Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

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Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Petitagore le Mar 24 Fév 2015 - 0:00

Note à l'usage de ceux qui arrivent sur ce fil de discussion par hasard

Je soupçonne que ce fil de discussion a commencé à être signalé sur les réseaux sociaux, et que pas mal de ceux qui le consultent aujourd'hui, n'étant pas inscrits sur ce forum, ne peuvent y faire connaître leurs réactions. Eh bien, n'importe qui peut assez facilement joindre par courrier électronique l'auteur principal de ce fil de discussion (qui signe "Petitagore") en suivant ce lien.

Et cette note liminaire étant terminée, ce qui suit correspond à l'état originel du fil de discussion. Bonne lecture.


----

Bonjour, bonjour. Un peu de silence... merci.

Un petit croquis valant toujours mieux qu'un long discours, la merveille mathématico-informatique que je veux vous faire connaître aujourd'hui se présente comme ceci:



mais ça, c'est une image statique, alors que ce truc est vivant et interagit merveilleusement avec votre cerveau qu'il est voué à emberlificoter, vu qu'il s'agit d'un jeu mathématique comme je les aime: un principe très très simple aboutissant à des comportements... sensiblement plus complexes.

Sans que je vous explique rien, vous pouvez déjà essayer de cliquer un peu partout sur le bazar interactif
que j'ai amoureusement programmé pour vous (en JavaScript). Allez-y voir, cliquez partout, vous ne comprendrez peut-être rien sur le moment mais c'est pas grave, quand vous aurez assez joué je vous expliquerai ce qu'il s'agit de faire.

Eh bien, allez-y, allez-y, ça mord pas! Mais non, n'ayez pas peur, vous n'allez pas le casser.

(quinze secondes passent)

Vous noterez qu'en bas à droite de la figure il y a quatre petits bazars qui, avec un peu d'indulgence et de bonne volonté, ressemblent à des touches de magnétoscope.



Vous les avez vus? Eh bien, cliquez dessus de temps en temps et regardez ce qui se passe. Là non plus, y a pas de danger, ça mord pas. Je pense que vous comprendrez tous seuls à quoi ça sert -- sinon faites-vous aider par votre voisin.

(deux autres minutes passent)

C'est bon? Ça a ne serait-ce qu'un tout petit peu titillé votre curiosité? Maintenant, vous voulez que je vous explique? Eh bien, répondez! Non? Non, mais, cachez votre joie, bande de cancres!

De toute façon, que vous le vouliez ou pas, je vous explique.  Very Happy

Bon. Ce bazar, ce carré noir découpé en triangles aux côtés bleus avec des petits sommets brillants, ça s'appelle (enfin, je l'appelle) une grille Triancey. Et en fait, ce n'est pas un carré, car un carré a des limites et cette figure, elle, n'en a pas: les cases triangulaires du côté inférieur touchent celles du côté supérieur, celles du côté gauche touchent celles du côté droit (si je n'avais pas peur de vous embrouiller, je vous dirais bien que c'est un tore, mais ça vous effraierait parce que c'est employer un mot bien compliqué pour désigner ce bazar qui est en fait d'une simplicité archangélique, même que c'est pour ça que je l'aime).

La seule chose que je vous demande de comprendre à ce stade du récit, c'est que toutes les cases triangulaires de cette figure se touchent deux à deux par des côtés entiers, de sommet à sommet (d'un point lumineux à un autre point lumineux).

On est d'accord? Elles se touchent toutes par des côtés entiers, de sommet à sommet, OK?

Bon. Comme ces cases sont triangulaires et qu'un triangle a trois côtés (on vous l'avait déjà dit?)... eh bien ça veut dire que chaque case de cette grille touche par ses trois côtés exactement trois autres cases -- qu'on appelle ses voisines.

C'est vrai pour toutes les cases. Et je dis bien: toutes. J'insiste très lourdement: toutes, toutes, toutes.

Attention, revoici la même figure avec des numéros dessus. Pas de panique, c'est juste pour qu'on sache de quoi on parle, ces numéros n'ont aucune signification en eux-mêmes et ils sont tout bêtement disposés, dans l'ordre, de gauche à droite et de haut en bas; seulement, comme les cases triangulaires sont irrégulières et même (savamment) bordéliques, ça ne saute pas aux yeux.



Toutes et chacune de ces cases touchent exactement trois cases voisines. C'est vrai même pour celles des bords, même pour celles des coins. Je me répète: les cases du côté gauche touchent celles du côté droit; sur la grille "simplet" représentée ci-dessus, les cases 0, 15, 21 et 29 touchent les cases 14, 20, 28 et 43, respectivement. De la même façon, les cases du haut 1, 3, 5 et 7 touchent les cases du bas 36, 38, 40 et 42, respectivement.

Capisci? Allez quoi, faites un effort, merde, je vous rappelle que vous êtes censés être des zèbres. Je vous dis pas ça pour vous emmnuyer, mais pour que vous compreniez ce qui se passe quand vous cliquez sur les cases dans la version interactive (mais oui, retournez vous rendre compte, c'est fait pour ça): dès qu'une case a deux voisines pleines, pouf, elle devient pleine elle-même, y compris si vous avez pas cliqué dessus, y compris si cela conduit à en remplir une nouvelle sur le troisième côté, et une autre, et encore une autre.

Quelqu'un a demandé pourquoi? Because c'est comme ça... Y a pas de pourquoi, c'est l'inventeur du bazar qui en a décidé ainsi.

Oui, l'inventeur du bazar, c'est moi, en effet. Ça a l'air de t'étonner, petit crétin, avoue que tu ne m'en aurais pas cru capable.

Bref. On appelle ces prises de plusieurs cases en un seul clic des réactions en chaîne. Vous pouvez vous amuser à essayer d'en déclencher des grosses, de prendre quatre cases, cinq ou même dix en un seul coup. Et si vous y arrivez, c'est vraiment très bien, c'est le signe que vous avez compris.

Eh bien figurez-vous, mes bons amis, que la réaction en chaîne dans les grilles Triancey, ben c'est un truc très rigolo. Et dès que j'aurai l'impression que vous avez compris tout ce qui précède, je vous expliquerai pourquoi.

Mais pas tout de suite, parce que j'ai remarqué au fond de la salle un ou deux cossards qui n'ont pas encore tout pigé, nous allons donc leur laisser le temps de réfléchir, je n'ai pas l'intention de répéter pour les dispenser de cet effort, non mais sans blague.

Allez, ça suffit comme ça. Maintenant, vous prenez une feuille à grands carreaux, vous marquez votre nom en haut à gauche, et vous me dites quelles sont les trois cases voisines de la case 17 et... et de la case 42, tant que vous y êtes. A midi pile, je ramasserai les copies.

Comment dites-vous? Est-ce que ce sera noté? Mais certainement, et coefficient 3, en plus... Mais non ça sera pas noté, banane, c'est pour voir qui a compris et à qui il faut réexpliquer, c'est tout. Donc, vous êtes gentils, vous copiez pas sur votre voisin.

Allez, je vous laisse, travaillez bien, soyez sages. Je suis en salle des profs, on se revoit à midi.


Dernière édition par Petitagore le Mar 1 Sep 2015 - 10:34, édité 3 fois (Raison : rétablissement de l'affichage pédagogique en Javascript)
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Ardel le Mar 24 Fév 2015 - 0:29

Je ne sais pas si tu sais (sans doute, mais au cas où) que ce genre de grille (sans la connexion torique) est très utilisé, sous le nom de maillage, dans diverses méthodes numériques de résolution d'équations (différentielles, notamment), par exemple la méthode des éléments finis.

Bon, ça n'a pas grand chose à voir avec ton petit jeu (au demeurant fort amusant), sauf ... qu'il existe une large variété de créateurs de ces grilles (mailleurs, donc) pour des géométries variées, que tu peux utiliser si tu veux t'amuser à jouer sur différentes grilles. Aux mailles plus fines, par exemple, et via une modification que je pense modique de ton code pour prendre en entrée les fichiers générés par les mailleurs (des fichiers textes avec les coordonnées des points, rien de bien méchant).

Un exemple libre (ça va te plaire) mais professionnel, et dans mes souvenirs (ça remonte à mes cours de master) d'une grande simplicité d'utilisation : gmsh.

Et si besoin, mais je ne pense pas, ma boite à MP est grande ouverte.
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Petitagore le Mar 24 Fév 2015 - 11:40

Ardel a écrit:Je ne sais pas si tu sais (sans doute, mais au cas où) que ce genre de grille (sans la connexion torique) est très utilisé, sous le nom de maillage, dans diverses méthodes numériques

Je sais et je ne sais pas tout en le sachant un peu quand même...  Very Happy En fait, je sais surtout qu'on a commencé à gamberger sur ces bazars sur la base des travaux du mathématicien Delaunay, un Soviétique d'origine française comme son nom l'indique (cocorico na zdarovié). Les maillages servent beaucoup pour les méthodes numériques que tu décris et auxquelles je ne connais à peu près rien, mais aussi pour la représentation des objets en 3D -- domaine auquel, cette fois, je connais un peu quelque chose, même que c'est en travaillant dessus que j'ai eu l'idée de mon jeujeu.

Bon, ça n'a pas grand chose à voir avec ton petit jeu (au demeurant fort amusant), sauf ... qu'il existe une large variété de créateurs de ces grilles (mailleurs, donc) pour des géométries variées, que tu peux utiliser si tu veux t'amuser à jouer sur différentes grilles. Aux mailles plus fines, par exemple, et via une modification que je pense modique de ton code pour prendre en entrée les fichiers générés par les mailleurs (des fichiers textes avec les coordonnées des points, rien de bien méchant).

C'est en effet très envisageable, puisque mes listings Javascript exploitent des fichiers XML qui leur sont extérieurs, et dotés d'une syntaxe simplissime. Cela dit, il est essentiel pour le principe de mon jeu que toutes les cases aient trois voisins (d'où la nature torique du bazar). Ce serait le cas pour des triangles décrivant l'enveloppe d'un solide en trois dimensions, et on pourrait effectivement appliquer là-dessus le principe de mon jeu; mais il faudrait représenter ça en 3D, de préférence avec des faces cachées -- ce qui compliquerait notablement le code Javascript. En effet, c'est envisageable... mais pas pour demain.  Razz Le gros avantage du tore, c'est qu'il reste intelligible quand on le représente en 2D.

Et les autres, je vous rappelle qu'il ne vous reste que vingt minutes pour rendre les copies, faudrait songer à vous bouger les fesses.
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Petitagore le Mar 24 Fév 2015 - 12:10

Bon, d'abord, finissons-en avec les formalités...

Correction des copies:
Les trois voisines de la case 17 sont numérotées 10, 16 et 23; ceux qui n'ont pas trouvé sont vraiment des gros nuls.

Les trois voisines de la case 42 ne sont pas 35, 41 et 43, c'était un piège grossier dans lequel vous êtes tous tombés et je suis très colère. Les cases sont voisines par les côtés, pas par les pointes, sacré pétard, et donc les trois voisines de la case 42 sont numérotées 41, 43 et...

... et?

et 7, évidemment! Les cases du bas touchent celles du haut, de même que celles de gauche touchent celles de droite!

Demain matin, interro écrite. Ça vous apprendra.
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Petitagore le Mar 24 Fév 2015 - 12:18

Bon. Maintenant que vous avez compris le principe des réactions en chaîne dans les grilles Triancey, il reste à trouver un moyen d'en faire quelque chose de rigolo et d'intellectuellement motivant. J'ai bien sûr ma petite idée sur la question, mais je ne vais pas tout de suite vous l'énoncer, pour deux raisons:

1 - Il vous faut un peu de pratique avant, sans quoi vous vous découragerez tout de suite;

2 - Après tout, peut-être allez-vous imaginer des façons de jouer que je n'ai pas envisagées, et votre créativité m'intéresse: si vous avez des idées de façons de jouer, n'hésitez pas à en parler ici.

Je vous suggère une piste. Comme vous l'avez sans doute remarqué, tant que la grille est presque vide, il est facile d'éviter les réactions en chaîne et difficile d'en déclencher des grosses -- tandis que quand la grille commence à être très remplie il est très facile de déclencher de grosses réactions en chaîne et très difficile de prendre les cases une par une.

Ne pourrait-on pas faire un truc un peu rigolo sur cette base?

Edit: J'ai oublié de vous signaler (mais vous l'avez peut-être compris seuls vu que vous êtes des zèbres) que vous avez bien plus d'une grille interactive à votre disposition: il y en a une trentaine ici.


Dernière édition par Petitagore le Mar 24 Fév 2015 - 12:25, édité 1 fois
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Stauk le Mar 24 Fév 2015 - 12:20

Disons que le défi ça serait de remplir la grille en un minimum de clics ?
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Professeur Megamiaou le Mar 24 Fév 2015 - 12:32

Tu pourrais pas le refaire avec une bouteille de Klein plutôt qu'un tore ?
Le tore, c'est du déjà vu, un peu Kindergarden tout de même. ;-)
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Petitagore le Mar 24 Fév 2015 - 12:38

Professeur Megamiaou a écrit:Tu pourrais pas le refaire avec une bouteille de Klein plutôt qu'un tore ?
Le tore, c'est du déjà vu, un peu Kindergarden tout de même. ;-)

Quand je t'aurai montré la vraie règle, tu verras que tu feras moins le malin. Razz

stauk a écrit:Disons que le défi ça serait de remplir la grille en un minimum de clics ?

C'est une piste pour faire des trucs rigolos, et je t'engage à la creuser, mais je peux aussi ajouter quelques critères esthétiques:

A mon avis, on est en présence d'un bon casse-tête quand l'objectif est simple et clairement défini, tout en étant difficile à atteindre. "Un minimum de clics", ce n'est pas assez défini (c'est quoi, le minimum: quatre, ou douze? et comment je fais pour le savoir?). Deuxième critère: il est bon que cet objectif soit toujours accessible, quelle que soit la grille, parce que c'est vraiment râlant de s'escrimer trois quarts d'heure sur une grille pour qu'ensuite le concepteur du jeu vienne la gueule enfarinée vous dire "c'était une grille insoluble, ha ha, je vous ai bien eus": moi, ça me donnerait envie de l'étriper.
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Professeur Megamiaou le Mar 24 Fév 2015 - 12:41

stauk a écrit:Disons que le défi ça serait de remplir la grille en un minimum de clics ?
12 me parait raisonnable
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Petitagore le Mar 24 Fév 2015 - 12:48

Pas plus de douze clics pour remplir toute la grille... Oui, ça peut être un bon exercice pour débutants (allez-y, ceux qui disent rien, essayez). Mais je viens de réussir une grille avec onze clics et sans m'appliquer beaucoup.

Je suggère une amélioration (mais je ne vous garantis pas que c'est faisable sur toutes les grilles, ni même sur une seule): au lieu d'un total de douze coups, on impose que les huit premiers coups ne prennent qu'une case, après quoi les quatre coups restants doivent suffire à achever de remplir la grille. Et si c'est trop simple: neuf puis trois au lieu de huit puis quatre.

On avance, on avance... Jusqu'ici, je continue de préférer ma façon de jouer, mais je sens venir de bonnes idées. Very Happy
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Stauk le Mar 24 Fév 2015 - 12:53

Petitagore a écrit:
stauk a écrit:Disons que le défi ça serait de remplir la grille en un minimum de clics ?
C'est une piste pour faire des trucs rigolos, et je t'engage à la creuser, mais je peux aussi ajouter quelques critères esthétiques:

A mon avis, on est en présence d'un bon casse-tête quand l'objectif est simple et clairement défini, tout en étant difficile à atteindre. "Un minimum de clics", ce n'est pas assez défini (c'est quoi, le minimum: quatre, ou douze? et comment je fais pour le savoir?). Deuxième critère: il est bon que cet objectif soit toujours accessible, quelle que soit la grille, parce que c'est vraiment râlant de s'escrimer trois quarts d'heure sur une grille pour qu'ensuite le concepteur du jeu vienne la gueule enfarinée vous dire "c'était une grille insoluble, ha ha, je vous ai bien eus": moi, ça me donnerait envie de l'étriper.

Ben c'est communautaire. Les gens viennent, essayent, et défient leurs amis. Bienvenue en 2015.
(enfin je dis ça, mais je ne sais pas si la courbe de progression serait appropriée à ce genre de choses)
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Petitagore le Mar 24 Fév 2015 - 13:08

stauk a écrit:Ben c'est communautaire. Les gens viennent, essayent, et défient leurs amis.

Genre: j'ai rempli la grille trucmuche en dix coups seulement, t'es pas cap' d'en faire autant. Oui, c'est envisageable (d'ailleurs, vas-y, lance-moi des défis si tu l'oses! Razz ). Mais celui qui lance le défi devra consacrer pas mal de temps à se casser les dents en s'auto-imposant des défis insolubles, faute de quoi des nullards cliquant un peu au hasard risqueront de faire aussi bien que lui avec sa stratégie prise de tête.

Avec ma règle à moi, on sait à l'avance quel optimum il faut atteindre, et cet optimum, bien que variant d'une grille à l'autre, est toujours (relativement) simple à déterminer. Mais je ne vous l'explique pas encore, un peu pour le plaisir de titiller votre curiosité, beaucoup parce que j'ai l'espoir que vous inventiez des façons de jouer tout aussi défendables que la mienne.
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par loulou38 le Mar 24 Fév 2015 - 13:38

8+3 ça se fait sans trop de problème sur avril par exemple
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Petitagore le Mar 24 Fév 2015 - 14:28

loulou38 a écrit:8+3 ça se fait sans trop de problème sur avril par exemple

C'est vrai, j'y arrive aussi. Very Happy

Ce qui met en lumière un problème: certains défis, bien qu'intéressants d'une manière générale, sont relativement faciles à relever (voire à surpasser) sur certaines grilles -- de même que, symétriquement, ils peuvent être impossibles sur certaines autres. Evidemment, si on recherche un optimum, il n'y a jamais qu'un optimum pour chaque grille, par définition -- mais comment savoir qu'on a vraiment atteint cet optimum, et pas simplement un truc un peu en dessous de l'optimum? Par exemple, si je parviens à prendre toute une grille en dix coups seulement, ce qui généralement est difficile, comment puis-je démontrer qu'il n'est pas également possible de la prendre en neuf coups? Et quand je n'y arrive pas, puis-je être sûr que c'est parce que je m'y prends mal, et pas parce que l'optimum se trouve être de onze sur cette grille?

Il y a bien un moyen de répondre, mais il est très inélégant sur un casse-tête (et pas à la portée du premier venu, en plus): c'est d'écrire un programme informatique testant assez d'hypothèses pour déterminer quel est l'optimum pour n'importe quelle grille qu'on lui soumet. De fait, j'ai inventé ma règle (pour laquelle je continue de vous faire un teasing effrené Very Happy ) sur la base de très nombreux résultats obtenus par un solveur de ma composition... mais qui m'ont permis de vérifier qu'avec la règle que j'envisageais, l'optimum pouvait être déterminé sans solveur.

Cela dit, il n'y a pas que la recherche d'un optimum qui puisse être drôle. On peut aussi se lancer des défis presque toujours possibles, mais aussi presque toujours acrobatiques (genre: rouler deux cents mètres à vélo sans toucher le guidon). Je ne vais pas tarder à vous en montrer un de ce type (qui ne sera pas encore conforme à ma super-règle, mais vous y préparera psychologiquement  Twisted Evil ).
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Pieyre le Mar 24 Fév 2015 - 15:00

C'est manifestement un problème de topologie discrète : recouvrement d'une surface par des tesselles, ici des triangles. Parfois une vue duale peut être utile pour raisonner : remplacer chaque tesselle par un point intérieur et relier tous les points correspondant à des tesselles jointives. Je ne sais pas si ce serait utile ici, dans la mesure où l'on obtiendrait plusieurs types de polygones comme tesselles duales. Mais c'est une idée.

Par ailleurs je ne parviens pas à jouer. J'obtiens « contentType was undefined ». Tu pourrais me dire ce qui ne va pas chez moi ?

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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Petitagore le Mar 24 Fév 2015 - 15:24

Pieyre a écrit:C'est manifestement un problème de topologie discrète : recouvrement d'une surface par des tesselles, ici des triangles. Parfois une vue duale peut être utile pour raisonner : remplacer chaque tesselle par un point intérieur et relier tous les points correspondant à des tesselles jointives. Je ne sais pas si ce serait utile ici, dans la mesure où l'on obtiendrait plusieurs types de polygones comme tesselles duales. Mais c'est une idée.

Bien que tu me parles un peu hébreu, je pense qu'en effet ce que tu dis est pertinent...  Very Happy

Par ailleurs je ne parviens pas à jouer. J'obtiens « contentType was undefined ». Tu pourrais me dire ce qui ne va pas chez moi ?

Tiens? Voilà qui est étrange. Je vais parler le sabir informatique, toutes mes excuses à ceux qui n'y comprennent rien... et par ailleurs, merci à tous ceux qui y comprennent quelque chose s'ils peuvent nous aider.

Gloubiboulga informatique:
Un tel compte rendu (envoyé, sauf erreur de ma part, par mon propre listing Javascript dans un message d'erreur) est a priori relié aux types MIME, domaine dans lequel j'avoue être incompétent -- même que c'est pour ça que j'ai prévu ce type de comptes rendus d'erreur! Noeud du problème: le script Javascript a besoin d'interpréter le descriptif de la grille, lequel est un fichier XML. Pour des raisons qui m'échappent totalement, le type MIME est "text/xml" quand je fais l'essai chez moi en local (avec Lampp), et "application/xml" quand j'utilise les mêmes fichiers sur mon serveur (qui tourne avec une Debian banale, un Apache banal). A vrai dire, je ne sais pas ce qui détermine le type MIME, si c'est Javascript, ou Apache, ou le navigateur, ou le système d'exploitation, ou une coopération entre deux de ces bazars.

Si quelqu'un y connaît quelque chose, merci à lui de me faire partager sa science!

Piste possible en attendant un avis plus compétent que le mien: peut-être le navigateur que tu utilises, Pieyre, est-il un peu ancien et nécessite-t-il une mise à jour. As-tu le même problème avec Internet Explorer, Firefox et Chrome -- si toutefois tu disposes de plus d'un navigateur?
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Petitagore le Mar 24 Fév 2015 - 16:34

Bon. Je ne veux surtout pas vous empêcher de continuer à inventer des règles, mais comme je vais devoir m'éloigner de mon clavier jusqu'à demain matin, je vous donne sans plus attendre accès à une version "pour les grands" de mon petit casse-tête. Les cases sont désormais numérotées mais ça n'y change rien. Ce qui change, c'est ceci:

Les cases prises sont colorées en bleu, sauf si elles sont prises par trois (d'où le nom du jeu), auquel cas elles sont colorées en jaune.

Votre mission, si vous l'acceptez, consiste à colorer les grilles entièrement en bleu, sauf deux hexagones jaunes. Clairement distincts, si possible (ça l'est presque toujours).

C'est très possible. En tout cas c'est possible sur toutes les grilles que je mets à votre disposition, j'ai vérifié. En revanche, ce n'est pas vraiment simple. Et si en plus vous vous imposez d'y arriver sans jamais utiliser les touches de magnétoscope... alors là, que les dieux de la mathématique vous viennent en aide. Very Happy

Cela dit, ce n'est toujours pas ma règle préférée... mais ça suffira à vous entraîner avant que je vous l'explique -- et surtout que je vous explique comment on peut réussir l'objectif très difficile qu'elle vous forcera à chercher à atteindre (le teasing éhonté continue).
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Pieyre le Mar 24 Fév 2015 - 17:12

Merci, ça marche avec Firefox. Ce doit être un problème de mise à jour de Chrome.

Je propose une conjecture : le nombre de triangles est toujours pair.
Cela doit se démontrer facilement par récurrence, en envisageant les différents cas d'ajout d'un nouveau triangle : il faut commencer par un sommet, couper un côté, et rejoindre un ou plusieurs sommets, d'où un nombre pair de triangles supplémentaires.

Si l'on considère la dualité entre ton maillage obtenu, ici par des triangles (partition de Delaunay) et le pavage associé (polygones de Voronoï), on obtient une autre conjecture : le nombre de pavés est moitié du nombre de triangles.
Cela doit se démontrer par une récurrence semblable.

Maintenant, à quoi ça peut servir ? Je ne sais pas. Il est peut-être plus facile de raisonner sur un nombre de tesselles réduit.

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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par loulou38 le Mar 24 Fév 2015 - 17:38

Il y a un problème : quand les cases sont prises par trois, la figure jaune est un pentagone ... Razz
D'autre part, je suppose qu'on tient compte des raccords toriques, et donc il peut y avoir du jaune en deux morceaux ?
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Petitagore le Mer 25 Fév 2015 - 0:14

loulou38 a écrit:Il y a un problème : quand les cases sont prises par trois, la figure jaune est un pentagone ...  Razz

Plaisantin. Certes, quand l'hexagone touche un bord, il arrive que deux de ses côtés soient alignés sur le bord, ce qui donne à l'ensemble de six cases l'aspect d'un pentagone; mais là, on pinaille. S'il y a six triangles autour d'un sommet, j'appelle ça un hexagone quand bien même ça serait carré! Embarassed

D'autre part, je suppose qu'on tient compte des raccords toriques, et donc il peut y avoir du jaune en deux morceaux ?

Oui, c'est permis. Cela dit, il n'est vraiment nécessaire d'en tenir compte que sur une des 34 grilles.
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Petitagore le Mer 25 Fév 2015 - 0:23

Pieyre a écrit:Je propose une conjecture : le nombre de triangles est toujours pair.

On peut en faire un théorème.  Very Happy

Cela doit se démontrer facilement par récurrence, en envisageant les différents cas d'ajout d'un nouveau triangle : il faut commencer par un sommet, couper un côté, et rejoindre un ou plusieurs sommets, d'où un nombre pair de triangles supplémentaires.

Je me souviens d'avoir lu dans une rubrique de jeux un problème ainsi conçu: "Dans le village de Trifouilly-les-oies, tous les habitants ont trois amis. Démontrez que le nombre d'habitants de Trifouilly est pair." Je ne me souviens plus de la démonstration, seulement que je l'avais trouvée très élégante. Je ne vais pas la chercher maintenant, mais je crois qu'elle est quelque part dans la pile de bouquins à côté de ma cheville gauche.  Very Happy

Si l'on considère la dualité entre ton maillage obtenu, ici par des triangles (partition de Delaunay) et le pavage associé (polygones de Voronoï), on obtient une autre conjecture : le nombre de pavés est moitié du nombre de triangles.
Cela doit se démontrer par une récurrence semblable.

Maintenant, à quoi ça peut servir ? Je ne sais pas.

Moi non plus, mais je trouve quand même ça fascinant!


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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Pieyre le Mer 25 Fév 2015 - 1:47

Petitagore a écrit:Je me souviens d'avoir lu dans une rubrique de jeux un problème ainsi conçu: "Dans le village de Trifouilly-les-oies, tous les habitants ont trois amis. Démontrez que le nombre d'habitants de Trifouilly est pair." Je ne me souviens plus de la démonstration, seulement que je l'avais trouvé très élégante.
Là, tu me ramènes à une préoccupation que j'ai eue lors de mes chères études : pourquoi est-ce que je me suis aussi souvent lancé dans une solution technique alors qu'il existait une solution plus conceptuelle, c'est-à-dire plus élégante ?

Bon, dans ton problème, j'en tiens toujours pour ma récurrence.
Déjà, il y a un cas élémentaire où la contrainte est réalisée : le nombre d'habitants est quatre, donc pair, chacun étant ami des trois autres.

Ensuite, on suppose que cette contrainte est réalisée pour un nombre d'habitants pair. Et on tente d'introduire un nouvel habitant, qui devra être ami avec trois autres, disons a, b et c, quitte à eux de rompre une relation d'amitié qui existait jusque là.

Je trouve quatre cas, où la contrainte échoue :
— a, b et c n'avaient pas de relation d'amitié entre eux; ils rompent chacun avec un habitant; parmi ces trois-là, deux peuvent nouer une nouvelle relation d'amitié, mais le troisième se retrouve avec deux amis; ça ne marche donc pas;
— entre a, b et c, il y avait juste une relation d'amitié, disons entre a et b; si a et b rompent, ils conservent trois relations d'amitiés; mais c doit rompre avec un ami, qui lui reste avec deux amis, comme dans le cas précédent;
— entre a, b et c, il y avait deux relations d'amitié, disons entre a et b et entre a et c; a ne peut rompre ces deux relations pour son nouvel ami, sinon à n'avoir plus que deux amis; et donc c'est b ou c qui se retrouve dans le cas précédent;
— a, b et c étaient mutuellement amis; si a rompt sa relation avec b, il ne peut la rompre avec c; aussi c se retrouve encore dans le cas précédent.

Au contraire, si l'on introduit non pas un mais deux nouveaux habitants, là il y a une solution simple. On choisit a, b et c mutuellement amis, ils rompent leurs relations (chacun en a deux en moins) et ils établissent une relation avec les deux nouveaux (deux en plus).

Maintenant, je suis sûr que quelqu'un va nous trouver une démonstration plus élégante, et j'en serai mortifié !


Quelques minutes plus tard...
Argh ! J'ai trouvé... Supposons une relation d'amitié entre a et b comme une flèche de a vers b associée à une flèche de b vers a. Si tous les habitants ont trois amis, et qu'il y a n habitants, cela fait donc 3 × n flèches. Si n est impair, ce nombre est impair. Or les flèches correspondant aux relations d'amitiés étant réciproques sont forcément en nombre pair.

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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Petitagore le Mer 25 Fév 2015 - 10:42

Pieyre a écrit:Là, tu me ramènes à une préoccupation que j'ai eue lors de mes chères études : pourquoi est-ce que je me suis aussi souvent lancé dans une solution technique alors qu'il existait une solution plus conceptuelle, c'est-à-dire plus élégante ?

Eh bien c'est exactement la problématique de mon casse-tête, comme nous allons bientôt le voir! Il a donc de grandes chances de te plaire.  Very Happy

Bon, dans ton problème, j'en tiens toujours pour ma récurrence.

Je ne dis pas que tu as tort, mais moi aussi ça me rappelle mes cours de maths, ce moment douloureux où, comme disait Coluche, une fois que le prof avait fini sa réponse je ne comprenais même plus ma question...

Déjà, il y a un cas élémentaire où la contrainte est réalisée : le nombre d'habitants est quatre, donc pair, chacun étant ami des trois autres.

Jusque là, j'ai compris! Mais après, ça s'est salement gâté.  Very Happy

Argh ! J'ai trouvé... Supposons une relation d'amitié entre a et b comme une flèche de a vers b associée à une flèche de b vers a. Si tous les habitants ont trois amis, et qu'il y a n habitants, cela fait donc 3 × n flèches. Si n est impair, ce nombre est impair. Or les flèches correspondant aux relations d'amitiés étant réciproques sont forcément en nombre pair.

Je vais aller boire un ou deux litres de café, parce que là, c'est tellement brillant que je ne pige rien... Shocked


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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Stauk le Mer 25 Fév 2015 - 10:48

Petitagore a écrit:
Argh ! J'ai trouvé... Supposons une relation d'amitié entre a et b comme une flèche de a vers b associée à une flèche de b vers a. Si tous les habitants ont trois amis, et qu'il y a n habitants, cela fait donc 3 × n flèches. Si n est impair, ce nombre est impair. Or les flèches correspondant aux relations d'amitiés étant réciproques sont forcément en nombre pair.
Je vais aller boire un ou deux litres de café, parce que là, c'est tellement brillant que je ne pige rien... Shocked

C'est nécessairement réciproque l'amitié ? Si on suppose que la relation peut être unilatérale, le fait que tout le monde ait trois amis implique t'il encore un nombre pair de personnes ? Ne peut t'on pas être ami avec soi même ?
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Re: Petit jeujeu mathématique deviendra gros casse-tête

Message par Petitagore le Mer 25 Fév 2015 - 10:54

Bon, je mets très partiellement fin à mon teasing éhonté. Le but à atteindre sur ces grilles-là (où les réactions en chaînes prenant trois cases les colorent en jaune, toutes les autres cases prises étant bleues), c'est d'atteindre sur chaque grille le maximum envisageable de cases jaunes. Et vous vous rendrez vite compte que c'est très difficile (mais pas impossible).

Et c'est quoi, "le maximum de cases jaunes"?

Je vous donne la réponse brute (au risque d'ailleurs de vous décourager, mais nous verrons qu'en dépit de la difficulté cet optimum théorique est bel et bien accessible à un humain... qui a vraiment compris comme Pieyre aime faire Very Happy ):

Dans l'immense majorité des cas, l'optimum en cases jaunes est égal au nombre total de cases de la grille diminué de 7, 8 ou 9. Il y a des exceptions, mais dans l'immense majorité des cas on peut se rendre compte qu'on est en présence d'une exception (où il faut sacrifier 10 cases bleues, ou encore, beaucoup plus rare, où il suffit d'en sacrifier 6).

Déjà, comment sait-on si c'est 7, 8 ou 9? Ça, ce n'est vraiment pas très malin... et j'en profite aussitôt pour confesser que j'ai joué plusieurs mois à mon propre casse-tête (horriblement mal, donc) sans avoir même eu l'idée de me poser la question (non mais, quel nul...).


Dernière édition par Petitagore le Mer 25 Fév 2015 - 11:39, édité 1 fois (Raison : précision)
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