Énigme des 12 billes

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Énigme des 12 billes

Message par Nicolas_72 le Mer 20 Juin 2018 - 19:49

Encore une énigme classique et excellente !

Vous disposez d'une balance de Roberval et de 12 billes d'apparence toutes identiques.
1 bille parmi les 12 a une masse différente.
On ne sait pas si elle est plus lourde ou plus légère que les autres.

A l'aide de seulement 3 pesées, comment pouvez-vous identifier avec certitude la bille différente et préciser si elle est plus légère ou plus lourde que les autres ?
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Re: Énigme des 12 billes

Message par Elliot le Dim 24 Juin 2018 - 23:04

Quelqu'un a une idée ?
Moi j'y arrive mais .... en 4 pesées >_< (oui donc j'y arrive pas en fait Razz )
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Re: Énigme des 12 billes

Message par plusdidee le Dim 24 Juin 2018 - 23:53

Un jour j'apprendrai à lire ....


Dernière édition par plusdidee le Lun 25 Juin 2018 - 11:21, édité 1 fois
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Re: Énigme des 12 billes

Message par Elliot le Lun 25 Juin 2018 - 8:02

On sépare les billes en 3 groupes de 4.
On met 2 groupes de chaque côté de la balance.
Là, plusieurs cas :

1) La balance penche d'un côté
  On retient si elle penche à gauche ou à droite et on remplace le groupe de gauche par celui encore non pesé
 
1.a) Si la balance est à l'équilibre
   Le groupe contenant la bille différente est celui qu'on a remplacé.
   Si la balance penchait à gauche, la bille différente est plus lourde, sinon plus légère.

1.b) La balance penche toujours
   Le groupe contenant la bille différente est celui du côté droit.    
   Si la balance penche à droite, la bille différente est plus lourde, sinon plus légère.

2) La balance est à l'équilibre
 C'est le dernier groupe qui contient la bille différente. On remplace le groupe de gauche par celui encore non pesé.
  Si la balance penche à gauche, la bille différente est plus lourde, sinon plus légère.

On sait maintenant dans quel groupe de 4 se trouve la bille et si elle est plus légère ou plus lourde.

On prend 2 billes du groupe de 4. On les met chacune de part et d'autre de la balance
Si la balance penche d'un côté, on sait où est la bille différente.

Si la balance est à l'équilibre, on met les deux dernières de part et d'autre de la balance pour trouver la bonne.


Voilà où j'en suis !
Y a peut-être une optimisation à faire sur la fin, mais j'en ai pas trouvé :/
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Re: Énigme des 12 billes

Message par Invité le Lun 25 Juin 2018 - 10:53

Bonjour Elliot, j'étais arrivé à la même conclusion que toi jeudi matin, mais j'avais laissé le problème de côté pour faire mon travail et je m'en suis plus occupé ensuite avant ce matin en lisant ton message. J'avais sans doute travaillé en arrière-plan parce que la solution en cas d'équilibre m'est apparue spontanément. Il me reste à dégager une solution qui soit satisfaisante pour les déséquilibres et d'essayer de mettre ça au clair.

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Re: Énigme des 12 billes

Message par Invité le Lun 25 Juin 2018 - 14:08

Voilà. En effet, le problème c'était bien réglé de lui-même en fond et la réponse pour le cas du déséquilibre est venue assez vite également.  Ça a été bien plus long a rédiger et mettre en forme qu'à trouver en fait. ^^

Je suis pas toujours doué pour expliquer, alors je vais essayer d'illustrer ça au mieux, ça sera plus clair...

On recherche deux choses par rapport à la mauvaise bille :
Son identité (laquelle parmi les 12),
et son état (plus légère ou plus lourde).
Ce sont ces deux éléments qu'on doit identifier en trois pesées.

1ère pesée:
Ici, ça me semble évident, il faut séparer les billes en 3 groupes de 4, a, b et c.
On pèse le groupe a contre le groupe b, le groupe c n'est pas pesé.

a1 a2 a3 a4_!_b1 b2 b3 b4

1. La balance reste en équilibre : la mauvaise bille est dans c.
Une pesée en deux par deux de ces quatre billes laisse un cas où la mauvaise bille n'aura pas son identité et son état validés à temps. il convient donc de trouver une autre méthode.

2ème pesée:
On prend trois billes quelconques du groupe a (ou b) qu'on pèse contre trois billes de c.

a1 a2 a3_!_c1 c2 c3

1.1. La balance reste en équilibre : la mauvaise bille est c4identité validée.

3ème pesée:
On pèse c4 contre n'importe quelle autre bille pour savoir si elle est plus légère ou plus lourde. → état validé.

a1_!_c4

Pour ce cas : identité et état validés → problème réglé

1.2. La balance est en déséquilibre : la mauvaise bille est c1, c2 ou c3 et on sait si elle est plus lourde ou plus légère qu'une bille neutre (eg. : a1 a2 a3) → état validé.

3ème pesée:
On pèse c1 contre c2,

c1_!_c2

Si la balance est en déséquilibre, l'état nous indique laquelle des deux est mauvaise. → identité validée.
Si la balance est en équilibre, c3 non pesée est la mauvaise.  → identité validée.

Pour ce cas : identité et état validés → problème réglé

2. La balance est en déséquilibre : la mauvaise bille est dans a ou b.
Ce cas est bien plus problématique puisqu'il laisse 8 billes potentiellement mauvaises après la première pesée et seulement deux pesées pour en dégager une parmi elles.
Un points essentiel à souligner alors (confirmé par l'autre cas) :
Si on connaît l'état de la bille, une pesée permet d'identifier son identité parmi trois.

Cela donne l'objectif de la deuxième pesée et il ne faut donc pas avoir plus de 3 possibilités après cette deuxième pesée...
En d'autre termes, il faut réussir à diviser ces 8 billes en trois groupe distincts (de 3 éléments maximum) sinon le doute subsistera :

2ème pesée:
On peut donc déduire que des pesées par 2, 2+2 ou 3+1 laissent trop d'éléments de côté (4) et vont demander une pesée supplémentaire, comme l'a souligné Elliot.
Puisqu'il y a nécessite à mesurer 3 groupes lesquels ne peuvent faire plus de 3 éléments, on ne peut laisser plus de 3 billes non pesées et il doit rester 10 billes sur la balance (dont les 4 neutres de c).
De la même façon, on ne peut garder plus de trois éléments de la première pesée dans le même plateau pour la deuxième pesée.

Cela ne laisse qu'une solution (enfin 2, ça fonctionne en miroir, mais le résultat est le même).
On va donc mettre de côté deux billes de a, on va mettre les deux autres avec 3 billes de b sur un plateau, la dernière bille de b est sur l'autre plateau avec les 4 billes de c qui sont neutres.

a1 a2_b1 b2 b3_!_b4_c1 c2 c3 c4

Il y a trois possibilités alors :

2.1. La balance reste en équilibre : La mauvaise bille a été enlevée, c'est a3 ou a4état validé (par la première pesée).

3ème pesée:
Elle importe peu, on peut peser a3 contre a4 et regarder si ça penche du même côté qu'en première pesée ou pas, ou on peut en peser une contre n'importe laquelle des dix autres billes (moins de risque d'erreur) et voir si le plateau reste en équilibre ou pas et en déduire si c'est cette bille ou l'autre la mauvaise. On va retenir cette option :

a3_!_c1

Mais quelle que soit la méthode, pour ce cas : identité et état validés → problème réglé

2.2. La balance penche du même côté qu'en première pesée : La mauvaise bille est dans le même plateau, c'est a1, a2 ou b4.

3ème pesée:
On connaît l'état potentiel de chaque bille (eg. si a plus lourd, b est léger, et vice versa). On doit éliminer ce côté potentiel en mesurant a1 contre a2 et en laissant b4 non pesée.

a1_!_a2

Trois cas :
Le déséquilibre reste identique, a1 est la mauvaise bille, on connaît son identité et son état.
Le déséquilibre s'inverse, a2 est la mauvaise bille, on connaît son identité et son état.
L'équilibre se fait, b4 est la mauvaise bille (identité trouvée) et les deux premières pesées donne son état.

Dans les trois hypothèses : identité et état validés → problème réglé

2.3. La balance penche à l'inverse qu'en première pesée : La mauvaise bille est passé dans l'autre plateau, c'est donc b1, b2 ou b3état validé.

3ème pesée:
On est dans la même situation que dans le cas 1.2.
On va peser b1 contre b2 et laisser b3 non pesée.

b1_!_b2

Si la balance est en déséquilibre, l'état nous indique laquelle des deux est mauvaise. → identité validée.
Si la balance est en équilibre, b3 non pesée est la mauvaise.  → identité validée.

Pour ce cas : identité et état validés → problème réglé

On peut voir que de cette façon, tous les cas sont couverts en trois pesées et l'identité et l'état de la mauvaise bille sont identifiés.

PS : J'ai essayé de faire ça de façon présentable, j'espère que ça ira, je travaille à côté et je faisais cette présentation en parallèle alors j'espère ne pas avoir laissé d'étourderies. Si c'est le cas, précisez, je corrigerai.

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Re: Énigme des 12 billes

Message par Nicolas_72 le Lun 25 Juin 2018 - 22:45

J'ai résolu ce problème il y a 19 ans mais je me rappelle y avoir mis 25 minutes en mode papier/crayon et non de tête.

Concernant la méthode proposée par Hécate :
Spoiler:
Ma solution (que je viens de retrouver) ne nécessite pas de peser 2x5 billes lors de la seconde pesée mais seulement 2x4 billes.
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Re: Énigme des 12 billes

Message par Invité le Lun 25 Juin 2018 - 23:13

Nicolas_72:
Avec trois billes neutres alors et pas quatre, je suppose ?

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Re: Énigme des 12 billes

Message par Invité le Lun 25 Juin 2018 - 23:20

Précisions méthodo:
Mon travail papier a été très succinct, si tu es curieux, mais donne le cheminement que j'ai fait :


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Re: Énigme des 12 billes

Message par Elliot le Lun 25 Juin 2018 - 23:22

@Ἑκάτη
Bravo pour ta résolution !

Mais, déjà en écrivant là où j'en étais, je me disais que ça me paraissait compliqué.
Si on pose ce problème à l'oral, je me disais que la solution devait être explicable sans trop de possibilités.

Mais tu es arrivé plus loin que moi, bravo !
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Re: Énigme des 12 billes

Message par Invité le Lun 25 Juin 2018 - 23:27

L'explication la plus simple qu'on puisse donner est celle-ci, finalement :

Spoiler:
On peut toujours peser trois billes à la fois : celle à gauche, celle à droite et celle qui n'est pas sur la balance. Courbette

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Re: Énigme des 12 billes

Message par Nicolas_72 le Lun 25 Juin 2018 - 23:31

@Ἑκάτη : pour la seconde pesée...

Spoiler:
(a1 a2 b1 b2) versus (a3 b3 c1 c2)
permet de scinder en 3 groupes ayant le bon goût de ne nécessiter plus qu'une ultime pesée :
a1 a2 b3 (qui ne "bougent" pas)
b1 b2 a3 (qui "bougent")
a4 b4 (qui sont "hors-jeu")

Rem : désolé mais je n'ai pas le courage d'écrire tous les détails.

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Re: Énigme des 12 billes

Message par Invité le Lun 25 Juin 2018 - 23:36

Pas besoin d'écrire plus, je t'ai demandé parce que je voulais pas faire la démonstration moi-même non plus, la conclusion que tu donnes me suffit et me donne son cheminement. Wink

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Re: Énigme des 12 billes

Message par Invité le Mer 22 Aoû 2018 - 11:41

je l'ai en 0 pesée.

je prends une planche inclinée (la longueur dependra du niveau de précision attendu par rapport a la différence de masse entre la bille modifiée et les autres billes identiques) et je fais une course de billes.



la premiere ou la derniere arrivée en bas de la planche, sera la bille modifiée.

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