Problème mathématique

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Problème mathématique

Message par Unhorriblehurlement le Lun 27 Fév 2012 - 17:26

Bonjour à tous, j'ai un problème sur un DM de mathématiques, (niveau 1è S, c'est fou). En effet, je tombe sur une absurdité et j'aimerais que vous m'expliquiez où j'ai fait mon erreur ou si elle provient de l'énoncé.
Merci d'avance.

L'énoncé :
Dans un repère du plan, on donne un triangle ABC tel que A(0;0), B(2;5) et C(6;2).
1 Tracer le triangle ABC, et déterminer les éqauations des droites (AB) et (AC).
2 Déterminer les réels a,b et c tels que la courbe représentative Cf de la fonction polynôme suivante f:x→ax^3+bx²+cx passe par A,B et C et admette respectivement pour tangentes en A et C les droites (AB) et (AC).

NB : On admettra sans démonstration que la fonction dérivée de f est définie sur R par : f'Mad→3ax²+2bx+c

La 1, les solutions yab=5/2x et yac=1/3x
Jusque là, pas de problèmes. Mais avec la 2 vient les galères.
Soient a' l’abscisse de A, b' celle de B et c' celle de C.
D'après le cours : yab=f'(a')(x-a')+f(a')
Or a'=0 et f(a')=0
Donc yab=f'(a')x=f'(0)x=(3a0²+2b0+c)x=cx
Or yab=5/2x
Donc c=5/2.

Ensuite, on sait que Cf passe par B et C donc f(b')=f(2)=5 et f(c')=f(6)=2
On a le système suivant :
/ a2^3 + b2² + 2c = 5
\ a6^3 + b6² + 6c = 2
Qui équivaut à :
/ 8a + 4b + 2x5/2 = 5 = 8a + 4b + 5
\ 216a + 36b + 6x5/2 = 2 = 216a + 36b + 15

Prenons la première équation :
8a + 4b + 5 = 5 équivaut à : 8a + 4b = 0
Donc 8a = -4b
Donc 2a = -b
Donc b = -2a

Substituons b par -2a dans la seconde équation, nous obtenons :
216a - 72a + 15 = 2 équivaut à : 144a +13 = 0
c.a.d 144a=-13
cad a=-13/144
cad b=13/72

Ces 3 réels vérifient que A, B et C appartiennent à Cf, que (AB) est la tangente en A mais essayez pour la tangente en C, il y aura un petit problème... Pourtant, tout a été démontré.

Je voudrais donc savoir où est la faille.

Merci d'avances !

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Re: Problème mathématique

Message par eligophoenix le Lun 27 Fév 2012 - 18:15

AHAHA les maths utile dans la vie


non je déconne, sauf si t'es ingénieur ou scientifique xD

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Re: Problème mathématique

Message par imposteur le Lun 27 Fév 2012 - 18:29

Sans foncer dans l'algèbre (que je ferais de tête évidemment, mon bloc de feuilles se trouve trop loin ^^), un truc me saute aux yeux: tu as une parabole à déterminer sur base de 5 conditions (3 points de passage + 2 équations tangentes). Or comme une parabole est de type

y = ax² + bx + c

je vois pas trop comment tu peux vérifier tes 5 contraintes là où tu n'as que 3 degrés de liberté (à moins qu'une bonne fée se soit arrangée pour que ça colle)...

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Re: Problème mathématique

Message par Unhorriblehurlement le Lun 27 Fév 2012 - 18:36

Tu as mal lu, ce n'est pas une parabole mais une représentation graphique d'une équation de degré 3.
"y = ax^3 + bx² + cx"
C'est la dérivée qui est parabolique.

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Re: Problème mathématique

Message par paela le Lun 27 Fév 2012 - 18:43

En fait une équation de lieu géométrique "vérifie" automatiquement la grosse infinité de conditions qu'on peut porter sur les points la constituant, il suffit que les conditions soient bien impliquées par les caractéristiques du lieu!

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Re: Problème mathématique

Message par Unhorriblehurlement le Lun 27 Fév 2012 - 18:47

Et en l’occurrence Paela ? C'est ce que je me suis dit aussi. Il me semble qu'elles le soient (le prof' nous aurait pas collé un DM de vacance avec un énoncé erroné...) , mais si elles le sont, qu'est-ce qui est faux dans mon raisonnement ?

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Re: Problème mathématique

Message par Thaïti Bob le Lun 27 Fév 2012 - 18:50

jsuis en train de te rédiger une réponse utile Wink

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Re: Problème mathématique

Message par Unhorriblehurlement le Lun 27 Fév 2012 - 19:03

Merci, ça changera ^^

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Re: Problème mathématique

Message par Thaïti Bob le Lun 27 Fév 2012 - 19:19

pf flemme de reprendre tes calculs pas à pas.

Moi ma démarche que tu pourrais appliquer pour vérifier :

-Cf a pour tangente en A la droite (AB) <=> f'(xA)=5/2
<=> 3a0²+2b0+c=5/2 => c=5/2. ok

-Cf a pour tangente en C la droite (AC) <=> f'(xC)=1/3
<=> 3a*6²+2b*6+5/2=1/3 <=> 108a+12=0 <=> a=-12/108

-Cf passe par A <=> f(xA)=yA <=> f(0)=0 trivial

-Cf passe par B <=> f(xB)=yB <=> f(2)=5
<=> 3a*2^3+2b*2²+5/2 *2=5 <=> 3*(-12/108)*8+2b*2+5=5 <=> -8/3 +4b = 0 <=> b=2/3

verif avec
-Cf passe par C <=> f(xC)=yC <=> f(6)=2
3*(-12/108)*6^3+2/3*6²+2*5/2*6 = -72 +2448+15=-33-9 EPIC FAIL

bon attend je reprend tout marre des fôtes de kalkule ! désolé lol
Bon et sinon t'es sûr que comme moi tu t'es pas emmêlé avec des exposants 2 au lieu de cubes ? Le problème a une solution, on a une cubique qui passe par trois points et la valeur de sa dérivée en 2 points.


Dernière édition par Thaïti Bob le Lun 27 Fév 2012 - 19:31, édité 2 fois

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Re: Problème mathématique

Message par Unhorriblehurlement le Lun 27 Fév 2012 - 19:25

J'suis sûr, j'ai fait faire par plein d'autres personnes etc.
Même conclusion.

Le carré provient du fait qu'au moment du calcul de c, on se base sur la dérivée en 0. Qui égale 3ax² + 2bx + c

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Re: Problème mathématique

Message par imposteur le Lun 27 Fév 2012 - 19:59

paela a écrit:En fait une équation de lieu géométrique "vérifie" automatiquement la grosse infinité de conditions qu'on peut porter sur les points la constituant, il suffit que les conditions soient bien impliquées par les caractéristiques du lieu!

0 cents Smile

Soit je lis de travers, soit je pense que tu te trompes...

"Grosse infinité de conditions"

Trouve-moi une équation de droite qui passe par les poins (0,0), (1,1) et (2,1) (pourtant ya que 3 contraintes, c'est loin d'être infini Wink )

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Re: Problème mathématique

Message par Thaïti Bob le Lun 27 Fév 2012 - 20:18

p**tain mais ouais, essaie de tracer à quoi devrai ressembmer une telle courbe c'est impossible.
elle peut pas à la fois etre tangente au point 0,0 et de coeff 5/2 et passer par le point 2,5 qui est aussi sur cette même droite. (sachant que c'est juste un polynome de degré 3 donc dont la dérivée change que 2 fois de signe)
Erreur d'énoncé

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Re: Problème mathématique

Message par paela le Lun 27 Fév 2012 - 20:56

Je vote pour l'erreur d'énoncé aussi.

Mais pour garantir mon honneur s'il s'avère que c'était une erreur de calcul, j'ajoute: "je m'y suis pas trop penché mais je sens qu'il y a une erreur quelque part, soit dans l'énoncé soit dans la réponse, votre truc à l'air juste hein mais parfois c'est mathématique".

@imposteur: J'ai peut-etre mal compris. Pour moi ce que t'as dit c'est qu'à partir de l'équation de la parabole on pouvait pas retrouver 5 conditions (tangence en certains points ou seulement appartenance de certains points). Pourtant si on cherche des conditions de ce genre, sachant qu'il y a équivalence entre l'équation et l'infinité d'appartenances des points de la parabole à la parabole on retrouve nécessairement toutes ces conditions dans l'équation.

Pour ton exemple ok il n'y a pas de droite qui passe par ces points non-alignés. Mais c'est juste une question de choix des conditions. Les énoncés sont censés fournir des conditions qui ne se contredisent pas entre elles.

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Re: Problème mathématique

Message par Unhorriblehurlement le Lun 27 Fév 2012 - 22:35

Thai' : On est ok ! Merci !

Donc je le justifie comment ? T-T

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Re: Problème mathématique

Message par Thaïti Bob le Lun 27 Fév 2012 - 23:10

Euh dis au prof de vérifier son énoncé et qu'il donne un exo correct, car démontrer que la courbe dont il est question ne peut pas être trouvée, c'est pas vraiment niveau 1ereS, c'est pas le but du programme ce genre de raisonnement qu'il faudrait montrer. Ou alors fait une phrase comme je l'ai faite disant qu'en essayant de dessiner un polynôme de degré 3 ayant ces contraintes est impossible. ("une cubique ne fait que deux virages", il faudrait que notre courbe puisse en faire 3 et ce serait donc un poly de degré4)

Il est possible de trouver un poly de degré3 passant par A B C et ayant comme tangente en C la droite (AC) par contre ça c'est faisable et c'est dans l'esprit des exos de 1ere.

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Re: Problème mathématique

Message par Unhorriblehurlement le Lun 27 Fév 2012 - 23:45

Thaïti' : Laisse, j'vais faire un raisonnement par l'absurde. Ca lui ira.

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Re: Problème mathématique

Message par Thaïti Bob le Mar 28 Fév 2012 - 0:12

pense au reste de la classe, (à moins que tu sois dans un grand lycée de haut niveau) eux ne pourront pas le faire alors qu'il suffirait apparement d'une correction de l'énoncé pour que ça redevienne un prob d'application du cours, tout à fait dans le programme 1ereS. Les démos par l'absurde normalement c'est après la terminale en théorie non ?

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Re: Problème mathématique

Message par Unhorriblehurlement le Mar 28 Fév 2012 - 9:34

On doit le rendre pour la rentrée.
J'vais lui démontrer que 1=2, ça lui ira.

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Re: Problème mathématique

Message par imposteur le Mar 28 Fév 2012 - 11:17

pour démontrer que 2=1:

on sait que

a² - b² = (a - b)(a + b).

de là,

x² - x² = (x - x)(x + x) or x² - x² = x(x-x)

en mettant (x - x) en évidence, on trouve

x+x = x, ou encore 2x = x

d'où

2 = 1

cqfd.

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Re: Problème mathématique

Message par Unhorriblehurlement le Mar 28 Fév 2012 - 12:11

Imposteur : Ton post' est inutile, tu divises par 0. C'est un peu comment dire, très très très ancien.

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Re: Problème mathématique

Message par imposteur le Mar 28 Fév 2012 - 14:56

Spoiler:
Chut! Fallait pas le dire! Wink

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