les choses à des proportions plus raisonnables.

Pour la première case, vous avez 42 possibilités.

Pour la deuxième, seulement 41.

Pour la troisième, seulement 40.

Pour la quatrième, seulement... 37 et pas 39 (cinq cases ont déjà été prises à ce stade).

Pour la cinquième, seulement 34. Pour la sixième, seulement 31, et ainsi de suite jusqu'à la treizième -- le quatorzième coup, qui termine la partie, est indifférent.

Donc, vous voyez, c'est pas factorielle 42, mais seulement 42 x 41 x 40 x 37 x 34 x 31 x 28 x 25 x 22 x 19 x 16 x 13 -- ça fait nettement moins, quand même!

Et puis ça, ça serait valable s'il n'y avait qu'une solution, mais je viens de vous montrer avec mes cavexes qu'il en existe au moins huit. Donc vous me divisez ça par huit.

En plus, parmi les coups intermédiaires, il est très courant que vous puissiez cliquer n'importe laquelle des trois cases prises simultanément. Donc divisez moi encore ça par 3 puissance 8, à l'aise.

Ca vous paraît encore beaucoup? Ouais, vous avez raison, ça fait encore pas mal. Very Happy Ca fait encore énormément, même: dans les 3000 milliards.

Mais avec un peu de jugeotte, on peut s'en sortir, en fait, et c'est ça qu'est beau: vous pouvez trouver l'aiguille dans la meule de foin. C'est ça que j'aime dans ce jeu.

Allez, on s'accroche, courage!
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Message par Petitagore le Mer 11 Mar 2015 - 16:50

Voici l'heure des solutions de la grille "atchoum".

Allez, je vais faire un truc vachement pédagogique: au lieu de vous balancer les solutions telles que, je vais d'abord vous les donner tronquées, amputées des cinq derniers coups -- mais la solution complète sera disponible sous spoiler. Je vous invite donc à essayer de trouver seuls les cinq derniers coups de la partie (quatre coups gagnants jaunes avant l'heptagone final coloré en bleu). C'est-il pas pédagogique et bienveillant, ça?  Very Happy C'est du boulot, croyez pas que je ferai ça tous les jours...

Solution 1: 6 23 18 4 32 34 2 41 13... et trouvez les cinq derniers coups.
Solution complète:
6 23 18 4 32 34 2 41 13 (hors du cavexe), 0 19 37 27 21 (dedans).

Cette solution correspond au cavexe numéroté 4 sur l'image du post précédent.

Solution 2: 6 1 8 41 18 34 23 20 4... et trouvez les cinq derniers coups.
Solution complète:
6 1 8 41 18 34 23 20 4 39 (hors du cavexe), 38 30 28 15 (dedans).

Cette solution correspond au cavexe numéroté 2 sur l'image du post précédent.

Solution 3: 32 7 5 40 35 1 20 28 19... et trouvez les cinq derniers coups.
Solution complète:
32 7 5 40 35 1 20 28 19 14 (hors du cavexe), 38 3 30 16 (dedans).

Cette solution correspond au cavexe préconisé dès le départ, c'est donc la plus humaine des solutions que je vous suggère.

Solution 4: 39 35 33 8 6 18 9 24 28... et trouvez les cinq derniers coups.
Solution complète:
39 35 33 8 6 18 9 24 28 36 (hors du cavexe), 37 23 3 10 (dedans).

Cette solution correspond au cavexe numéroté 3 dans l'image du post précédent.

Solution 5: 25 8 33 26 14 13 9 22 36... et trouvez les cinq derniers coups.
Solution complète:
25 8 33 26 14 13 9 22 36 3 37 (hors du cavexe), 32 5 11 (dedans).

Cette solution correspond au deuxième cavexe suggéré, et signalé comme problématique. Elle a quand même été trouvée par Petitagore, c'est-à-dire par un humain.

Solution 6: 26 32 34 36 0 38 29 14 30... et trouvez les cinq derniers coups.
Solution complète:
26 32 34 36 0 38 29 14 30 4 (hors du cavexe), 15 25 7 23 (dedans).

Cette solution correspond au cavexe numéroté 5 sur l'image du post précédent.

Solution 7: 35 39 33 8 1 28 19 37 6... et trouvez les cinq derniers coups.
Solution complète:
35 39 33 8 1 28 19 37 6 (hors du cavexe), 13 14 30 10 23 (dedans).

Cette solution correspond au cavexe numéroté 0 sur l'image du post précédent.

Solution 8: 14 29 22 38 19 9 3 0 7... et trouvez les cinq derniers coups.
Solution complète:
14 29 22 38 19 9 3 0 7 41 33 (hors du cavexe), 32 6 12 (dedans).

Cette solution correspond au cavexe signalé comme problématique dans le premier post de la journée. Cette fois, c'est le solveur et non un humain qui l'a trouvée.

Solution 9: 24 40 34 36 28 20 12 6 0... et trouvez les cinq derniers coups.
Solution complète:
24 40 34 36 28 20 12 6 0 38 (hors du cavexe), 39 30 11 14 (dedans).

Cette solution correspond au cavexe numéroté 1 sur l'image du post précédent.

'tain, c'est pas pour me vanter, mais vous ne serez vraiment pas les seuls à avoir bossé aujourd'hui...
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Message par Petitagore le Jeu 12 Mar 2015 - 9:51

Je vois toujours mon compteur qui s'incrémente et à peu près personne qui me dit où il en est de son apprentissage. Je ne peux pas vous forcer à raconter votre vie, mais ça n'aide pas ma pédagogie, ça... Dois-je continuer de ressasser les principes de base parce que la répétition est la base même de la pédagogie, ou au contraire risqué-je de vous paraître radotant si je n'avance pas assez vite? C'est tellement bizarre, la psychologie des surdoués...

Je peux difficilement me fonder sur la vitesse d'apprentissage de la seule personne que j'aie vu apprendre à jouer à ce jeu: moi. D'un côté, j'étais spécialement motivé par le fait que c'était mon jeujeu à moi, que comme je m'étais déjà donné un mal de chien à programmer l'interface, je n'allais pas laisser tomber sous le seul prétexte que ça me paraissait difficile. D'un autre côté, je n'avais aucun pédagogue pour m'expliquer comment m'y prendre -- à part mon solveur, dont vous ne disposez pas, mais qui est hyper-efficace pour faire passer l'idée qu'aucune grille n'est insoluble --, et je suis certain que j'aurais avancé beaucoup plus vite si on m'avait enseigné les principes de base que je vous ai déjà énoncés: nécessité de réfléchir au résultat de la division par trois du nombre de cases; les quatre théorèmes (premier coup, deuxième coup, dernier coup, avant-dernier coup); le concept de "cavexe" (découverte assez récente pour moi, mais qui a bien dû diviser par quinze mes temps de réflexion sur chaque grille).

J'essaye de faire passer l'idée (en fait deux idées, mais l'une est le symétrique de l'autre): 1) si vous attaquez la grille "à l'instinct", vous trouverez insoluble la grille la plus élémentaire; 2) si vous considérez la grille en raisonnant et avec méthode, vous viendrez à bout de pratiquement n'importe lesquelles, même les plus difficiles, et souvent même comme qui rigole. C'est très prêchi-précha, ça, mais d'une part c'est totalement vrai, d'autre part c'est complètement en accord avec la philosophie du cartésien que je suis devenu (de la raison et de la méthode, et on vient à bout de tout).

Donc, réagissez un peu, quoi...  Very Happy

Au programme de la journée, nous avons la grille "lundi", dernière de ma liste que j'aie classée comme facile. Eh bien, c'est vrai, elle est vraiment très facile si vous avez bien pigé tout ce que je vous ai enseigné jusqu'ici. Si vous comprenez ce qu'il faut chercher dans une grille vierge avant d'en attaquer la résolution, vous remarquerez un cavexe qui va super-bien, et sur la base de ce cavexe, ce sera vraiment de la gnognotte.

Mais si vous n'avez pas encore compris, ben faut encore que vous étudiiez la chose...

La voici, la grille "lundi". Pour le moment, je ne vous dis rien du tout -- car je suivrais assez exactement la même démarche qu'hier à la même heure, donc plutôt que de radoter j'aimerais qu'il se trouve un Agnan ou un de ses petits camarades pour redire la même chose que le maître, mais avec ses mots à lui. Ca peut passer pour de l'imitation servile et je sais que ça n'est pas très valorisant de jouer les fayots... mais c'est une méthode d'apprentissage hyper-classique, employée depuis la plus haute antiquité, et qui a fait ses preuves.

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Lundi

Allez, expliquez-moi comment on attaque cette putain de grille, bordel! Je vous assure que je ne pourrai jamais vous dégoter un exemple plus facile à résoudre de manière archi-classique, méthodique et orthodoxe... Mad
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Message par Petitagore le Jeu 12 Mar 2015 - 14:34

Bon, ben je vais continuer à monologuer, voire à radoter puisque la répétition est la base même de la pédagogie...

La grille "lundi" ayant des cases numérotées de 0 à 43 (de gauche à droite et de haut en bas), elle comporte donc 44 cases. Pour commencer à prendre les cases trois par trois sur une grille Triancey, il faut presque toujours commencer par sacrifier deux cases, 44 - 2 = 42, qui est un multiple de trois. On termine presque toujours la prise d'une grille par la prise d'un polygone convexe, qu'il va donc falloir choisir en l'occurrence avec un nombre de cases lui aussi multiple de trois... en d'autres termes il s'agira d'un hexagone. Mais si nous venons de déterminer que le dernier coup de la partie devra être joué sur un hexagone, nous savons aussi et depuis bien longtemps, que l'avant-dernier coup, lui, devra comme presque toujours être joué sur un pentagone -- ayant avec l'hexagone final un certain nombre de cases en commun, certain nombre qui est presque toujours égal à deux: sur les cinq cases de ce pentagone, trois seront prises (en jaune) à l'avant-dernier coup de la partie, les deux autres, non prises à l'avant-dernier coup, seront celles qui appartiennent aussi à l'hexagone final et elles seront prises au tout dernier coup, en même temps que l'ensemble de l'hexagone. Tout ça pour dire que nous cherchons donc sur la grille un hexagone marié à un pentagone.

Des couples hexagone et pentagone, il y en a à ne savoir qu'en faire sur cette grille. Par exemple, les cases 0,1,2,3,4,9,10,16,11. Ou 1,0,9,14,2,10,16,15,22. Ou 28,29,30,31,32,36,37,38,39. Ou encore 18,26,20,27,24,33,25,34,35. Ou encore, ou encore, ou encore... on a vraiment l'embarras du choix.

Eh bien, choisissons tant qu'à faire un couple hexagone-pentagone permettant de dessiner facilement un cavexe (un ensemble de cases encerclant le tore, et sur lequel nous fantasmerons une fin de partie optimale).

Un choix me paraît s'imposer:

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Lundi_cavexe_preconise

... d'une part en raison de son extrême concision (il suffira des trois derniers coups de la partie pour prendre intégralement cet ensemble), d'autre part du fait qu'étant collé contre un des bords de la grille, il est particulièrement facile à photographier mentalement.

Donc, y a plus qu'à. Voilà voilà voilà, quand je vous disais que nous avions affaire à une résolution ultra-classique.

Qui n'a pas suivi?

Mais levez la main, pétard, je ne vais pas vous manger! Sad
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Message par Petitagore le Jeu 12 Mar 2015 - 18:47

Bon. Voici donc l'heure de la correction pour la grille "lundi". Avec le cavexe très concis que je vous ai recommandé, ça pourrait donner par exemple: 5 25 41 32 18 11 30 38 1 16 29 9 (hors du cavexe), 43 7 12 (dedans). Vous noterez une façon de faire que j'affectionne, mais qui n'est pas la seule envisageable: partir d'un creux du cavexe pour aller vers un bord de la grille (c'est pratique quand, comme moi, on a du mal à garder longtemps la mémoire photographique du cavexe préconisé).

Quelques autres cavexes étaient envisageables, notamment:

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Lundi_cavexes

Je vous laisse les dessiner tous seuls: ce n'est vraiment pas difficile, et en plus ça vous entraîne.

Tous ces cavexes étant exploitables, vous pouvez chercher à vous en inspirer pour aboutir à des solutions intégrales tous seuls comme des grands, mais si vous coincez quelque part vous pouvez aussi voir dans le spoiler qui suit comment mon solveur s'en est sorti; si vous avez parfois l'impression que sa stratégie est bizarre et sans fil conducteur, ce n'est pas une impression, c'est comme ça que bosse la sotte mécanique d'un solveur; n'hésitez pas à faire plus élégant!

Solutions complètes:
Avec le cavexe 0: 29 27 43 41 37 39 6 23 24 18 (hors du cavexe), 12 13 15 9 16 (dedans).

Avec le cavexe 1: 17 21 12 35 24 33 31 22 42 29 (hors du cavexe), 7 40 37 0 10 (dedans).

Avec le cavexe 2: 28 39 37 2 5 22 33 23 34 43 (hors du cavexe), 11 0 8 17 13 (dedans).

Avec le cavexe 3: 1 35 28 41 30 3 9 11 15 (hors du cavexe), 5 6 23 33 18 19 (dedans).

Avec le cavexe 4: 27 8 12 5 9 2 43 34 15 36 (hors du cavexe), 11 19 25 23 32 (dedans).

Avec le cavexe 5: 4 32 40 2 30 24 22 11 36 14 (hors du cavexe), 7 13 17 41 20 (dedans).

Demain, pour changer, je crois que nous parlerons philosophie des mathématiques.
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Message par Petitagore le Ven 13 Mar 2015 - 9:59

Comme je vais être absent tout le week-end (lundi compris), je vais vous demander d'alimenter ce fil tous seuls comme des grands. Histoire de changer un peu (et de vous faire un peu ouvrir le bec, bande de zèbres mutiques) ce ne sera pas pour résoudre des grilles mais pour parler un peu philosophie des mathématiques, par exemple sur la base d'éléments que nous avons étudiés ici mais vous pouvez parfaitement en employer d'autres. Cette discussion du week-end sera un prolongement de ce qui a déjà été dit dans le salon "discussions rationnelles" sur l'existence des objets mathématiques (je vous invite à y rejeter un oeil).

Eléments du débat: depuis l'Antiquité, matheux et philosophes (qui n'ont pas toujours appartenu à des tribus différentes) discutent pour essayer de déterminer si les objets mathématiques 1) existent de toute éternité et sont seulement découverts par les hommes; 2) sont des inventions humaines et ne peuvent donc exister avant eux ni même sans eux. La première thèse est la plus répandue depuis Platon, mais la deuxième lui résiste bien et même a fait un énorme retour en force tellement les mathématiciens modernes ont des idées tordues.

Moi-même, j'ai des idées tordues, comme celle du jeu dont que je vous cause sur ce fil. Deux petites images déjà publiées sur ce fil peuvent alimenter le débat. En voici une qui paraît représenter une créature mathématique en diable, bonne candidate pour prétendre qu'elle existe dans le monde merveilleux de la logique de toute éternité:

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Reseau_hexa_sur_tore_carre2

Et en voici une autre qui est assurément une création humaine, puisque je l'ai faite avec mon petit cerveau, ma petite souris et mon petit ordi, il y a quelques jours seulement, juste pour alimenter la discussion sur ce fil:

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Grille_a_neuf_sommets

Question à cent sous: ces deux créatures mathématiques sont-elles de natures différentes? Si oui, en quoi?

Je continue d'alimenter votre perplexité en même temps que la mienne. Toutes les grilles sur lesquelles je vous fais gamberger sont produites, non par un cerveau humain directement, mais par un algorithme lui-même sorti d'un cerveau humain. Ces objets mathématiques sont-ils des inventions ou des découvertes? Ne répondez pas trop vite, attendez la suite...

Quand je résous une de ces grilles avec mon petit cerveau, j'ai quand même un peu le droit de considérer que ma solution est une invention humaine, je veux mon neveu: ça a grésillé dans mes neurones au point de me cramer le cuir chevelu. Mais à côté de ma solution, qui est une invention humaine, je peux vous en montrer vingt qui sont, elles, trouvées par mon solveur. Ces solutions informatiques sont-elles des inventions ou des découvertes?

Et vous savez en plus qu'il arrive que le solveur et moi nous trouvions à peu près les mêmes solutions, et en tout cas les mêmes cavexes?

Si dans quinze milliards d'années un matheux extraterrestre de la planète Zorglub entreprend de faire l'inventaire de toutes les solutions possibles avec un solveur de sa composition, il sera très susceptible de trouver les mêmes solutions que mon solveur quinze milliards d'années avant. Est-ce à dire que ces solutions existent de toute éternité?

Sur des grilles qui n'existent pas de toute éternité?

Vous, je sais pas, mais moi mon cerveau disjoncte. Very Happy


Dernière édition par Petitagore le Ven 13 Mar 2015 - 12:32, édité 1 fois (Raison : orthographe)
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Message par Pieyre le Lun 16 Mar 2015 - 20:09

Oui, il va falloir que j'y aille faire un tour dans ton sujet sur l'existence des objets mathématiques. Je me suis inscrit sur le salon des discussions rationnelles exprès pour ça. Mais, comme tu y as fait intervenir mon directeur de thèse, il va falloir que j'étudie un peu son article.

Bon, en gros, je dirais que les phénomènes se présentent à nos sens et que les modèles qu'on leur donne (ou d'autres structures) sont conçues en notre esprit. Pour les premiers on parlera d'existence, pour les seconds on emploiera plutôt le verbe être en son sens de copule, c'est-à-dire de relation. Ce n'est pas satisfaisant pour moi, parce qu'il faudrait introduire un troisième terme pour l'existence personnelle, relativement à laquelle on parle aussi de son être ou de son essence.

En bref, la douleur existe et le nombre n'existe pas mais il est... en relation avec d'autres concepts mathématiques. Le problème, c'est que le nombre existe aussi en tant que trace neuronale dans notre cerveau (et que par ailleurs la douleur est aussi représentée en nous sous la forme de telles traces, aussi qu'on peut en former un modèle). Mais, si l'on pousse les choses à l'extrême, en nous se présentent des sensations et des idées comme s'il y avait deux types de réalité, qu'on appréhendera respectivement selon nos perceptions externes et internes.

Autant il est difficile de récuser la réalité des sensations, autant il est facile d'oublier qu'en permanence nous formons des pensées et qu'elles nous sont nécessaires quoi qu'on fasse. C'est pour moi la source de la récusation des idées pures : on ne les sens pas de la même manière que l'on touche la matière. Aussi on fait son Saint Thomas. Pourquoi au contraire les mathématiciens sont-ils souvent convaincus par une sorte de réalité des structures qu'ils élaborent ? Je me demande si, à la façon de ce qui nous vient ordinairement des sens, ce ne serait pas parce qu'ils éprouvent davantage le contentement de construire ou la déception de ne pas y parvenir.

Bon, alors, pour tes grilles, sont-elles de nature différente ?

Déjà, tu ne les définis pas. Un dessin, ce n'est pas suffisant pour cela. Tu me diras qu'implicitement il y a des points et des segments qui les relient, et que c'est cela qu'il faut comprendre. D'accord.

Pourtant, tout dépend comment on interprète tes grilles. Si on prend en compte la position exacte des sommets, il est clair que les grilles sont différentes. Mais s'agit-il de leur nature (qu'il me faut comprendre comme leur essence mathématique) ? D'après ce que je connais de tes grilles, ce n'est pas ce qui importe essentiellement. Ce sont des graphes, dont les sommets sont marqués deux fois sur les bords (voire quatre pour les coins) et des arêtes qui les relient, de longueur arbitraire (sinon selon les considérations pratiques que tu as indiquées).
Mais, même comme ça, tes grilles sont toujours de nature différente, ne serait-ce que parce que la répartition des arités des sommets est différente : 6 pour la première, 4, 5, 6 et 8 pour la seconde.

Maintenant, tu aurais pu faire plus compliqué : deux grilles avec une répartition semblable des arités mais différentes malgré tout.

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Message par Petitagore le Mar 17 Mar 2015 - 8:48

Pieyre a écrit:Pour les premiers on parlera d'existence, pour les seconds on emploiera plutôt le verbe être en son sens de copule, c'est-à-dire de relation. Ce n'est pas satisfaisant pour moi

Pour moi non plus. Bien sûr, on peut toujours s'astreindre à employer tel mot dans un cas, tel mot dans un autre -- mais c'est tellement facile que ça peut aussi être fait avec une mauvaise foi entière. "Thérèse n'est pas moche, elle n'a pas un physique facile, c'est différent." Ou encore, quand Brejnev met des caméras dans les couloirs d'un hôtel, c'est de la vidéosurveillance, mais quand Patrick Balkany en met dans les rues de Levallois-Perret, c'est de la vidéoprotection.

Ma question n'est pas: "peut-on s'astreindre à employer des mots différents", mais "quels arguments avons-nous pour dire que les deux bazars sont de nature différente?"

parce qu'il faudrait introduire un troisième terme pour l'existence personnelle, relativement à laquelle on parle aussi de son être ou de son essence.

Faut-il dire "je pense, donc je suis", ou "je pense, donc j'existe"? Descartes a choisi la première façon de dire, et pas par hasard: il postulait l'immortalité de l'âme.

Pourquoi au contraire les mathématiciens sont-ils souvent convaincus par une sorte de réalité des structures qu'ils élaborent ? Je me demande si, à la façon de ce qui nous vient ordinairement des sens, ce ne serait pas parce qu'ils éprouvent davantage le contentement de construire ou la déception de ne pas y parvenir.

Idée intéressante. Mais je ne pense pas que ce soit le noeud du problème.

Si on prend en compte la position exacte des sommets, il est clair que les grilles sont différentes.

Je le sais bien. Ce que je demande, c'est si elles sont de natures différentes. Saddam Hussein est différent de Marilyn Monroe, mais les deux sont de même nature (des êtres humains) -- tandis qu'il y a une différence de nature entre Saddam Hussein, qui est un être de chair et de sang, et une photo de Saddam Hussein, qui est un bout de bristol imprégné de sels argentiques, même si dans les deux cas on peut voir une moustache taillée de la même façon.

même comme ça, tes grilles sont toujours de nature différente, ne serait-ce que parce que la répartition des arités des sommets est différente : 6 pour la première, 4, 5, 6 et 8 pour la seconde.

Les nombres 9999 et 8192 sont-ils de nature différente? Il me semble qu'on peut aussi facilement trouver des arguments pour répondre oui que non.

Et qu'est-ce qu'on en a à fiche, me direz-vous? C'est peut-être ça la vraie question, en fait. Very Happy

Mais ça ne veut pas dire que la réponse est simple, ni inintéressante.
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Message par Petitagore le Mar 17 Mar 2015 - 9:03

Enfin bref. J'en ai fini avec les grilles censées être simples de mon échantillonnage, voici donc la première grille censée être de difficulté moyenne: la grille "mars". Je rappelle à nos chers auditeurs que le jeu consiste à cliquer de façon judicieuse sur les cases triangulaires afin de déclencher des réactions en chaîne prenant trois cases simultanément, ce qui aura pour conséquence de colorer ces cases en jaune. C'est celui d'entre vous qui trouvera le premier une façon d'atteindre le maximum possible de cases jaunes qui gagnera ce magnifique panier garni offert par notre sponsor, la charcuterie Dumoutiers du Tremblay-lès-Gonnesse, quand je pense charcutier je vais chez Dumoutiers.

Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête - Page 2 Mars

Eh bien, Simone, vous qui nous parlez de Cajars, petite ville de l'Aveyron, avez-vous avec vous un sympathique candidat qui soit disposé à monter à la tribune pour nous proposer une stratégie?
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