Pourquoi ne pas aimer les maths ?

Pourquoi certaines personnes ont -elle peur des mathématiques ?

On peu citer Von Neumann pour les rassurer:  " If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is".

Plus sérieusement, je comprends que des gens ayant une aversion générale pour l'abstraction puissent être intimidés par un symbolisme apriori impénétrable, mais des gens qui aiment par exemple la philosophie ou n'importe quel autre niveau de questionnement abstrait, il me semble qu'ils ne devraient pas détester ou craindre les maths.  Ils pourraient même plutôt être excités par ce discours mystérieux. Comme devant de la poésie en quelque sorte, mais avec à la clé, les outils pour comprendre (expliquer) la nature.  

Je sais bien aussi que l'enseignement des maths au primaire et secondaire est pitoyable. Des gens intelligents m'ont dit qu'ils avaient le sentiments que rien n'étaient expliqués et les justifications semblent bidon: voilà sinus, cosinus, voilà des equations sorties de nulle part, mais l'enseignement oublie de parler du rôle des transformations du cercle dans les ondes, les rythmes, les vibrations...  Peut-être que s'il expliquait le but et ce en quoi c'est rattaché à la vie de chacun, certains s'y interesseraient davantage.  

Ensuite, il y a tout les maths sur les infinis et la théorie des ensemble: ça ne vous fait pas rêver les histoires d'infinis ? Et tous les jeux comme le sudoku ?   Et savoir interpréter minimalement les statistiques dont les média ou politiciens nous gavent, histoire de vérifier que c'est crédible ?  

Il faut quand même se dire que les mathématiques sont une partie importante de la culture d'aujourd'hui, surtout comme support de toute la physique et des technologies...  Entendre des gens parler de fréquence de vibration... sans qu'il n'ait une idée de ce qu'est une onde ou un sinus, ça, à moi, ça me fait peur.  

Bref: si vous avez des idées d'explications concernant ce phénomène, ou des idées de le "guérir" ....  ou simplement des anecdotes de mathophobie.

J'ai une anecdote racontée par une enseignante de mathématique en faculté.

À la suite d'une conférence donnée par Henri Poincaré, vient le temps des questions du public.
Un intervenant déclare : « Mais, enfin, ces mathématiques, à quoi ça sert ? »
Et Poincaré de répondre : « Et vous, Monsieur, à quoi servez-vous ? »

Mais je n'ai pas réussi à retrouver la référence de cette anecdote. Aussi ce n'était peut-être pas exactement comme ça.

Pieyre a écrit:J'ai une anecdote racontée par une enseignante de mathématique en faculté.

À la suite d'une conférence donnée par Henri Poincaré, vient le temps des questions du public.
Un intervenant déclare : « Mais, enfin, ces mathématiques, à quoi ça sert ? »
Et Poincaré de répondre : « Et vous, Monsieur, à quoi servez-vous ? »

Mais je n'ai pas réussi à retrouver la référence de cette anecdote. Aussi ce n'était peut-être pas exactement comme ça.

hahaha OUF... J'adore Poincaré, mais je le croyais moins violent..

Il me semble avoir vu quelque part que tu enseignais les maths (je dis ça, je ne suis pas certain), est-ce que tu es confronté parfois à des questions d'étudiants qui même lorsqu'ils comprennent ce qu'il y a à comprendre "à leur niveau", sont persuadés de ne rien comprendre, et que cela les découragent.

Moi aussi cela m'étonne de la part de Poincaré. Je ne mets pas en doute le récit de ma prof, mais j'aimerais bien connaître les circonstances exactes.

Quant à moi, j'ai surtout enseigné au niveau lycée; et encore, c'est lors de cours particuliers que j'ai pu avoir des réflexions de ce genre. En fait j'ai surtout eu des élèves qui étaient frustrés de ne pas comprendre à quoi servaient en pratique ces conventions et cette abstraction, qui avaient besoin d'avoir cette compréhension avant d'admettre pleinement ces constructions. Au début je me suis juste dit qu'ils n'étaient pas doués pour cette discipline et qu'ils se cherchaient des excuses, dans la mesure où, à leur âge, l'abstraction me plaisait, et que j'envisageais juste a priori qu'il pouvait y avoir des applications, qui venaient d'ailleurs par la suite. Mais, cette préoccupation se répétant, j'ai fini par conclure qu'il y avait deux façons d'aborder les constructions mathématiques : soit pour elle-mêmes, soit en adéquation avec des problèmes réels.

J'identifie plusieurs causes de "mathophobie" (avec quelques redondances):

-Les mathématiques ne sont pas en première ligne pour expliquer la nature; elles sont pour beaucoup inutiles.

-Elles demandent d'aller contre son intuition.

-Elles demandent une pratique assez soutenue (en particulier pour savoir calculer) et assez rébarbative pour la plupart. (pour les autres, le calcul est un jeu ou un art)

-Elles sont abstraites et parfois intellectuellement ardues.

-L'enseignement des mathématiques tend à les transformer en liste de méthodes magiques servant à résoudre des problèmes qui n'existent que dans les manuels de mathématiques.

-Parallèlement, l'enseignement des disciplines dans lesquelles les mathématiques trouveraient naturellement une application tend à se débarrasser du contenu mathématique servant à modéliser, dériver des lois et calculer.

-La rigueur mathématique et la démonstration ne sont plus enseignées, les objets sont rarement définis, alors que ce qui est enseigné reste très scolaire. Il y aurait beaucoup à dire sur ce point.

D'accord sur toute la ligne, sauf sur ce point :

paela a écrit:
-La rigueur mathématique et la démonstration ne sont plus enseignées, les objets sont rarement définis, alors que ce qui est enseigné reste très scolaire. Il y aurait beaucoup à dire sur ce point.

je doute qu'on puisse définir ce que l'on manipule très précisément, puisque les définitions elles-memes peuvent etre très difficile à expliquer (va expliquer à des primaires que l’addition sur des entiers définit un groupe abélien...).

A mon avis on n'attache pas assez d'importance au passage d'un cas concret à un énoncé mathématique.
Vous savez, le cas du panier de la ménagère, ou plein d'autres exercices amusants, ou supposés l'être.
Il y a des livres là-dessus, mais à l'école les mathématiques sont trop vites éloignées d'une certaine forme de concret, sans toutefois faire de physique.

hobb :
je doute qu'on puisse définir ce que l'on manipule très précisément, puisque les définitions elles-memes peuvent etre très difficile à expliquer (va expliquer à des primaires que l’addition sur des entiers définit un groupe abélien...).

On peut définir de façon précise l'addition dans l'ensemble des entiers naturels (alors que ce n'est même pas un groupe), et ceci à l'école primaire. Une définition précise, cela ne veut pas dire une définition minimale ni même forcément généralisable (c'est comme un ensemble générateur par rapport à une base en théorie des espaces vectoriels : qui peut le plus peut le moins).
Ainsi on part de la connaissance de la numération et on définit l'addition entre tout entier et tout autre selon une méthode calculatoire, en présentant la commutativité et l'associativité, mais sans utiliser ces mots, comme des choses qui vont de soi.
C'est une sorte de façon concrète dans l'abstrait.

Siamois :
A mon avis on n'attache pas assez d'importance au passage d'un cas concret à un énoncé mathématique.

Les cas concrets sont très présents à l'école primaire, et c'est bien normal. Enfin, c'était ainsi de mon temps. Dans un contrôle de mathématique, il y avait la partie exercice, avec des questions de technique calculatoire, et la partie problème, qui partait toujours d'un cas concret où l'on appliquait ces techniques.

Mais, à partir du collège, il est normal aussi que l'on commence à aborder des notions abstraites, tout en leur donnant des applications concrètes. Simplement, les calculs de la primaire, même si c'est formel, on sait que cela s'applique (c'est ce que j'ai appelé le concret dans l'abstrait); alors que les notions plus élaborées, comme celles de relation ou de fonction, on ne voit pas directement à quoi cela peut servir. Mais c'est ça apprendre l'abstraction; c'est accepter que plus on avance dans le cursus mathématique, plus il y a un différé entre la définition et son utilisation pratique.

Ce qui est certes contestable, c'est que l'on aborde certaines notions sans en montrer une application concrète à un moment ou à un autre. Mais c'est valable jusqu'en terminale. Après, il arrive qu'on étudie des notions dans une optique d'enseignement ou de recherche, où les étudiants doivent devenir capable de trouver eux-mêmes des applications, parfois même originales.

Pieyre a écrit:

hobb :
je doute qu'on puisse définir ce que l'on manipule très précisément, puisque les définitions elles-memes peuvent etre très difficile à expliquer (va expliquer à des primaires que l’addition sur des entiers définit un groupe abélien...).

On peut définir de façon précise l'addition dans l'ensemble des entiers naturels (alors que ce n'est même pas un groupe), et ceci à l'école primaire. Une définition précise, cela ne veut pas dire une définition minimale ni même forcément généralisable (c'est comme un ensemble générateur par rapport à une base en théorie des espaces vectoriels : qui peut le plus peut le moins).
Ainsi on part de la connaissance de la numération et on définit l'addition entre tout entier et tout autre selon une méthode calculatoire, en présentant la commutativité et l'associativité, mais sans utiliser ces mots, comme des choses qui vont de soi.
C'est une sorte de façon concrète dans l'abstrait.

Je suis parfaitement d'accord, mais critiquer le fait que l'on enseigne des choses alors que "les objets sont rarement définis" (sic), n'est pour moi pas un problème (et pour toi non plus visiblement), je ne faisait que part de mon désaccord... ;-)

PS : je parlais bien de la composition + et N. Bref.

Oui, en effet; je n'avais pas bien interprété le mot puisse dans ton objection.

Alors, forcément, les élèves ne sont pas en attente de définitions formelles qu'ils ne peuvent imaginer; il leur suffit que ce qu'on leur présente soit clair et opérationnel. Ils verront plus tard qu'on peut formaliser mieux, et généraliser les définitions.

Maintenant il y a tout de même des interrogations qui se manifestent, auxquelles les enseignants ne répondent pas, parce que ce n'est pas au programme, ou que c'est un peu technique. Ainsi on n'explicite pas la raison pour laquelle on ne donne pas de sens à la notation 0⁰. Ce n'est pas comme 0/0, qui ne suscite pas (ou plus) d'interrogation. Il y a bien en effet 0ⁿ = 0 pour n ≠ 0 et n⁰ = 1 pour n ≠ 0. On peut se dire que par définition on aurait pu choisir 0 ou 1, ou autre chose...

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je doute qu'on puisse définir ce que l'on manipule très précisément, puisque les définitions elles-memes peuvent etre très difficile à expliquer (va expliquer à des primaires que l’addition sur des entiers définit un groupe abélien...).

Pour moi c'est une question de cohérence: si on veut qu'un élève puisse comprendre ce qu'ils fait et justifier ce qu'il écrit, il faut lui donner des définitions ou des propriétés. Que l'élève n'ait pas à sortir de son intuition des propriétés fausses ou pas encore prouvées, et qu'il n'y ait pas d'ambiguïté.
En fait, je pense aussi qu'il serait bon de donner à des élèves une idée de l'esprit des mathématiques, dont une des caractéristiques principales est l'importance de la démonstration. C'est quelque chose qu'il manque dans toutes les disciplines d'ailleurs.

Ce n'est pas si difficile d'expliquer à des primaires que a+b = b+a et ce genre de choses, mais c'est inutile. Cependant, si on a introduit suffisamment d'objets mathématiques que l'on peut additionner (fonctions, vecteurs, couples de nombres...), on peut commencer à comprendre l'utilité d'abstraire ces propriétés pour en rapprocher les divers exemples. La notion de structure mathématique est assez centrale en mathématique et elle aiderait à comprendre bien ce qu'on fait en lycée. Je ne pense pas qu'il soit nécessaire d'introduire la théorie abstraite d'une structure lorsqu'on l'utilise, mais pour ce qui est de la définir (ou la caractériser en expliquant qu'il serait trop difficile de la définir) et d'expliquer qu'on définit ainsi des opérations (addition, composition de fonctions, dérivation, etc) il me semble que cela serait souvent une bonne chose.

Après, je ne dis pas qu'il faut tout définir rigoureusement tout le temps. C'est juste que les programmes actuels manquent cruellement de définitions.

tim9.5 a écrit:Rien que le titre de ce fil fout la trouille : math + peur. Qui ose s'aventurer dans cette discussion ? Un mathophobe ?

Bien vue, mais tu changerais pour quoi ? êtes-vous tendu à la vue des tenseurs ?
Je vais essayer de changer le titre un peu, sans en changer le sens réel...

Êtes-vous radicalement contre les racines de la pensée ?

siamois93 a écrit:A mon avis on n'attache pas assez d'importance au passage d'un cas concret à un énoncé mathématique.
Vous savez, le cas du panier de la ménagère, ou plein d'autres exercices amusants, ou supposés l'être.
Il y a des livres là-dessus, mais à l'école les mathématiques sont trop vites éloignées d'une certaine forme de concret, sans toutefois faire de physique.

Je trouvais personnellement que les exercices essayaient d'ête concrets, mais sans pouvoir être crédible....
Par exemple, qui a ou va vraiment mesurer la longueur de l'ombre projetée par un arbre, ainsi que l'angle de cette projection dans le but concret de déterminer la hauteur de l'arbre avec un peu de trigo.. Non, c'est bidon comme application. Personne n'y croit. Mais de vrais exercices appliqués c'est difficile d'en faire.
Je pense que d'expliquer informellement, avec des dessins, les applications de la physique et de l'ingénierie concernant les objets autour de nous serait préférable. Mais là, ce que des gens n'aimant pas les maths me répondent: c'est que eux ne feront jamais de physique ou d'ingénierie .


Tu parles aussi de ce qui est censé être amusant.. (et qui ne l'est pas.. ): si on le voyait comme un jeu plutôt que comme un exercice, ce devient amusant non ?

Pieyre a écrit:Êtes-vous radicalement contre les racines de la pensée ?

Les racines carrées ?

Les racines (carrées) d'une pensée négativiste sombrent dans l'imaginaire.

Ça c'est de l'humour trop complexe...

Durant mon année de stage de CAPES en 1997, j'ai fait un mémoire sur le thème "L'affectivité en mathématiques" avec l'aide d'une psychologue.
Je ne connais que le bouquin de Jacques Nimier sur le sujet (https://fr.wikipedia.org/wiki/Jacques_Nimier). Il date un peu mais c'était une référence à mon époque. J'imagine que depuis vingt ans on a fait plein de recherches sur le sujet.
Stella Baruk en cause pas mal aussi...

Il y a un autre souci avec les math, c'est qu'elles sont vraies. Alors que dans nos relations à autrui, ou à soi-même, on est beaucoup moins dans le vrai. Même un miroir n'est pas "vrai" dans ce qu'il nous montre de nous. Il ne s'agit plus de persuader ou d'impressioner.
Ce détachement des modes de pensée habituels devrait être mieux pris en compte. Ce n'est pas du tout facile pour certains d'être vrais.

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Et si on allait dans la marge ?
Conférence de Wolfram, le concepteur de mathematica et de wolframalpha :

tim9.5 a écrit:Et si on allait dans la marge ?
Conférence de Wolfram, le concepteur de mathematica et de wolframalpha :

(je n'ai écouté que la moitié pour l'instant, je finirai plus tard) mais j'aime beaucoup ce qu'il raconte en gros. Ça fait longtemps que je dis moi-même qu'il faut arrêter d'apprendre par coeur les multiplications et les additions. ( Il faut savoir comment faire, mais s'entrainer à le faire vite est ridicule ) .

Avec l'ordinateur, on pourrait effectivement mettre l'accent sur ce qu'on l'air les courbes, les surfaces, sur ce que signifie vraiment la géométrie... Et ne pas seulement s'arrêter aux foutus triangles ou aux paraboles...
Je rêve qu'on introduise les géométries non-euclidiennes dès le primaire. Avec en prime des notions intuitives de topologies. Je pense que les élèves, peut-être surtout au secondaire, devraient participer à essayer de comprendre ce que signifie le "continu", le "lisse", la courbure, et ce que change la présence de trous dans une surface. Ou encore les notions de combinatoires, etc. Pas de formalisme à ce niveau, pas trop de mots effrayants, mais surtout les idées et leur exploration intuitive au moyen de l'ordinateur. Ou encore avec des globes terrestres.

Et appliquer cela à de véritables questions de théorie du contrôle des fusées, au repliement des protéines, à la rotation des toupies, à l'architecture, au dessin des jeux vidéo ou même à la relativité générale.

Ce n'est qu'en comprenant le sens intuitifs des notions, qu'on arrive à voir la pertinence et la puissance du formalisme. Sinon c'est comme apprendre à écrire un langage avant de savoir parler et penser dans ce langage.

Ce que je reprocherais un peu par contre à Wolfram, ce serait d'oublier le rôle LUDIQUE des mathématiques: les énigmes. Ce serait dommage que les maths ne servent qu'à la résolution de problèmes utiles. Pour ça encore, on peut le présenter à la manière des enquêtes de Sherlock Holmes...

Une question inspirée de Sherlock : comment, en examinant uniquement les traces des roues sur le sol, peut-on distinguer la direction dans laquelle un vélo a passé ?

Pieyre a écrit:J'ai une anecdote racontée par une enseignante de mathématique en faculté.

À la suite d'une conférence donnée par Henri Poincaré, vient le temps des questions du public.
Un intervenant déclare : « Mais, enfin, ces mathématiques, à quoi ça sert ? »
Et Poincaré de répondre : « Et vous, Monsieur, à quoi servez-vous ? »

Mais je n'ai pas réussi à retrouver la référence de cette anecdote. Aussi ce n'était peut-être pas exactement comme ça.

C'est une bonne question que vous soulevez-là: à quoi servent les maths ? A quoi ça sert de faire progresser davantage cette science ?

Deux réponses :
— mieux comprendre le monde (et déjà notre environnement);
— continuer de l'utiliser et de l'adapter dans le sens que l'on souhaite.

Sans mathématique, pas d'avancées scientifiques et pas de nouvelles techniques. Même le statu quo serait impossible : il faut bien au moins former les techniciens qui sont nécessaires pour que notre niveau de vie soit préservé.

Par ailleurs, d'une façon plus individuelle, je crois qu'une formation mathématique et scientifique est structurante pour l'esprit y compris lorsqu'il ne s'agit pas directement de science; ainsi en politique ou même en art.

Je suis curieux Badak (où est ton Bapak?) de savoir ce que tu appelles "mots effrayants" en maths?

Personnellement, je trouve qu'il est intéressant de faire découvrir et intuiter aux élèves de belles notions assez avancées* que l'on peut illustrer avec les ordinateurs; de temps en temps seulement. Je trouve aussi que la combinatoire ainsi que la programmation pourraient être enseignées. Mais apprendre à lire, écrire, compter et calculer avant tout. Une fois qu'on sait raisonner, lire etc, on peut comprendre les bases des concepts compliqués sans problème. Et comment se familiariser alors avec ces concepts? En calculant, en étudiant des exemples (et ici l'informatique peut être un bon outil, mais il faut qu'elle soit active et non passive comme elle l'est habituellement). Le formalisme simplifie le raisonnement, il le guide et le découpe en petits morceaux de raisonnement plus simples à mener.

Après je n'ai peut-être pas la même vision des mathématiques que toi. A mon sens, on découvre mieux sa discipline en comprenant ses principes (ici, démonstration, formalisme) qu'en étudiant ses sujets. Ce n'est pas compliqué ni long en plus, de découvrir ces principes; ça peut même être un déclic.

D'ailleurs à mon avis, il y a un bon exemple pour ça, c'est le principe de preuve par récurrence. Lorsqu'on apprend que l'idée est que si P(0) est vraie, et si dès qu'on a P(n) on a P(n+1) alors P(k) est tout le temps vraie, on se dit (je crois) que c'est du bon sens et rien de plus (ben P(0) est vraie donc P(1) aussi donc P(2) aussi etc quoi). Mais lorsqu'on découvre que cela se montre en utilisant le fait que tout ensemble d'entiers non vide possède un plus petit élément, on comprend quelque chose sur le raisonnement mathématique. Cette idée est toujours un peu magique pour moi en fait.

*Sans trop exagérer non plus. En physique, il faudrait faire découvrir aux élèves des théories qu'ils peuvent critiquer. La relativité restreinte remet beaucoup de choses en perspective; priver un élève d'une phase de rejet et de tentative de vérification / infirmation de cette théorie, c'est moche. Or, ce n'est pas par les concepts seuls qu'une théorie est mise à l'épreuve, c'est par la mesure, le calcul.
Cela rejoint (enfin, contredit) un peu ce que dit Wolfram sur la chronologie de l'apprentissage: on n'est pas obligé de suivre l'histoire, mais il faut quand même comprendre que la chronologie des découvertes physiques et mathématiques suit en partie des dénouement naturels de tensions entre les idées d'époques différentes. Il y a du mauvais à court-circuiter certaines choses, surtout si cela nécessite de surcroît de demander aux élèves de croire que les choses sont ainsi, qu'il comprendra dans dix ans.

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tim9.5 a écrit:

Badak a écrit: 
Je rêve qu'on introduise les géométries non-euclidiennes dès le primaire.   Avec en prime des notions intuitives de topologies.  Je pense que les élèves, peut-être surtout au secondaire, devraient participer à essayer de comprendre ce que signifie le "continu", le "lisse", la courbure, et ce que change la présence de trous dans une surface.  Ou encore les notions de combinatoires, etc.  Pas de formalisme à ce niveau, ...

... mais juste une excuse bidon pour aller boire du café dans de jolis tasses accompagnées de donuts, et de dépenser leur argent dans les jeux de hasard. Avec les filles, tu peux aller découvrir les pantalons de je-ne-sais-plus-qui dans la boutique d'à-côté. Ouverts-fermés les portemonnaies !

Attention, la géométrie et la topologie ont un langage assez "sexuel". Les courbes, les surfaces lisses.
Même qu'en français, le "genre" désigne le nombre de trous, sans blague, ça en devient obscene. (Mais en anglais, c'est genus , et non pas gender ).

paela a écrit:Je suis curieux Badak (où est ton Bapak?) de savoir ce que tu appelles "mots effrayants" en maths?

Des choses comme :
homomorphisme, tribu, filtration, homotopie, cohomologie, ...

Des phrases comme :  "Les formes fermées sur des ouverts étoilées sont exactes." .  Aucun mot n'a le même sens que dans la vie courante, moi ça me fascine, mais je sais que ça fait bloquer certains..

paela a écrit:Personnellement, je trouve qu'il est intéressant de faire découvrir et intuiter aux élèves de belles notions assez avancées* ......Mais apprendre à lire, écrire, compter et calculer avant tout. Une fois qu'on sait raisonner, lire etc, on peut comprendre les bases des concepts compliqués sans problème. Et comment se familiariser alors avec ces concepts? En calculant, en étudiant des exemples (et ici l'informatique peut être un bon outil, mais il faut qu'elle soit active et non passive comme elle l'est habituellement). Le formalisme simplifie le raisonnement, il le guide et le découpe en petits morceaux de raisonnement plus simples à mener.

Savoir compter et calculer, d'accord, mais une fois qu'on comprends comment faire quelques exemples, c'est l'entrainement à la rapidité que je désapprouve.  Par besoin de savoir ses tables de multiplications parfaitement pour savoir comment multiplier deux nombres.

Pour le raisonnement, tu as raison, c'est l'aspect le plus important.  Oui je dois nuancer ce que j'ai dis...  bien sûr qu'il faut que des élèves apprennent du formalisme "de base", mais je voulais dire pas le formalisme associé au notions avancées.
Donc je verrais deux cours de maths:  le cours de base où il faut quand même apprendre correctement des notions élémentaires et la manière de raisonner en math, et ensuite montrer que ça apparait partout dans des notions avancées.  Et oui, à l'aide de la programmation, ce serait très bien.

paela a écrit:Après je n'ai peut-être pas la même vision des mathématiques que toi. A mon sens, on découvre mieux sa discipline en comprenant ses principes (ici, démonstration, formalisme) qu'en étudiant ses sujets. Ce n'est pas compliqué ni long en plus, de découvrir ces principes; ça peut même être un déclic.

D'ailleurs à mon avis, il y a un bon exemple pour ça, c'est le principe de preuve par récurrence. Lorsqu'on apprend que l'idée est que si P(0) est vraie, et si dès qu'on a P(n) on a P(n+1) alors P(k) est tout le temps vraie, on se dit (je crois) que c'est du bon sens et rien de plus (ben P(0) est vraie donc P(1) aussi donc P(2) aussi etc quoi). Mais lorsqu'on découvre que cela se montre en utilisant le fait que tout ensemble d'entiers non vide possède un plus petit élément, on comprend quelque chose sur le raisonnement mathématique. Cette idée est toujours un peu magique pour moi en fait.

Le principe des démonstrations, est déjà introduit, mais d'une façon qui me semble tellement inutile:  les théoremes de Thales etc, ça revient à essayer de démontrer artificiellement des choses évidentes, et vraiment je n'ai jamais réussis à faire ça.   Même avec les vrais cours d'analyse sur la continuité et la convergence (les limites), les preuves détaillées sont vraiment  longues pour dire des évidences... bref je détestais ce genre d'exercices. Ça confine parfois au ridicule lorsque qu'on ne voit pas le but .

 C'est un entrainement qui me semble valable pour de vrais de vrais futurs mathématiciens purs et durs... Ou alors juste à petite dose, pour avoir la savoir de ce que c'est.  
En même temps, c'est une question de goût, mais moi les epsilon et les delta, même à l'université, ça m'a un peu dégoûté.. (je pense que tu comprends ce que je veux dire, les définitions de la continuité en analyse réelle ).  C'est seulement en revoyant cela plus tard en termes topologiques plus généraux que j'ai mieux apprécié.  

paela a écrit:*Sans trop exagérer non plus. En physique, il faudrait faire découvrir aux élèves des théories qu'ils peuvent critiquer. La relativité restreinte remet beaucoup de choses en perspective; priver un élève d'une phase de rejet et de tentative de vérification / infirmation de cette théorie, c'est moche. Or, ce n'est pas par les concepts seuls qu'une théorie est mise à l'épreuve, c'est par la mesure, le calcul.  

Nous ne sommes pas en mesure de faire nous même les expérimentations pour la relativité.....  on doit quand même s'appuyer sur ce qui a été fait avant nous.  Ceci dit , je suis quand même d'accord, qu'on ne nous renvoit pas assez  à l'historicité des disciplines..  Tout semble sorti par magie du livre, comme si cela était un dogme révélé...   Les étudiants, même au début de l'université, n'ont pas idée de ce en quoi consiste la recherche, et en particulier de l"importance de savoir critiquer des articles scientifiques ....

Des choses comme :
homomorphisme, tribu, filtration, homotopie, cohomologie, ...

Des phrases comme :  "Les formes fermées sur des ouverts étoilées sont exactes." .  Aucun mot n'a le même sens que dans la vie courante, moi ça me fascine, mais je sais que ça fait bloquer certains..

Ah d'accord, c'est des trucs avancés ça, je croyais que tu parlais de la primaire ou du collège. Après je crois bien qu'avant qu'un mathématicien s'y intéresse, les formes différentielles fermées ne s'étaient pas suffisamment faites remarquer dans la nature pour avoir une place dans le dictionnaire. Etoilé n'est pas mal trouvé quand même.

Savoir compter et calculer, d'accord, mais une fois qu'on comprends comment faire quelques exemples, c'est l'entrainement à la rapidité que je désapprouve.  Par besoin de savoir ses tables de multiplications parfaitement pour savoir comment multiplier deux nombres.

Pour le raisonnement, tu as raison, c'est l'aspect le plus important.  Oui je dois nuancer ce que j'ai dis...  bien sûr qu'il faut que des élèves apprennent du formalisme "de base", mais je voulais dire pas le formalisme associé au notions avancées.
Donc je verrais deux cours de maths:  le cours de base où il faut quand même apprendre correctement des notions élémentaires et la manière de raisonner en math, et ensuite montrer que ça apparait partout dans des notions avancées.  Et oui, à l'aide de la programmation, ce serait très bien.

Disons que c'est pratique de savoir rapidement calculer 4x8 pour simplifier des fractions en physique dans les petits calculs, et qu'il est dommage de devoir compter de 8 jusqu'à 32 par paquets de 8 à chaque fois, mais ce n'est pas grave si ça prend un peu de temps c'est vrai.

Le principe des démonstrations, est déjà introduit, mais d'une façon qui me semble tellement inutile:  les théoremes de Thales etc, ça revient à essayer de démontrer artificiellement des choses évidentes, et vraiment je n'ai jamais réussis à faire ça.   Même avec les vrais cours d'analyse sur la continuité et la convergence (les limites), les preuves détaillées sont vraiment  longues pour dire des évidences... bref je détestais ce genre d'exercices. Ça confine parfois au ridicule lorsque qu'on ne voit pas le but .

Mais comment savoir à l'avance qu'un truc qui semble vrai - ou dont l'interprétation dans la réalité est vraie -  est prouvable? Le principe c'est qu'on le démontre; ça permet entre autres de comprendre de quoi ça se déduit, et de découvrir plein d'autres choses qu'on aurait complètement zappées en ne suivant que l'intuition. [Le théorème de Thalès permet de démontrer des trucs pas évidents aussi. C'est subjectif cela dit, mais il y a des alignements de points qui surprennent.]
Je suis d'accord avec le fait que les preuves c'est parfois chiant quand le truc est clairement une conséquence de l'effort qu'on a fait pour définir les choses. Mais quand-même, si une preuve d'un truc "évident" est longue, c'est qu'il y a des obstacles pas évidents à traiter avant d'obtenir l'évidence.
Je trouve ça absurde de dire qu'un truc qu'on ne sait pas démontrer est évident, c'est plutôt qu'il vaudrait mieux que ça soit vrai. Après on peut aussi faire confiance à ce qui a déjà été fait mais ça n'aide pas à comprendre.

En analyse, il y a d'un côté les théorèmes qui découlent directement des définitions des limites, de la continuité, de la croissance ou autre, qui ne sont pas toujours évidents mais qui semblent nécessaires pour faire quoi que ce soit (par exemple qu'un produit de fonctions continues est une fonction continue); et de l'autre tous les théorèmes importants d'analyse réelle qui sont équivalents ou presque à la propriété de la borne supérieure. Ces derniers sont visuellement vrais (par exemple, si deux courbes passent l'une à travers de l'autre, elles s'intersectent) mais ne sont pas vrais pour rien; si on veut zapper les preuves comment savoir que les choses ne sont pas les mêmes pour les courbes à coordonnées rationnelles par exemple?

J'écris des pavés en défense de la démonstration parce que pour donner des cours et autres, je constate que la démonstration et avec elle les mathématiques sont en train d'être supprimées des programmes pour les remplacer non pas par des maths plus intéressantes et abordables, mais par autre chose que les maths - je ne sais pas quoi exactement, des méthodes de production de non sens.

Nous ne sommes pas en mesure de faire nous même les expérimentations pour la relativité.....  on doit quand même s'appuyer sur ce qui a été fait avant nous.  Ceci dit , je suis quand même d'accord, qu'on ne nous renvoit pas assez  à l'historicité des disciplines..  Tout semble sorti par magie du livre, comme si cela était un dogme révélé...   Les étudiants, même au début de l'université, n'ont pas idée de ce en quoi consiste la recherche, et en particulier de l"importance de savoir critiquer des articles scientifiques ....

Je ne dis même pas qu'il faut que les lycéens refassent Michelson-Morley. C'est juste que si on te parle par exemple de mécanique quantique et qu'on te sort le chat de Schrödinger sans t'expliquer; sans te donner les moyens de comprendre comment on utilise cette théorie (puisque c'est technique), forcément tu risques de trouver ça absurde. Enfin tu devrais, parce que je crois qu'on a plus vite fait de se faire une double rupture du sens critique et de gober le tout.
Je trouve ça bien cela dit d'informer la population sur les théories de la relativité et sur la mécanique quantique; mais c'est un défi. Et puis la plupart des gens ne savent pas ce qu'est une force, l'énergie, l'inertie, la température, la tension électrique, etc alors bon...

paela a écrit:Ah d'accord, c'est des trucs avancés ça, je croyais que tu parlais de la primaire ou du collège.

Savoir compter et calculer, d'accord, mais une fois qu'on comprends comment faire quelques exemples, c'est l'entrainement à la rapidité que je désapprouve.  Par besoin de savoir ses tables de multiplications parfaitement pour savoir comment multiplier deux nombres.

Au tout début, je ne parlais pas précisément de l'enseignement des maths, mais de ce pourquoi les "gens" en général trouvent les maths rébarbatives .  En particulier sur ce forum, si on se met à discuter de physique en mentionnant des concepts mathématiques, il y a souvent quelqu'un pour nous dire que c'est incompréhensible et chiant. C'est arrivé sur plus d'un fil de discussion.   Mais tu as raison que ce traumatisme doit venir de l'enseignement.

Tout ce qui n'est pas la faute des parents, est de la faute des enseignants..  

paela a écrit:....il est dommage de devoir compter de 8 jusqu'à 32 par paquets de 8 à chaque fois, mais ce n'est pas grave si ça prend un peu de temps c'est vrai.

Ouais bof, moi je suis paresseux, je fais 8x2 x2 =16x2 =32 ou alors  4*(10-2) = 40-8=32. C'est simple, mais c'est une question de goût.

paela a écrit:Mais comment savoir à l'avance qu'un truc qui semble vrai - ou dont l'interprétation dans la réalité est vraie -  est prouvable? Le principe c'est qu'on le démontre; ça permet entre autres de comprendre de quoi ça se déduit, et de découvrir plein d'autres choses qu'on aurait complètement zappées en ne suivant que l'intuition.  

 Bien sûr qu'il ne faut surtout pas tenir pour vrai ce que nous dicte l'intuition..  Mais plutôt ce qui a été montré comme "vrai" (par de vrais mathématiciens), on peut s'en forger une représentation intuitive, et c'est sous cette forme intuitive qu'on peut l'apprendre en premier lieu.  

paela a écrit: .....Je trouve ça absurde de dire qu'un truc qu'on ne sait pas démontrer est évident, c'est plutôt qu'il vaudrait mieux que ça soit vrai. Après on peut aussi faire confiance à ce qui a déjà été fait mais ça n'aide pas à comprendre.

Disons que je veux clairement faire la distinction entre "les maths, les vrais", et "les maths enseignées ou vulgarisées"...  
  Par évident, je veux juste dire qu'on "comprend intuitivement", mais c'est net que ce n'est pas parce qu'elles me paraissent évidentes que des propositions sont vrais, juste plausibles.  

Pour un ingénieur, comme pour un étudiant du secondaire/ collège etc, il n'est pas nécessaire de toujours avoir vu une vraie démonstration des théorèmes.    Juste de savoir que c'est démontrable et de s'être un peu cassé le nez sur de quelques vraies preuves.. Pour des choses assez simples, mais non-évidentes.    Tout ce qui touche aux infinis dénombrable et non-dénombrable, par exemple, ce n'est pas évident, et notre intuition n'est plus certaine de rien, mais avec des définitions claires, il y a des preuves assez simples.  

Montrer que la racine de 2 est irrationnelle, c'est simple et en même temps très clair. Je l'avais refait à ma mère et elle comprenait bien.  

Je vois les vraies démonstrations en tant que jeu d'esprit, mais pas tellement comme façon d'acquérir la certitude personnelle que le théorème est vrai. Pourtant pour un vrai mathématicien, normalement c'est le but, oui... Je reconnais que si on ne maîtrise pas toutes les preuves, on ne maîtrisent pas la discipline, mais  je pense que bien peu de gens peuvent vraiment espérer comprendre en profondeur, donc je defends l'idée qu'on doit aussi apprendre à "surfer" sur l'étendue de notre ignorance en essayant d'en comprendre la surface qui nous est utile.  En fait, tu sembles beaucoup plus matheux que moi.. !

paela a écrit:...  si on veut zapper les preuves comment savoir que les choses ne sont pas les mêmes pour les courbes à coordonnées rationnelles par exemple?

Dans un vrai de vrai cours d'analyse, tu as raison. Mais même dans les cours d'ingénieur ici, on ne fait pas d'analyse mathématique. D'une manière générale, ça dépend toujours du niveau de l'utilisation qu'on va en faire.  Ce n'est important que pour un théoricien (math, physique théorique etc, ingénieur mathématicien) .

paela a écrit:J'écris des pavés en défense de la démonstration parce que pour donner des cours et autres, je constate que la démonstration et avec elle les mathématiques sont en train d'être supprimées des programmes pour les remplacer non pas par des maths plus intéressantes et abordables, mais par autre chose que les maths - je ne sais pas quoi exactement, des méthodes de production de non sens.

hahaha  interessant !!     De manière générale, à un niveau puriste, je suis d'accord que celui qui ne démontre pas de propositions ne fais pas de math. Ce qui ne l'empêche pas d'apprendre à utiliser des maths pour résoudre des problèmes plus concrets.      
(J'ai beaucoup de respect pour les vrais mathématiciens, mais je ne saurais en être ni pouvoir exiger de ne réserver les maths qu'aux seuls mathématiciens )  

Bref, ce que je dirais est qu'il faut faire goûter aux preuves dès le secondaire/collège, mais de préférence seulement quelques miettes de morceaux digestes enrobés de pas mal de bonbons.. ...  c'est une position très sujette à la critique je sais.  

Donc tu es prof de maths ?  Et qu'est-ce qu'ils en disent les élèves ? De quoi ils se plaignent ?

Et tes méthodes "productrices de non-sens "    en quoi elles consistent ? Souvent on entend dire que c'est trop formel en France.

paela a écrit:Je ne dis même pas qu'il faut que les lycéens refassent Michelson-Morley. C'est juste que si on te parle par exemple de mécanique quantique et qu'on te sort le chat de Schrödinger sans t'expliquer; sans te donner les moyens de comprendre comment on utilise cette théorie (puisque c'est technique), forcément tu risques de trouver ça absurde. Enfin tu devrais, parce que je crois qu'on a plus vite fait de se faire une double rupture du sens critique et de gober le tout.
Je trouve ça bien cela dit d'informer la population sur les théories de la relativité et sur la mécanique quantique; mais c'est un défi. Et puis la plupart des gens ne savent pas ce qu'est une force, l'énergie, l'inertie, la température, la tension électrique, etc alors bon...

Oui là c'est un autre problème....  que les gens disent que les maths sont trop abstraites est une chose, mais qu'ensuite ils condamnent la physique pour être trop terre-à-terre, ça devient loufoque..  ceux-là, ils ne veulent rien savoir des sinus, ni des ondes, mais veulent te parler de vibrations subtiles de certaines fréquences d'energie.    
Et ce que tu dis de la mécanique quantique est important effectivement: disons que ceux qui sont séduit par la mystique quantique ne veulent juste rien savoir de la physique comme telle...  et encore moins des maths derrières.[/quote]
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Au tout début, je ne parlais pas précisément de l'enseignement des maths, mais de ce pourquoi les "gens" en général trouvent les maths rébarbatives .  En particulier sur ce forum, si on se met à discuter de physique en mentionnant des concepts mathématiques, il y a souvent quelqu'un pour nous dire que c'est incompréhensible et chiant. C'est arrivé sur plus d'un fil de discussion.   Mais tu as raison que ce traumatisme doit venir de l'enseignement.

Tout ce qui n'est pas la faute des parents, est de la faute des enseignants..

Je pars du principe que ce par quoi les gens ont découvert les maths est l'enseignement c'est pour ça. C'est normal aussi que ça fatigue les gens de lire des posts dont ils ne connaissent pas le vocabulaire et ne comprennent pas le contenu.

Ouais bof, moi je suis paresseux, je fais 8x2 x2 =16x2 =32 ou alors  4*(10-2) = 40-8=32. C'est simple, mais c'est une question de goût.

Oui, c'est plus ingénieux c'est sûr. Le problème est que souvent, les élèves n'ont pas compris qu'on peut procéder comme ça, sortent la calculatrice pour calculer des trucs comme 1/3 * 3/1 et répondent 0,999.
La rapidité dans les calculs n'est importante que dans un contexte scolaire d'évaluation et du fait que si tous élèves mettent trois plombes à traiter la partie facile d'un exo qui consiste en du calcul sans grande astuce, le prof passe plus de temps sur les exos et en fait moins. Dans la vie, on n'est pas à cinq secondes près en général, et si on l'est il y a les ordinateurs.
Il faut aussi dire que pour les gens intelligents comme toi Badak, des solutions se trouvent en autonomie, et ils sortent du lycée sans trop de séquelles (sauf peut-être d'avoir été dégoûté de sujets que tout enfant trouve passionnants) bien qu'ayant perdu du temps et des opportunités.

Bien sûr qu'il ne faut surtout pas tenir pour vrai ce que nous dicte l'intuition..  Mais plutôt ce qui a été montré comme "vrai" (par de vrais mathématiciens), on peut s'en forger une représentation intuitive, et c'est sous cette forme intuitive qu'on peut l'apprendre en premier lieu.  

Je suis d'accord; la difficulté est d'avoir une intuition suffisamment précise pour ne pas arrondir les bords à des endroits cruciaux. Le mieux est à mon avis de commencer par des cas particuliers, puis abstraire et voir là où la généralisation n'est pas triviale.
On a vraiment compris intuitivement pourquoi un résultat est vrai lorsqu'on n'est plus très loin d'en rédiger une démonstration. Sinon, ce qu'on a fait est remplacer l'incompréhension (/ la curiosité) par des cases noires qui sont les détails qu'on ne voit pas trop comment régler mais qui doivent bien se régler.
Ce n'est pas catastrophique, mais ce n'est pas la même chose.

Disons que je veux clairement faire la distinction entre "les maths, les vrais", et "les maths enseignées ou vulgarisées"...  
 Par évident, je veux juste dire qu'on "comprend intuitivement", mais c'est net que ce n'est pas parce qu'elles me paraissent évidentes que des propositions sont vrais, juste plausibles.  

Pour un ingénieur, comme pour un étudiant du secondaire/ collège etc, il n'est pas nécessaire de toujours avoir vu une vraie démonstration des théorèmes.    Juste de savoir que c'est démontrable et de s'être un peu cassé le nez sur de quelques vraies preuves.. Pour des choses assez simples, mais non-évidentes.    Tout ce qui touche aux infinis dénombrable et non-dénombrable, par exemple, ce n'est pas évident, et notre intuition n'est plus certaine de rien, mais avec des définitions claires, il y a des preuves assez simples.  

Montrer que la racine de 2 est irrationnelle, c'est simple et en même temps très clair. Je l'avais refait à ma mère et elle comprenait bien.  

Je vois les vraies démonstrations en tant que jeu d'esprit, mais pas tellement comme façon d'acquérir la certitude personnelle que le théorème est vrai. Pourtant pour un vrai mathématicien, normalement c'est le but, oui... Je reconnais que si on ne maîtrise pas toutes les preuves, on ne maîtrisent pas la discipline, mais  je pense que bien peu de gens peuvent vraiment espérer comprendre en profondeur, donc je defends l'idée qu'on doit aussi apprendre à "surfer" sur l'étendue de notre ignorance en essayant d'en comprendre la surface qui nous est utile.  En fait, tu sembles beaucoup plus matheux que moi.. !

A mon avis, si on veut comprendre les mathématiques, (ne serait-ce que comprendre les énoncés), il faut être à l'aise avec les démonstration. Après, pour les utiliser, on peut s'en passer dans une certaine mesure et juste avoir une idée intuitive de  ce qu'on manipule pour être plus efficace et se poser moins de questions.
Et non ce n'est pas nécessaire, mais c'est beaucoup mieux. Tout dépend du but visé: faire les maths ou faire de la physique. Si on veut comprendre les maths et apprendre des trucs de plus en plus compliqués, il faut être à l'aise avec le formalisme et les démonstrations. Si on veut avoir un bagage que l'on peut manipuler, je pense que des maths où on passe sur les détails qui n'ont pas un grand sens physique comme l'irrationalité de certains nombres, la non dénombrabilité de l'ensemble des réels, la propriété de la borne supérieure, le fait qu'un ensemble soit mesurable sont bien suffisantes.
Mais lorsqu'on passe sur ça dès le début et qu'on n'a jamais introduit les notions rigoureusement, il est difficile de faire quoi que ce soit.


Je ne crois pas que ce qu'on voit en maths jusqu'au lycée soit plus difficile à comprendre (sauf en profondeur ou avec maestro) que la majorité des lois physiques par exemple. En maths, on peut tout décomposer mécaniquement en évidences et idées simples. C'est peut-être mon esprit de matheux qui parle cela dit. Il est bon de faire des maths de mathématicien en maths, et des maths de physicien en physique si on n'a pas le temps de voir tous les détails.

Spoiler:

Donc tu es prof de maths ?  Et qu'est-ce qu'ils en disent les élèves ? De quoi ils se plaignent ?

Et tes méthodes "productrices de non-sens " en quoi elles consistent ? Souvent on entend dire que c'est trop formel en France.

Non; j'étudie, et je donne des cours particuliers de primaire à prépa ainsi que des khôlles.
Souvent, ce que les élèves disent ne pas trouver, c'est l'idée de départ pour résoudre un exercice. Ils ne savent pas parce que pour eux, résoudre un exercice consiste à utiliser une des trois méthodes de résolution vues dans le cours du chapitre en question (cela dépend des niveaux, les élèves en prépa sont plus habitués à ce qu'une question de maths demande une réflexion originale). Dès que l'énoncé ne se prête pas directement à cet exercice, il s'érige en obstacle absolument infranchissable. Je leur explique qu'il faut comprendre l'énoncé et ce qu'on doit prouver, le traduire mathématiquement (donc connaître les définitions), trouver un schéma de preuve si on a suffisamment d'intuition pour avoir une vision globale de truc et se lancer sur une idée pour voir où elle mène sinon. Par exemple, si la traduction de l'énoncé donne "montrer qu'il existe x tel que blabla", se demander si cet x est unique, et si c'est le cas, obtenir des informations sur x, essayer de le cibler en regardant ce que blabla impose à x. Sinon, choisir parmi trois algorithmes et les appliquer, c'est un boulot d'ordinateur.
Les élèves que j'ai en khôlle se plaignent du fait qu'ils vont trop vite et ne font pas assez d'exercices en cours.

Les méthodes productrices de non sens: les méthodes de résolution d'exercices qui se substituent à la réflexion. Ce ne sont pas des fausses méthodes hein, mais des trucs qui sont à deux pas des définitions et qui fonctionnent bien dans un cas particulier, que les élèves apprennent par coeur plutôt que les définitions. Ils sont ensuite incapable de faire le lien avec la définition donc avec ce qu'il faut montrer, et bien sûr, ils ne peuvent traiter que des cas rigoureusement identiques à ceux vus en cours. L'ennui principal est qu'à la longue ça fait mélanger toutes les notions.

La critique des maths trop formelles en France est je crois liée à la période des années 60-70, dite des "mathématiques modernes", où on apprenait directement les définitions abstraites et les concepts abstraits aux élèves en primaire et au collège en laissant de côté les aspects visuels, calculatoires, concrets (exemples) sans lesquels il était difficile de comprendre. On ne tenait pas compte du développement intellectuel des élèves non plus, parce qu'on ne nait pas avec la faculté de mener des raisonnements abstraits. En gros c'est le contraire de ce que tu préconiserais, poussé à l'extrême. C'était bien pour une minorité de bons élèves à l'esprit matheux, les autres n'y comprenaient rien ou étaient dégoûtés.
Ce n'est plus trop le cas maintenant, mais même après cette période les maths en France sont restées assez abstraites et formelles, surtout dans le supérieur.

paela a écrit:..... Le problème est que souvent, les élèves n'ont pas compris qu'on peut procéder comme ça, sortent la calculatrice pour calculer des trucs comme 1/3 * 3/1 et répondent 0,999.
La rapidité dans les calculs n'est importante que dans un contexte scolaire d'évaluation et du fait que si tous élèves mettent trois plombes à traiter la partie facile d'un exo qui consiste en du calcul sans grande astuce, le prof passe plus de temps sur les exos et en fait moins.

Oui c'est vrai... Il y en a qu'ils ne comprennent pas que c'est plus simple de simplifier avant de calculer n'importe quoi... Je me souviens que quand j'étais au secondaire (début Lycée chez vous), il y avait d'autres étudiants qui disaient "Je ne sais pas ce que ça veut dire mais je suis capable de te le calculer.. ".

Je trouve que ça passe trop de temps à calculer des choses faciles sans réfléchir aux grandes idées... Tu me diras sûrement que penser aux grandes idées n'est faisable que si on maîtrise un minimum des bases... et je sens qu'on est un peu coincé entre deux ensembles d'exigences antagonistes...

paela a écrit:
Je suis d'accord; la difficulté est d'avoir une intuition suffisamment précise pour ne pas arrondir les bords à des endroits cruciaux. Le mieux est à mon avis de commencer par des cas particuliers, puis abstraire et voir là où la généralisation n'est pas triviale.
On a vraiment compris intuitivement pourquoi un résultat est vrai lorsqu'on n'est plus très loin d'en rédiger une démonstration. Sinon, ce qu'on a fait est remplacer l'incompréhension (/ la curiosité) par des cases noires qui sont les détails qu'on ne voit pas trop comment régler mais qui doivent bien se régler.

C'est normal aussi que nos compréhensions intuitives ne soient pas parfaites... Un problème serait en effet de faire croire que l'image remplace totalement une vraie définition ou une vraie preuve. Ce que j'appelle "comprendre intuitivement" est moins fort que ton "vraiment comprendre", mais en même temps, "comprendre la preuve" reste aussi en deça du "vraiment comprendre". La preuve permet de savoir que c'est vrai, mais pas toujours de comprendre ce que ça signifie.

Pour continuer avec un exemple simple où on peut "comprendre" sans preuve, mais où la preuve est belle et utilise l'intuition: l'infini du continu.. À l'oeil, "on voit bien" que si on prend 2 nombres réels arbitraires, on a toujours une "infinité" entre les deux, mais en faire une vraie preuve est plus difficile. Et voir la simplicité d'un argument bien formalisé peut causer une forte émotion : un Wow ! (je pense à la diagonale de Cantor). C'est ce genre de déclic qui peut faire aimer les démonstrations je pense.

Sauf que ce cas me semble assez rare. Souvent, on peut saisir intuitivement "à peu près" ce que ce que signifie une proposition, mais trouver que la vraie preuve ne permet pas de mieux "comprendre", ou même nous embrouille (à moins d'être déjà un spécialiste).

D'ailleurs j'ai un petit livre de base sur la géométrie différentielle (à usage des physiciens) qui stipule dans son préambule que les preuves sont omises pour ne pas nuire à la compréhension des concepts (en nuisant à la lisibilité, à l'enchainement des idées et des exemples).

Maths de physiciens comme tu dis !!

(je te réponds par bouts .. )

paela a écrit:A mon avis, si on veut comprendre les mathématiques, (ne serait-ce que comprendre les énoncés), il faut être à l'aise avec les démonstration. Après, pour les utiliser, on peut s'en passer dans une certaine mesure et juste avoir une idée intuitive de  ce qu'on manipule pour être plus efficace et se poser moins de questions.
Et non ce n'est pas nécessaire, mais c'est beaucoup mieux. Tout dépend du but visé: faire les maths ou faire de la physique. Si on veut comprendre les maths et apprendre des trucs de plus en plus compliqués, il faut être à l'aise avec le formalisme et les démonstrations. Si on veut avoir un bagage que l'on peut manipuler, je pense que des maths où on passe sur les détails qui n'ont pas un grand sens physique comme l'irrationalité de certains nombres, la non dénombrabilité de l'ensemble des réels, la propriété de la borne supérieure, le fait qu'un ensemble soit mesurable sont bien suffisantes.
Mais lorsqu'on passe sur ça dès le début et qu'on n'a jamais introduit les notions rigoureusement, il est difficile de faire quoi que ce soit.

Oui pour les notions de base "avancée" (analyse etc ), je suis d'accord. Même pour un physicien ou un ingénieur je crois que ce serait interessant de les donner.  Ici (au Québec, canada etc), c'est vraiment faible pour cela...  

Les nombres irrationnels ont beaucoup de sens physique : ( sans le nombre pi, pas d'oscillation, pas de roue, ni de vélo ni de charrette, etc) .  Et c'est aussi le fait de ne pas être en condition de résonance pour deux oscillations. La suite de Farey des nombres rationnels expriment les différents rapports de résonances, et les plus simples d'entre eux forment des intervalle musicaux plus harmonieux.      
Bref: rien de telle qu'une guitare pour manipuler des fractions  .  

L'irrationnalité des nombres s'approchent de manière intuitive à l'oreille par la fausseté des accords. Ce n'est que lorsqu'on mesure qu'on doit nécessairement tronquer les valeurs dans les rationnels.

paela a écrit:Je ne crois pas que ce qu'on voit en maths jusqu'au lycée soit plus difficile à comprendre (sauf en profondeur ou avec maestro) que la majorité des lois physiques par exemple. En maths, on peut tout décomposer mécaniquement en évidences et idées simples. C'est peut-être mon esprit de matheux qui parle cela dit. Il est bon de faire des maths de mathématicien en maths, et des maths de physicien en physique si on n'a pas le temps de voir tous les détails.  

Oui, ici on pensent presque pareil...
Je reprends ta distinction
- math de matheux :  souci de la preuve véritable
- maths pour physiciens, ingénieurs, biologistes etc :  souci des applications, et compréhension intuitive.  S'en remettent aux vrais mathématiciens comme source de vérité ultime.  

- Pour les Lycéens et moins:  une superposition des deux approches  
Mais pour l'approche "matheux", je préfèrerais davantage qu'ils voient cela à travers des  "mathématique ludiques" avec de petites preuves qui font "Wow" dans la tête, qu'avec des démonstrations d'énoncés "ridicules" du style "montrer que les diagonales d'un carré se rencontrent au centre"...  
(quoiqu'on n'a pas tous les mêmes goûts nécessairement)  Mais si oui, ok ok,  on ne peut pas passer à côté certaines bases. (surtout les bases de triangle...)

Et pour l'approche "appliquée":  qu'on fasse explorer les théories avancées d'une manière exploratoire et pas trop formelle.  

Et on en oublierait aussi les applications intuitives des mathématiques dans la vie courantes:  comme dans la musique, dans le dessin (perspective etc), et la boulangerie.   Il s'agit juste de poursuivre l'exploration avec des objets concret plutôt qu'avec des ordinateurs.
Car en définitive, faire des additions de distances ou de monnaie n'est pas en soi davantage mathématique que de pétrir la pâte pour faire des beignets...   Dans les deux cas, il s'agit d'appliquer concrètement une opération...  

Mais en même temps, c'est vrai qu'en fait le gars qui devant sa guitare ou son beignets ne capte rien de l'essence mathématique du machin... il risque de rigoler en trouvant cela un peu ridicule. Donc ça prendrait des pédagogues exceptionnels pour approcher l'abstrait à travers le concret en visant le niveau adequat...    Bref Je ne sais pas ce qui serait le mieux dans les circontances actuelles....

Et je me désole seulement de voir à quel point la plupart des gens associent davantage les maths à de vulgaires calculs plutôt qu'à de belles transformations géométriques ou topologiques.

(la suite de la réponse plus tard)

.

tim9.5 a écrit:...De toute façon, les images véhiculées dans les médias concernant les maths = tableau noir saturés d'équations, de calculs. Quelle idiotie. Quand un chercheur en math parle, hop ! le tableau apparaît. Feynman a eu droit à un autre traitement : le bongo avec lui. Au moins un qui est chanceux.

. En fait je voudrais quand même faire la différence entre des equations et des calculs.. Les vraies maths, c'est vrai que c'est quand même tableau et feuilles de papier saturés d'equations (et d'inéquations) et de gribouillis dessinés, et c'est vrai que de ça, je ne m'en désole pas dutout, même si je pense que dans l'éducation (incluant la "vulgarisation"), on devrait essayer d'arriver vers l'abstraction par des moyens plus visuels et concrets.     Si tu as un problème et que tu l'as ramené à un calcul, c'est bon, le problème est résolu: pas besoin de faire à la main le calcul, à moins qu'il y ait un moyen astucieux de réduire analytiquement l'équation avant l'execution (automatique, par exemple) du calcul.  Par contre, pour les physiciens et ingénieurs souvent c'est important pour eux d'arrondir le résultat surtout s'il contient des nombres irrationnels par exemple, mais là c'est de la physique (et non plus des maths comme telles) et on doit mettre les unités etc.

Ouais j'ai sûrement l'air de me contredire encore, mais j'essaie de balancer entre la chèvre des élèves et le pur chou des maths , tout en pesant le beurre et l'argent du beurre.

tim9.5 a écrit:Apprendre à programmer.
Clouer le bec au professeur. Lui faire répéter la théorie autant de fois possible.
Tout cela sur Khan Academy : https://www.khanacademy.org/. Pas d'obligation de s'inscrire. Aller directement en haut à gauche sur "subjets" (sujets). 95% traduit en français pour la section maths, et à peu près pour la section programmation.

Du à quoi sert les maths, on passe à : à quoi sert un prof de math... C'est le défi du XXI avec tous ces comput.

Tu trouves ce site intéressant ?
Je trouves personnellement qu'ils sont beaucoup trop scolaires, à l'audition d'une ou deux vidéos, je dirais que c'est des profs du secondaire, bon pédagogue, mais ...  si tu es collégien ou lycéen et que tu veux cartonner à ton prochain contrôle, c'est très bien,
mais si ton objectif c'est d'apprendre les mathématiques, tu perds carrément ton temps.


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Les mathématiques me font beaucoup penser à l'architecture mais avec la possibilité en plus de moduler les lois physiques, le nombre de dimensions, les règles de voisinages , etc ...

J'ai toujours bien aimé les maths,
mais ce qui m'a bien gavé, c’était le fait d'être prit bien trop souvent pour une machine, on privilégiait l'apprentissage de méthodes au détriment de la créativité, je n'ai jamais supporté d'apprendre une méthode par cœur et généralement en contrôle ou exam je devais retrouver les théorèmes par moi même, ce qui me pénalisait qd même un peu niveau notes et rapidité, mais me permettait de ne pas avoir du tout à travailler en dehors des évaluations.
D'ailleurs j'ai toujours été relativement bon en math, mais une merde infâme en calcul, mon cerveau se refuse à faire le travail d'une calculette, et même pour compter les points à la belote je galère (alors 14 + une dame qui vaut 4...ah non, ça c'est le tarot merde je sais plus ou j'en étais !).
Du coup, arrivé en fac j'ai galéré à garder le même fonctionnement, les notions étant de plus en plus abstraites, il me fallait toujours en revenir à la base pour comprendre parfaitement les notions que j'utilisait, ce qui je pense, n'est pas du tout économe en temps de réflexion, et on nous demandait plutôt de manipuler des abstractions de "niveau" plus "élevé" à chaque fois sans pour autant redescendre tout les niveaux pour savoir de quoi on parle réellement.
Enfin mon problème était surtout que je n'ai jamais appris à travailler, mais tout de même, je trouvais ça foutrement mal foutu, c’était à la fois dur et on nous prenait pour des cons (ou des robots)... C'est assez paradoxal.

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tim9.5 a écrit:

prométhéus a écrit:
Les mathématiques me font beaucoup penser à l'architecture mais avec la possibilité en plus de moduler les lois physiques, le nombre de dimensions, les règles de voisinages , etc ...

Pourrais-tu expliciter ? Ton approche m'interpelle.

Je ne veux pas répondre à la place de Prométheus, mais son commentaire, je suis très d'accord avec.  
Et je dirais que qu'en mathématiques les gens sont libres (beaucoup plus qu'en physique) de construire les structures, les espaces, les objets avec lesquels ils veulent essayer de jouer.
Tu construis les structures en prenant un ensemble sur lequel tu définis des opérations et tu munis cet ensemble des propriétés générales que tu désires.
Ça peut être des propriétés algébriques (portant sur les opérations ), ou des propriétés topologiques (la continuité, les voisinages, le nombre de trous ou comment les choses se décomposent ou se recollent de manière globale), ou encore géométriques ( si on définit une métrique, on peut mesurer les distances, et ensuite les courbures ou les torsions etc ).    

Parfois on peut chercher à être vraiment général et à s'afranchir complètement de la géométrie en ne conservant que les propriétés topologiques.  

Donc il y a la construction rationnelle d'un édifice et de l'autre côté la construction d'un objet qui est finalement un théatre sur lequel se joue la"vie" des objets qui le peuplent.

Cantor et Hilbert a écrit:
"L'essence des mathématiques, c'est la liberté !"
--Cantor  

(parlant d'un ancien étudiant:) " Il est devenu romancier car je crois qu'il n'avais pas assez d'imagination pour être mathématicien "
--Hilbert (je le paraphrase de mémoire car en fait j'ai lu plusieurs versions de la citation )

tim9.5 a écrit:

Pourrais-tu expliciter ? Ton approche m'interpelle.

Tout à fait d'accord avec Badak.
J'ai tendance à penser que cette liberté des mathématiques rend sa définition fuyante, le contenu ayant tendance à déborder du contenant, on ne peut en réalité que décrire le geste du mathématicien.

.

tim9.5 a écrit:Tout à fait. Je comprends mieux

Mais là on parle du chercheur mathématicien professionnel.
Il y a-t-il des clubs de co-construction mathématique ? Où est la place en math des gens à par le livret et les factures à payer ?
Hors du milieu académique ou industriel, point de math comme vous l'entendez, seulement vulgarisation, vidéo de cours clef en main ? La recheche se développe à telle vitesse, de manière exponentielle, que lorsque ça sort hors des sphères de recherche, c'est déjà sous forme de news plus ou moins spectaculaire.
Fait-on encore de l'architecture mathématique théorique en dehors de groupe ?
Que peut-faire un "génie de garage" à part tester des choses avec 20, 30 ans de retard sur des sujets forcément complexes, ou des "jeux de math et logique".
Cette question rejoint celle du fil du cours de relativité.

En gros, si on enlève l'ordi et le jeux math et recherche, il y a-t-il encore une prairie mathématique où se reposer ?
Je me répète un peu, car j'ai de la peine à formuler.

Je crois qu'il est surtout question de faire des choses que l'on aime, si tu pars dans l'objectif de vouloir révolutionner les mathématiques ou la physique, tu es mal parti, non pas que cela soit quelque chose de potentiellement impossible, mais fondamentalement la science demande une certaine abnégation, une grande humilité et ce genre d'approche ne mène qu'à une forme de déperdition, tous ces génies incompris, qui pullulent sur internet, mais cela peut aussi toucher le scientifique, j'ai quelques cas en tête, c'est particulièrement triste.

tim9.5 a écrit:Tout à fait. Je comprends mieux

Mais là on parle du chercheur mathématicien professionnel.

Il y a des chercheurs mathématiciens qui ne sont pas professionel. N'importe qui avec un doctorat en physique ou un maitrise (Master ou DEA) en math peut bien se retrouver ailleurs que dans le monde académique.

Il y a eu l'histoire de ce gars prof de surf à Hawaii qui avait un phd en physique théorique et qui travaillait en diletante sur une structure algébrique capable d'unifier la physique (Garrett je crois.)

tim9.5 a écrit:Il y a-t-il des clubs de co-construction mathématique ? Où est la place en math des gens à par le livret et les factures à payer ?

Il y a autant de math dans les factures à payer que dans la patisserie (les trous dans les beignes, l'application du boulanger etc ).

En réalité tu as quand même raison
Je pense que c'est dans les énigmes, les jeux de réflexions, qu'on retrouve la meilleure idée des maths.
Trouver la solution à un problème parce que le problème provoque l'esprit et que sa résolution est une satisfaction qui procure un plaisir, c'est ça l'essence des maths.

Il n'est pas toujours besoin de structures mathématiques très avancées formellement: juste penser se construire une grille en 2D ou en 3D pour résoudre une énigme suffit.

Juste se retrouve la première fois devant un jeu de Sudoku et penser à comment résoudre le problème en minimisant les essais erreurs, c'est carrément des mathématiques.
Juste résoudre un casse-tête, c'est des maths aussi, mais un peu plus inconscient...

Idem pour résoudre le problème de défaire un noeud dans des câbles .
En particulier, il y a un mathématicien kite-surfer qui expliquait qu'il était un question de vie et de mort pour tous les kite-surfers de s'assurer qu'il n'y ait pas de noeud dans les cables avant de décoler, mais qu'il était sûrement le seul Kite-Surfer au monde à savoir le théorème qui justifiait cela. C'est typiquement une question de théorie des tresses.


Regarde les algèbres de temperley-Lieb: c'est comme le principe utilisé pour démêler les tresses et les noeuds, et la compatibilité de l'opération est visuellement exactement comme un casse-tête pour (grands) enfants.

https://en.wikipedia.org/wiki/Temperley%E2%80%93Lieb_algebra

Je ne comprends pas cette propension à toujours accuser les professeurs. Moi, j'ai toujours apprécié mes profs de maths (j'avais aussi la fâcheuse tendance à m'éprendre d'eux). Ils expliquaient correctement le cours et certaines démonstrations qu'on n'avait pas le temps de faire, je les lisais dans le livre. De toute façon, j'étais tellement impatiente que quand je m'ennuyais en cours (pendant la correction des exercices notamment), j'allais voir les chapitres pas encore abordés. Bref, tout ça pour dire que les profs font de leur mieux avec les moyens du bord.

Je crois surtout que les personnes qui détestent vraiment les maths sont celles qui ont vraiment beaucoup de difficulté à raisonner dans l'abstrait. Il y a des élèves qui perdent leurs moyens dès qu'ils voient des "x" et des "y".

Après, je connais des physiciens qui sont bons en maths mais qui ne sont pas particulièrement passionnés par cette discipline. Ils trouvent que ça "ne sert à rien", à part à modéliser des lois physiques. En gros, c'est juste un outil.

Moi, personnellement, j'aime toutes les sciences et tout ce qui fait appel à la logique, mais rien ne me passionne plus que les maths. Il y a moins d'approximations qu'en physique(car pas de mesures) et on n'est pas entravé par la réalité (frottements etc...) Puis, c'est une science qui se suffit à elle-même. Et je me fiche de son utilité. Je trouve ça beau, et c'est tout.

Lawliet Ryuzaki a écrit:Je ne comprends pas cette propension à toujours accuser les professeurs. Moi, j'ai toujours apprécié mes profs de maths (j'avais aussi la fâcheuse tendance à m'éprendre d'eux). Ils expliquaient correctement le cours et certaines démonstrations qu'on n'avait pas le temps de faire, je les lisais dans le livre. De toute façon, j'étais tellement impatiente que quand je m'ennuyais en cours (pendant la correction des exercices notamment), j'allais voir les chapitres pas encore abordés. Bref, tout ça pour dire que les profs font de leur mieux avec les moyens du bord.

Je crois surtout que les personnes qui détestent vraiment les maths sont celles qui ont vraiment beaucoup de difficulté à raisonner dans l'abstrait. Il y a des élèves qui perdent leurs moyens dès qu'ils voient des "x" et des "y".

Après, je connais des physiciens qui sont bons en maths mais qui ne sont pas particulièrement passionnés par cette discipline. Ils trouvent que ça "ne sert à rien", à part à modéliser des lois physiques. En gros, c'est juste un outil.

Moi, personnellement, j'aime toutes les sciences et tout ce qui fait appel à la logique, mais rien ne me passionne plus que les maths. Il y a moins d'approximations qu'en physique(car pas de mesures) et on n'est pas entravé par la réalité (frottements etc...) Puis, c'est une science qui se suffit à elle-même. Et je me fiche de son utilité. Je trouve ça beau, et c'est tout.

Je ne crois pas non plus que ce soit de la faute des méchants profs.. Mais je pense quand même que le programme scolaire n'est pas toujours des plus palpitants. Comme tu dis, il y en a pour qui c'est avec les applications qui voient l'intérêt, et d'autres qui aiment surtout la beauté. Moi c'est un peu des deux. Mais je trouve que le programme actuel du secondaire et du primaire me semble échouer sur les deux plans... Je n'ai pas de véritables solutons, on ne peux pas tout faire, mais comment éveiller l'intérêt est la question..

Qu'est-ce que tu trouves beau en particulier ? le déclic quand tu comprends ? Le vertige des constructions idéales qui s'emboitent ?
Et comment tu en parlerais à quelqu'un qui n'y voit aucun intérêt pour lui expliquer que c'est beau ?

Pour être de la partie, je sais que toute ma vie j'essaierai (peut-être en vain...) de rendre les maths "sexy" pour les petites têtes blondes...mais il y a tellement de paramètres qu'on ne maitrise pas et qui vont à l'encontre de ce questionnement au quotidien...

Les maths c'est routinier, voire administratif.

Entre théorie et pratique, c'est la pratique qui peut être routinière (même s'il y a une pratique de la théorie il est vrai). C'est l'opposition entre science et technique, ou plutôt entre d'une part compréhension et création de sens et de l'autre application mécanique d'un outil.
Et cet outil peut être aussi conceptuel, c'est-à-dire n'avoir pas de rapport avec la réalité physique. Ainsi effectuer des calculs peut être routinier. Mais apprendre à manipuler de nouvelles structures, voire même en créer soi-même, c'est ce qui est le moins routinier qu'on puisse imaginer en la vie.

doggie a écrit:Les maths c'est routinier, voire administratif.

Ça dépend de quoi on parle...
Devant un problème nouveau, il s'agit d'imaginer comment le résoudre. Si tu es devant un problème connu dont tu connais déjà la méthode de résolution, l'executer ce n'est pas vraiment des mathématiques.
Il ne faut pas confondre les inspecteurs à la Sherlock-Holmes et le policier qui distribue les contraventions..

Même dans les examens de math à l'université: l'examen est là pour te permettre de te casser les dents sur des questions que t'as jamais vu. Il n'y a pas possibilité d'avoir une belle réponse à encadrer au bas de la feuille comme au secondaire. Tu dois gribouiller et essayer de faire des liens avec des théorèmes que tu es supposé savoir, mais la manière de le faire n'est pas toujours évidente.